（课标通用版）2020版高考数学大一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第4讲 直接证明与间接证明检测 文

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1、第4讲 直接证明与间接证明 [基础题组练] 1．(2019·衡阳示范高中联考(二))用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”的正确假设为(　　) A．自然数a，b，c中至少有两个偶数 B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．自然数a，b，c都是奇数 D．自然数a，b，c都是偶数 解析：选B.“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数，其否定是“自然数a，b，c均为奇数或自然数a，b，c中至少有两个偶数”． 2．分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是(　　) A．x2>2　　　　　　　　　 B．x

2、2>4 C．x2>0 D．x2>1 解析：选C.因为x>0，所以要证<1＋，只需证()2<，即证0<，即证x2>0，显然x2>0成立，故原不等式成立． 3．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 解析：选A.因为a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝， 且＋＞＋＞＋＞0， 所以a＞b＞c. 4．在△ABC中，sin Asin C＜cos Acos C，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解析：选C.由sin Asin C＜cos

3、 Acos C得 cos Acos C－sin Asin C＞0， 即cos(A＋C)＞0，所以A＋C是锐角， 从而B＞，故△ABC必是钝角三角形． 5．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________． 解析：“x≠a且x≠b”的否定是“x＝a或x＝b”，因此应假设为x＝a或x＝b. 答案：x＝a或x＝b 6．(2019·福州模拟)如果a＋b＞a＋b，则a，b应满足的条件是__________． 解析：a＋b＞a＋b，即(－)2(＋)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b. 答案：a≥0，b≥0且a≠b 7．已知a≥b>0，求证

4、：2a3－b3≥2ab2－a2b. 证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b. 8．已知四棱锥S­ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1. (1)求证：SA⊥平面ABCD； (2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：由已知得SA2＋AD

5、2＝SD2， 所以SA⊥AD. 同理SA⊥AB. 又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD， AD⊂平面ABCD， 所以SA⊥平面ABCD. (2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F， 使得BF∥平面SAD. 因为BC∥AD，BC⊄平面SAD. 所以BC∥平面SAD，而BC∩BF＝B， 所以平面FBC∥平面SAD. 这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾， 所以假设不成立． 所以不存在这样的点F， 使得BF∥平面SAD. [综合题组练] 1．对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)，当且仅当a＝c，b＝d；运算“⊗”为：(a，b)⊗

6、(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“⊕”为：(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，设p，q∈R，若(1，2)⊗(p，q)＝(5，0)，则(1，2)⊕(p，q)＝(　　) A．(4，0) B．(2，0) C．(0，2) D．(0，－4) 解析：选B.由(1，2)⊗(p，q)＝(5，0)得 ⇒ 所以(1，2)⊕(p，q)＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0)． 2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 解析：

7、选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数， 由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)

8、故满足条件的p的取值范围是. 答案： 4．sin α与sin β分别是sin θ与cos θ的等差中项与等比中项，则cos 4β－4cos 4α＝________． 解析：由题意得2sin α＝sin θ＋cos θ， sin2β＝sin θcos θ， 所以cos 4β－4cos 4α ＝2cos22β－1－4(2cos22α－1) ＝2(1－2sin2β)2－8(1－2sin2α)2＋3 ＝2(1－2sin θcos θ)2－8＋3 ＝2(sin θ－cos θ)4－2(sin θ－cos θ)4＋3＝3. 答案：3 5．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的

9、前n项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 解：(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3， 即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)， 因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列． (2)当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列； 当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3， 即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)， 得q＝0，这与公比q≠0矛盾． 综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列； 当q≠1时，数列{

10、Sn}不是等差数列． 6．(综合型)若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a＜b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数． (1)设g(x)＝x2－x＋是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值； (2)是否存在常数a，b(a＞－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)由已知得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1， 所以函数在区间[1，b]上单调递增，由“四维光军”函数的定义可知 ，g(1)＝1，g(b)＝b， 即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3. 因为b＞1，所以b＝3. (2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a＞－2)上是“四维光军”函数， 因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减， 所以有即 解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在． 5