（课标通用版）2020版高考数学大一轮复习 第十章 概率 第3讲 几何概型检测 文

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1、第3讲 几何概型 [基础题组练] 1．已知集合A＝，若在集合A内任取一个数a，使得1∈{x|2x2＋ax－a2＞0}的概率为(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选B.由10＋3a－a2≥0，解得－2≤a≤5，即A＝[－2，5]．因为1∈{x|2x2＋ax－a2＞0}，故2＋a－a2＞0，解得－1＜a＜2.由几何概型的知识可得，所求的概率P＝＝.故选B. 2．(2019·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食

2、能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是(　　) A．1－ B. C. D．1－ 解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－，故选A. 3．(2019·湖北省五校联考)已知定义在区间[－3，3]上的函数f(x)＝2x＋m满足f(2)＝6，在[－3，3]上任取一个实数x，则使得f(x)的值不小于4的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：选B.因为f(2)＝6，所以22＋m＝6，解得m＝2，因为f(x)≥4，所以2x＋2≥4，所以x≥1，而x∈[－3，3]，故根据几何概型的概率计算公

3、式，得f(x)的值不小于4的概率P＝＝.故选B. 4．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：选B.若函数f(x)有零点，则4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π. 所有事件是{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}， 所以S＝(2π)2＝4π2，而满足条件的事件是{(a，b)|a2＋b2≥π}， 所以S1＝4π2－π2＝3π2，则概率P＝＝. 5．在区间[0，6]上随机取一个数x，则log2x的值介于1到2之间的概率为________． 解析：由题知1<

4、log2x<2，解得2

5、集合A＝{(x，y)|x∈[0，2]，y∈[－1，1]}． (1)若x，y∈Z，求x＋y≥0的概率； (2)若x，y∈R，求x＋y≥0的概率． 解：(1)x，y∈Z，x∈[0，2]，即x＝0，1，2；y∈[－1，1]，即y＝－1，0，1.则基本事件有(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，共9个，其中满足x＋y≥0的基本事件有8个，故x，y∈Z，x＋y≥0的概率为. (2)设“x＋y≥0，x，y∈R”为事件M，x∈[0，2]，y∈[－1，1]表示的区域为如图所示的四边形ABCD及其内部，事件M表示的区域为图中的阴

6、影部分． 所以P(M)＝＝＝＝， 故x，y∈R，x＋y≥0的概率为. [综合题组练] 1．(应用型)(2019·南宁二中、柳州高中联考)老师计划在晚自习19：00－20：00解答同学甲、乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟，若甲、乙两人在晚自习的任意时刻去问问题是互不影响的，则两人独自去时不需要等待的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：选B.设甲、乙两人分别在晚上19：00过x，y分钟后去问问题，则依题意知，x，y应满足作出该不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示，则所求概率P＝＝.故选B. 2．(应用型)七巧板是一种古老的中国传统智力

7、游戏，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，在该正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：选A.设AB＝2，则BC＝CD＝DE＝EF＝1，所以S△BCI＝××＝，S平行四边形EFGH＝2S△BCI＝2×＝，所以所求的概率P＝＝＝.故选A. 3.某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________． 解析：设正三角形的边长为a，圆的半径为R，则正三角形的面积为a2. 由正弦定理得2R＝，即R＝a， 所以圆的面积S＝πR2＝πa2. 由几何概型的概率计算公式得概率P＝＝. 答案： 4．如图所示，OA＝1，在以O为圆心，OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则△AOB的面积小于的概率为________． 解析：因为OA＝1，若△AOB的面积小于，则×1×1×sin∠AOB<，所以sin∠AOB<，所以0<∠AOB<或<∠AOB<π，所以△AOB的面积小于的概率为＝. 答案： 5