（浙江专版）2020届高考数学一轮复习 单元检测十一 概率、随机变量及其分布单元检测（含解析）

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1、单元检测十一　概率、随机变量及其分布 (时间：120分钟　满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题　共40分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个的概率是(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　由题意可先算出10个元素中取出3个的所有基本事件为C＝120(种)情况；而三种粽子各取到1个有CCC＝30(种)情况，则可由古典概型的概率公式得P＝＝. 2．袋子里

2、有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得球颜色互异的概率是(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　甲、乙、丙三人所得球颜色互异的概率是P＝＝. 3．两名学生参加考试，随机变量X代表通过的学生人数，其分布列为 X 0 1 2 P 那么这两人通过考试的概率中较小值为(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　设甲通过考试的概率为p，乙通过考试的概率为q，依题意得(1－p)·(1－q)＝，p(1－q)＋q(1－p)＝，pq＝，解得p＝，q＝或p＝，q＝，所以两人通过考试

3、的概率中较小值为. 4．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列{an}满足an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为(　　) A．C2·5 B．C2·5 C．C2·5 D．C2·5 答案　B 解析　据题意可知7次中有5次摸到白球，2次摸到红球，由独立重复试验即可确定其概率． 5．(2018·湖州质检)若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)产生进位现象，则称n为“先进数”，例如：4是“先进数”，因为4＋5＋6产生进位现象，2不是“先进数”，因为2＋3＋4不产生进位现象，那么，小于100的自然数是“先进数”的概率为(　　)

4、A．0.10 B．0.90 C．0.89 D．0.88 答案　D 解析　一位数中不是“先进数”的有0,1,2共3个；两位数中不是“先进数”，则其个位数可以取0,1,2，十位数可取1,2,3，共有9个，则小于100的数中，不是“先进数”的数共有12个，所以小于100的自然数是“先进数”的概率为P＝1－＝0.88. 6．(2018·温州市高考适应性测试)随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝，则D(3X－2)等于(　　) X －1 0 1 P a b A.9B．7C．5D．3 答案　C 解析　由X的分布列得＋a＋b＝1，① E(X)＝(－1)×＋0×a＋1×

5、b＝，② 联立①②，解得 则D(X)＝×2＋×2＋×2＝， 则D(3X－2)＝32×＝5，故选C. 7．(2018·湖州模拟)在10包种子中，有3包白菜种子，4包胡萝卜种子，3包茄子种子，从这10包种子中任取3包，记X为取到白菜种子的包数，则E(X)等于(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　由于从10包种子中任取3包的结果数为C，从10包种子中任取3包，其中恰有k包白菜种子的结果数为CC，那么从10包种子中任取3包，其中恰有k包白菜种子的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋

6、1×＋2×＋3×＝. 8．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，则p的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)·p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又由p∈，可得p∈. 9．(2018·浙江省绿色评

7、价联盟高考适应性考试)已知随机变量ξi满足P(ξi＝0)＝pi，P(ξi＝1)＝1－pi，且0p2，且D(ξ1)>D(ξ2) C．p1D(ξ2) D．p1>p2，且D(ξ1)

8、1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)， 由E(ξ1)p2. 因为0D(ξ2)，故选B. 10．(2018·绍兴嵊州市第二次适应性考试)已知随机变量ξi的分布列如下： ξi 0 1 2 P (1－pi)2 2pi(1－pi) p 其中i＝1,2，若0D(2ξ2) C．E(2ξ1)>E(2ξ2)，D(2ξ

9、1)E(2ξ2)，D(2ξ1)>D(2ξ2) 答案　A 解析　由分布列知ξi～B(2，pi)(i＝1,2)， 则E(ξ1)＝2p1，E(ξ2)＝2p2， D(ξ1)＝2p1(1－p1)，D(ξ2)＝2p2(1－p2)， 所以E(2ξ1)＝2E(ξ1)＝4p1，E(2ξ2)＝2E(ξ2)＝4p2， D(2ξ1)＝4D(ξ1)＝8p1(1－p1)， D(2ξ2)＝4D(ξ2)＝8p2(1－p2)． 因为0

10、p1＋p2)]<0， 所以D(2ξ1)

11、为＝. 12．某篮球运动员投中篮球的概率为，则该运动员“投篮3次至多投中1次”的概率是________．(结果用分数表示) 答案　 解析　“投篮3次至多投中1次”包括只投中一次，和全部没有投中，故“投篮3次至多投中1次”的概率是C·2·＋C·3＝. 13．(2018·浙江省金丽衢十二校联考)某同学参加投篮训练，已知每投篮一次，球投进的概率均为p，设该同学投篮4次，进球个数为ξ，已知D(ξ)＝1，则E(ξ)＝________. 答案　2 解析　由题意得该同学投篮进球个数ξ～B(4，p)， 则D(ξ)＝4p(1－p)＝1，解得p＝，则E(ξ)＝4p＝2. 14．(2018·浙江省绍

12、兴市适应性考试)若离散型随机变量X的分布列为 X 1 0 P 2a a 则常数a＝________，X的均值E(X)＝________. 答案　　 解析　由2a＋a＝1知a＝，X的均值E(X)＝1×＋0×＝. 15．(2018·浙江“七彩阳光”联盟联考)某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根据他的游戏经验，每次开启一个新的游戏，这三个关卡他能够通过的概率分别为，，(这个游戏的游戏规则：如果玩者没有通过上一个关卡，他照样可以玩下一个关卡，但游戏的得分会有影响)，则此人在开启一个新的游戏时，他恰好通过两个关卡的概率为________，设随机变量X表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则

13、随机变量X的均值为________． 答案　　 解析　随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以随机变量X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 16．某校一个班级组织学生报名参加话剧社团和摄影社团，已知报名的每位学生至少报一个社团，其中报名参加话剧社团的学生有2人，参加摄影社团的学生有5人，现从中任选2人．设ξ为选出的学生中既报名参加话剧社团又参加摄影社团的人数，且

14、P(ξ>0)＝.则这个班报名参加社团的学生人数为________；E(ξ)＝________. 答案　5　 解析　设既报名参加话剧社团又参加摄影社团的有x人，则该班报名总人数为(7－x)． 因为P(ξ>0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝， 所以P(ξ＝0)＝.而P(ξ＝0)＝＝， 即＝，解得x1＝2，x2＝(舍)． 所以该班报名参加社团的人数为5. ξ的可能取值为0,1,2， P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， 因此E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 17．王先生家住A小区，他工作在B科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上

15、有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，，若走L1路线，王先生最多遇到1次红灯的概率为________；若走L2路线，王先生遇到红灯次数X的均值为________． 答案　　 解析　走L1路线最多遇到1次红灯的概率为 C×3＋C××2＝，依题意X的可能取值为0,1,2， 则由题意P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝·＋·＝， P(X＝2)＝·＝， ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)甲、乙两人各射击一次，如果

16、两人击中目标的概率都为0.6，求： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率． 解　设“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B. (1)两人都击中目标的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.36. (2)恰有一人击中目标的概率为 P(A＋B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.48. (3)∵两人都未击中目标的概率为P()＝0.16， ∴至少有一人击中目标的概率为1－P()＝0.84. 19．(15分)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设

17、每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率； (2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值． 解　用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”， 则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5. (1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4) ＝2＋×2＋××2＝. (2)X的所有可能取值为2,3,4,5. P(X＝2)＝P

18、(A1A2)＋P(B1B2) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝， P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3) ＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝， P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4) ＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4) ＝， P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝. 故X的分布列为 X 2 3 4 5 P E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝. 20．(15分)有编号为D1，D2，…，D10的

19、10个零件，测量其直径(单位：mm)，得到下面数据： 编号 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 直径 151 148 149 151 149 152 147 146 153 148 其中直径在区间(148,152]内的零件为一等品． (1)从上述10个零件中，随机抽取2个，求这2个零件均为一等品的概率； (2)从一等品零件中，随机抽取2个．用ξ表示这2个零件直径之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及均值． 解　(1)由所给数据可知，10个零件中一等品零件共有5个． 设“从上述10个零件中，随机抽取2个，2个零件均

20、为一等品”为事件A，则P(A)＝＝. (2)∵ξ的可能取值为0,1,2,3. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P ∴ξ的均值为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 21．(15分)甲、乙二人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者获胜．若甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率是；乙每次投中的概率都是.甲、乙每次投中与否相互独立． (1)求乙直到第3次才投中的概率； (2)在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由． 解　(1)记事件Ai：乙第i次投中(i＝

21、1,2,3)， 则P(Ai)＝(i＝1,2,3)，事件A1，A2，A3相互独立， P(乙直到第3次才投中)＝P(1·2·A3) ＝P(1)·P(2)·P(A3) ＝··＝. (2)支持乙，理由如下： 设甲投中的次数为ξ，乙投中的次数为η，则η～B， ∴乙投中次数的均值E(η)＝3×＝. ξ的可能取值是0,1,2,3，则 P(ξ＝0)＝··＝， P(ξ＝1)＝C···＋ C2·＝， P(ξ＝2)＝C·2·＋C···＝， P(ξ＝3)＝C·2·＝， ∴甲投中次数的均值 E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝， ∴E(η)>E(ξ)， ∴在比赛前，从胜负的角度考试，应支

22、持乙． 22．(15分)(2019·浙江省金华十校期末)甲、乙同学参加学校“一站到底”闯关活动，活动规则：①依次闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；②每人最多闯3关；③闯第一关得10分，闯第二关得20分，闯第三关得30分，一关都没过则没有得分．已知甲每次闯关成功的概率为，乙每次闯关成功的概率为. (1)设乙的得分总数为ξ，求ξ的分布列和均值； (2)求甲恰好比乙多30分的概率． 解　(1)ξ的可能取值为0,10,30,60. P(ξ＝0)＝1－＝， P(ξ＝10)＝×＝， P(ξ＝30)＝××＝， P(ξ＝60)＝3＝. 则ξ的分布列如下表： ξ 0 10 30 60 P E(ξ)＝0×＋10×＋30×＋60×＝. (2)设甲恰好比乙多30分为事件A，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件B1，甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件B2，则A＝B1∪B2，B1，B2为互斥事件． P(A)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2) ＝2××＋3×＝. 所以甲恰好比乙多30分的概率为. 12