2020版高考数学一轮复习 高考大题专项六 高考中的概率与统计 理 北师大版

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1、高考大题专项六　高考中的概率与统计 1.(2019河北衡水中学一模,18)某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学,从大一理工科新生中随机抽取40名,对他们2018年高考的数学分数进行分析,研究发现这40名新生的数学分数x在[100,150]内,且其频率y满足y=10a-n20(其中10n≤x<10(n+1),n∈N+). (1)求a的值; (2)请画出这20名新生高考数学分数的频率分布直方图,并估计这40名新生的高考数学分数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (3)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查4名该校的大一理工科新生,记调查的4名

2、大一理工科新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量ξ,求ξ的均值. 2.(2018山东青岛调研,18)近期,某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表1所示: 表1 x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据,绘制了如下图所示的散点图. (1)根据

3、散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=c·dx(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由); (2)根据(1)的判断结果及表1中的数据,求y关于x的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次; (3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计,结果如表2. 表2 支付方式 现金 乘车卡 扫码 比例 10% 60% 30% 已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠,根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客,享受7折优惠

4、的概率为16,享受8折优惠的概率为13,享受9折优惠的概率为12.根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,估计一名乘客一次乘车的平均费用. 参考数据: y v ∑i=17xiyi ∑i=17xivi 100.54 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 其中vi=lg yi,v=17∑i=17vi 3.(2019广东化州一模,18)2018年9月16日下午5时左右,今年第22号台风“山竹”在广东江门川岛镇附近正面登陆,给当地人民造成了巨大的财产损失,某记者调查了当地某

5、小区的100户居民由于台风造成的经济损失,将收集的数据分成[0,2 000],(2 000,4 000],(4 000,6 000],(6 000,8 000],(8 000,10 000]五组,并作出如下频率分布直方图. (1)台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款,记者调查的100户居民捐款情况如下表格,在下面表格空白处填写正确数字,并说明是否有95%的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4 000元有关? 经济损失不超 过4000元 经济损失超 过4000元 合计 捐款超过 500元 60 捐款不超 过500元 10

6、合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该地区大量受灾居民中,采用随机抽样方法每次抽取1户居民,抽取3次,记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4 000元的人数为ξ,若每次抽取的结果是相互独立的,求ξ的分布列,均值Eξ和方差Dξ. 参考公式:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d),其中n=a+b+c+d P(χ2>k0) 0.050 0.010 k0 3.841 6.635 4.(2018长春质量监测一,18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶

7、4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 最高 气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

8、 (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的均值达到最大值? 5.(2019广东省六校第一次联考,19)某市大力推广纯电动汽车,对购买用户依照车辆出厂续驶里程R的行业标准,予以地方财政补贴.其补贴标准如下表: 出厂续驶里程R(千米) 补贴(万元/辆) 150≤R<250 3 250≤R<350 4 R≥350 4.5 2017年底随机调査该市1 000辆纯电动汽车,统计其出厂续驶里程R,得到频率分布直方图如下图所示.用样本估计总体,频率

9、估计概率,解决如下问题: (1)求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值; (2)某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数,得到如下的频数分布表: 辆数 [5 500, 6 500) [6 500, 7 500) [7 500, 8 500) [8 500, 9 500) 天数 20 30 40 10 (同一组数据用该区间的中点值作代表) 2018年2月,国家出台政策,将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台,每台每天最

10、多可以充电30辆车,每天维护费用500元/台; 交流充电桩1万元/台,每台每天最多可以充电4辆车,每天维护费用80元/台. 该企业现有两种购置方案: 方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩; 方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩. 假设车辆充电时优先使用新设备,且充电一辆车产生25元的收入,用2017年的统计数据,分别估计该企业在两种方案下使用新设备产生的日利润.(日利润=日收入-日维护费用) 6.2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年,有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”

11、的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会,通过抽样,得到参与问卷调查中的1 000人的得分数据,其频率分布直方图如图所示: (1)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ,210),μ近似为这1 000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表),利用该正态分布求P(50.5

12、问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列. 附:210≈14.5.若Z~N(μ,δ2),则P(μ-δ

13、率分布直方图如图: 这40名新生的高考数学分数的平均数为105×0.30+115×0.25+125×0.20+135×0.15+145×0.10=120. (3)由题意可知,ξ=0,1,2,3,4,且“高考数学分数不低于130分”的概率为0.15+0.1=0.25,所以ξ~B4,14,所以Eξ=4×14=1. 2.解 (1)根据散点图判断,y=c·dx适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型. (2)∵y=c·dx,两边同时取常用对数得:lg y=lg(c·dx)=lg c+lg d·x; 设lg y=v,∴v=lg c+lg d·x. ∵x=4,v=1.54,

14、∑i=17xi2=140, ∴lg d=∑i=17xivi-7xv∑i=17xi2-7x2= 50.12-7×4×1.54140-7×42=0.25, 把样本中心点(4,1.54)代入v=lg c+lg d·x,得:lg c=0.54, ∴v=0.54+0.25x, ∴lg y=0.54+0.25x, ∴y关于x的回归方程式为y=100.54+0.25x=100.54×(100.25)x=3.47×100.25x. 把x=8代入上式,得y=3.47×102=347; 活动推出第8天使用扫码支付的人次为3 470. (3)记一名乘客乘车支付的费用为Z, 则Z的取值可能为:2,

15、1.8,1.6,1.4; P(Z=2)=0.1;P(Z=1.8)=0.3×12=0.15; P(Z=1.6)=0.6+0.3×13=0.7,P(Z=1.4)=0.3×16=0.05. 分布列为: Z 2 1.8 1.6 1.4 P 0.1 0.15 0.7 0.05 　　所以,一名乘客一次乘车的平均费用为: 2×0.1+1.8×0.15+1.6×0.7+1.4×0.05=1.66(元). 3.解 (1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,经济损失不超过4 000元的有0.7×100=70人,经济损失超过4 000元的有100-70=30人, 则表格数

16、据如下 经济损失不超 过4 000元 经济损失超 过4 000元 合计 捐款超过 500元 60 20 80 捐款不超 过500元 10 10 20 合计 70 30 100 　　χ2=100×(60×10-10×20)280×20×70×30≈4.762, 由于4.762>3.841, 所以有95%的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4 000元有关. (2)由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4 000元的居民的频率为0.3,将频率视为概率. 由题意知ξ的可能取值有0,1,2,3,ξ~B3,310, P(

17、ξ=0)=C303100×7103=3431000; P(ξ=1)=C313101×7102=4411000; P(ξ=2)=C323102×7101=1891000; P(ξ=3)=C333103×7100=271000. 从而ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 3431000 4411000 1891000 271000 　　Eξ=np=3×310=0.9, Dξ=np(1-p)=3×310×710=0.63. 4.解 (1)由题意知,X所有的可能取值为200,300,500,由表格数据知, P(X=200)=2+1690=0.2,P(X=300)

18、=3690=0.4,P(X=500)=25+7+490=0.4. 因此X的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 　　(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500. 当300≤n≤500时, 若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n. 若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n; 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n; 因此EY=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.

19、2=640-0.4n. 当200≤n<300时, 若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n. 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n; 因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n. 所以n=300时,Y的均值达到最大值,最大值为520元. 5.解 (1)依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为: 补贴(万元/辆) 3 4 4.5 概率 0.2 0.5 0.3 　　纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为3×0.2+4×0.5+4.5×0.3=3.95(万元). (2)由充电车辆天

20、数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列: 辆数 6 000 7 000 8 000 9 000 概率 0.2 0.3 0.4 0.1 　　若采用方案一,100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为 30×100+4×900=6 600(辆). 可得实际充电车辆数的分布列如下表: 实际充电辆数 6 000 6 600 概率 0.2 0.8 　　于是方案一下新设备产生的日利润均值为25×(6 000×0.2+6 600×0.8)-500×100-80×900=40 000(元). 若采用方案二,200台直流充电桩和400台交流充电桩

21、每天可充电车辆数为30×200+4×400=7 600(辆); 可得实际充电车辆数的分布列如下表: 实际充 电辆数 6 000 7 000 7 600 概率 0.2 0.3 0.5 　　于是方案二下新设备产生的日利润均值为25×(6 000×0.2+7 000×0.3+7 600×0.5)-500×200-80×400=45 500(元). 6.解 (1)EZ=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65, ∴μ=65,δ=210≈14.5, ∴P(50.5

22、36