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1、考点规范练20 正弦定理和余弦定理
基础巩固组
1.在△ABC中,若AB=13,BC=3,∠C=120°,则AC=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案A
解析由余弦定理得13=9+AC2+3AC⇒AC=1.故选A.
2.(2017台州二次适应性测试)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2-c2=ab=3,则△ABC的面积为( )
A.34 B.34 C.32 D.32
答案B
解析依题意得cosC=a2+b2-c22ab=12,C=60°,因此△ABC的面积等于12absinC=12×3×32=3
2、4,故选B.
3.(2017浙江温州瑞安模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且a>b,则∠B=( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
答案A
解析利用正弦定理化简已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB,∵sinB≠0,∴sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB=12,∵a>b,∴∠A>∠B,即∠B为锐角,则∠B=π6.故选A.
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1,sinBsinC=12+cosCc,
3、则A= .
答案60°
解析由条件sinBsinC=12+cosCc得bc=12+cosCc,
则b=12c+cosC=12c+1+b2-c22·1·c,即b2+c2=bc+1,
∵1=b2+c2-2bccosA,可得cosA=12,∴A=60°.
5.(2018浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60°,则sin B= ,c= .
答案217 3
解析由正弦定理asinA=bsinB,
可知sinB=bsinAa=2·sin60°7=2×327=217.
∵a=7>b=2,∴B为锐角.
∴co
4、sB=1-sin2B=47=277.
∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=32×217-277×12=37-2714=714.
由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=7+4-2×2×7×714=7+4-2=9.∴c=3.
6.(2018浙江诸暨5月适应考试)在三角形ABC中,角A,B,C所对边分别是a,b,c,已知sin A+sin B=54sin C,且△ABC的周长为9,则c= ;若△ABC的面积等于3sin C,则cos C= .
答案4 -14
解析△ABC中,角A,B,C所对边分别是a,b,c,
∵sinA+s
5、inB=54sinC,∴由正弦定理得a+b=5c4,
又△ABC的周长为9,则c+5c4=9,解得c=4.
若△ABC的面积等于3sinC,即12absinC=3sinC,
整理得ab=6.又a+b=5c4=5,
解得a=2,b=3,或a=3,b=2,∴cosC=a2+b2-c22ab=-14.
能力提升组
7.(2018浙江温州期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a2+b2-c2)tan C=ab,则角C的大小为( )
A.π6或5π6 B.π3或2π3 C.π6 D.2π3
答案A
解析由(a2+b2-c2)tanC=ab可得,a2+b2-c
6、22abtanC=12,
由余弦定理可得cosCtanC=sinC=12,
因为0
7、3,∴b=1+3.故选D.
9.在锐角△ABC中,若A=2B,则ab的范围是(a,b分别为角A,B的对边长)( )
A.(2,3) B.(3,2) C.(0,2) D.(2,2)
答案A
解析∵A=2B,∴根据正弦定理得ab=sinAsinB=2sinBcosBsinB=2cosB.(sinB≠0)∵A+B+C=180°,∴3B+C=180°,即C=180°-3B.∵角C为锐角,∴30°
8、,b,c,已知a=1,2b-3c=2acos C,sin C=32,则△ABC的面积为( )
A.32 B.34 C.32或34 D.3或32
答案C
解析根据正弦定理可得2sinB-3sinC=2sinAcosC,而sinB=sin(A+C),整理为2cosAsinC=3sinC,所以cosA=32,所以A=30°,asinA=csinC,解得c=3,因为sinC=32,所以C=60°或C=120°,当C=60°时,B=90°,此时△ABC的面积为S=12ac=32,当C=120°时,B=30°,此时△ABC的面积为S=12acsinB=34,故选C.
11.在锐角△ABC中,角
9、A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2bsin C,则tan A+tan B+tan C的最小值是( )
A.4 B.33 C.8 D.63
答案C
解析∵a=2bsinC,∴sinA=2sinBsinC=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,两边同除cosBcosC,
∴2tanBtanC=tanB+tanC,又tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,
∴tanB+tanC=2tanAtanA-2,
∴tanA+tanB+tanC=tanA+2tanAtanA-2=tanA-2+4tanA-2+4≥8,当且仅当tanA=4时取等号.
12
10、.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=3,则S△ABC= .
答案32
解析因为角A,B,C依次成等差数列,所以B=60°.由正弦定理,得1sinA=3sin60°,解得sinA=12,因为0°
11、AD2-BD22AB·AD=5x2-364x2=54-9x2,
所以sinA=1-54-9x22,
所以S△ABC=12AB·ACsinA=12·4x21-54-9x22=2-916(x2-20)2+144≤24,当x2=20,即x=25时等号成立,所以当△ABC的面积取得最大值时,AB的长为45.
14.(2017浙江温州模拟改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=2,2cos 2B+C2+sin A=45,
(1)若满足条件的△ABC有且只有一个,则b的取值范围为 ;
(2)当△ABC的周长取最大值时,则b的值为 .
答案(1)(0,2]∪1
12、03 (2)10
解析(1)2cos2B+C2+sinA=45⇒1+cos(B+C)+sinA=45,即sinA-cosA=-15,
又∵0
13、nθ=1010,cosθ=31010,lmax=2+210,当cosB=1010,sinB=31010时取到等号,此时b=asinAsinB=10.
15.(2018江苏调研)已知△ABC中,若角A,B,C对应的边分别为a,b,c,满足a+1a+4cos C=0,b=1.
(1)若△ABC的面积为32,求a;
(2)若A=π6,求△ABC的面积.
解(1)由S=12absinC=12asinC=32得asinC=3,即sinC=3a.又a+1a=-4cosC,那么a+1a2=16cos2C=16(1-sin2C)=16-48a2,即a4-14a2+49=0,得到a2=7,即有a=7.
14、
(2)由题意有a+1a=-4cosC及余弦定理cosC=a2+b2-c22ab,有a+1a=-4·a2+b2-c22ab=-2(a2+1-c2)a,即a2+1=23c2, ①
又由b2+c2-a2=2bccosA可知c2-a2+1=3c, ②
由①②得到c2-33c+6=0,即(c-3)(c-23)=0,可知c=3或c=23.经检验,c=3或c=23均符合题意,
则△ABC的面积为S=12bcsinA=32或34.
16.(2017浙江名校联考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2,C=π3.
(1)当2sin 2A+sin(2B+C)=sin C时
15、,求△ABC的面积;
(2)求△ABC周长的最大值.
解(1)由2sin2A+sin(2B+C)=sinC,得4sinAcosA-sin(B-A)=sin(A+B),得2sinAcosA=sinBcosA,当cosA=0时,A=π2,B=π6,a=433,b=233,
当cosA≠0时,sinB=2sinA,由正弦定理b=2a,联立a2+b2-ab=4,b=2a,解得a=233,b=433,故三角形的面积为S△ABC=12absinC=233;
(2)由余弦定理及已知条件可得a2+b2-ab=4,由(a+b)2=4+3ab≤4+3(a+b)24得a+b≤4,故△ABC周长的最大值为6,当且仅当三角形为正三角形取到.
5
（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 考点规范练20 正弦定理和余弦定理
