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1、考点规范练45 二项式定理
一、基础巩固
1.x(1+x)6的展开式中x3的系数为( )
A.30 B.20 C.15 D.10
2.设n为正整数,x-1xx2n的展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为( )
A.16 B.10 C.4 D.2
3.(4x-2-x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
A.-20 B.-15
C.15 D.20
4.若(1+3)4=a+b3(a,b为有理数),则a+b等于( )
A.36 B.46
C.34 D.44
5.已知数列{an}为等差数列,且满足a1+a5=90.若(1-x)m展开式中x2项的系数等于数列{an}的第
2、三项,则m的值为( )
A.6 B.8
C.9 D.10
6.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是( )
A.74 B.121
C.-74 D.-121
7.使3x+1xxn(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
8.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈Z)是一个单调递增数列,则k的最大值是( )
A.6 B.7
C.8 D.5
9.二项式2x-1x6的展开式中的常数项为 .
3、10.若ax2+1x5的展开式中x5的系数是-80,则实数a= .
11.设(x-2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5,则a1+a2+…+a5= .
12.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x3的系数为5,则实数a= .
二、能力提升
13.若x+ax2x-1x5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为( )
A.-40 B.-20
C.20 D.40
14.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=( )
A.256 B.364
C.296 D.5
4、13
15.(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.-80 B.-40
C.40 D.80
16.已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= ,a5= .
17.若x9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9,则a1+a3+a5+a7+a9a7的值为 .
三、高考预测
18.已知二项式x2+1xn的展开式的二项式系数之和为32,则展开式中含x项的系数是 .
考点规范练45 二项式定理
1.C 解析因为(1+x)6的展开式的第(k+1)项为
5、Tk+1=C6kxk,所以x(1+x)6的展开式中x3的项为C62x3=15x3,所以系数为15.
2.B 解析因为x-1xx2n展开式的通项公式为Tk+1=C2nkx2n-k-1xxk=C2nk(-1)kx4n-5k2,令4n-5k2=0,得k=4n5,所以n可取10.
3.C 解析设展开式中的常数项是第(k+1)项,则Tk+1=C6k·(4x)6-k·(-2-x)k=C6k·(-1)k·212x-2kx·2-kx=C6k·(-1)k·212x-3kx.
令12x-3kx=0,解得k=4,
故常数项为T5=C64·(-1)4=15.
4.D 解析(1+3)4=1+C41·3+C42
6、(3)2+C43(3)3+(3)4=28+163,由题设可得a=28,b=16,
故a+b=44.
5.D 解析由题意,a3=a1+a52=902=45,(1-x)m展开式中x2项的系数为Cm2,所以Cm2=45,m=10.
6.D 解析展开式中含x3项的系数为C53(-1)3+C63(-1)3+C73(-1)3+C83(-1)3=-121.
7.B 解析Tr+1=Cnr(3x)n-r1xxr=Cnr3n-r·xn-52r,
当Tr+1是常数项时,有n-52r=0,故选B.
8.A 解析由二项式定理知an=C10n-1(n=1,2,3,…,11).又(x+1)10展开式中二项式系数
7、最大项是第6项,故a6=C105,则k的最大值为6.
9.-160 解析二项式2x-1x6的通项为Tr+1=C6r(2x)6-r-1xr=(-1)rC6r26-rx3-r,
令3-r=0,则r=3.
故(-1)3×C63×23=-20×8=-160.
10.-2 解析因为Tr+1=C5r(ax2)5-r1xr=C5ra5-r·x10-5r2,所以由10-5r2=5,解得r=2.因此C52a5-2=-80,解得a=-2.
11.211 解析将(x-2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5化为[(x+1)-3]5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a
8、5(x+1)5,
令x+1=0,得a0=-35,
令x+1=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=-25,
则a1+a2+a3+a4+a5=-25+35=211.
12.-12 解析∵(1+x)5=1+C51x+C52x2+C53x3+C54x4+C55x5,
∴(1+ax)(1+x)5的展开式中x3的系数为a·C52+C53=5,
即10a+10=5,解得a=-12.
13.D 解析在x+ax2x-1x5中,令x=1,
得(1+a)(2-1)5=2,
即a=1.
原式=x·2x-1x5+1x2x-1x5,
故常数项为x·C53(2x)2-1x3+1x·C52(2x)
9、3·-1x2=-40+80=40.
14.B 解析令x=1,则a0+a1+a2+…+a12=36,①
令x=-1,则a0-a1+a2-…+a12=1,②
由①+②,可得a0+a2+a4+…+a12=36+12.
令x=0,则a0=1,
故a2+a4+…+a12=36+12-1=364.
15.C 解析(2x-y)5的展开式的通项公式Tr+1=C5r(2x)5-r(-y)r.
当r=3时,x(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C53×22×(-1)3=-40;
当r=2时,y(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C52×23×(-1)2=80.
故展开式中x3y3的系数为
10、80-40=40.
16.16 4 解析由二项式展开式可得通项公式为C3rx3-r·C2mx2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=13×22=4.
17.649 解析令x=2,得29=a0+a1+a2+…+a8+a9,
令x=0,得0=a0-a1+a2-…+a8-a9,
所以a1+a3+a5+a7+a9=a0+a2+a4+a6+a8=28.
又x9=[1+(x-1)]9,其中T8=C97(x-1)7,
所以a7=C97=36,
故a1+a3+a5+a7+a9a7=25636=649.
18.10 解析由题意可得,2n=32⇒n=5,
所以Tr+1=C5r(x2)5-r1xr=C5rx10-3r,
令10-3r=1⇒r=3,所以展开式中含x项的系数是10.
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