（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 考点规范练12 导数的概念及运算

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1、考点规范练12　导数的概念及运算 基础巩固组 1.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 答案D　 解析∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax,且f(x)是奇函数, ∴a-1=0,解得a=1. ∴f(x)=x3+x,则f'(x)=3x2+1, ∴f'(0)=1.即y-0=x-0,故切线方程为y=x, 故选D. 2.设f(x)=xln x,若f'(x0)=2,则x0=(　　) A.e2 B.e C.ln

2、22 D.ln 2 答案B　 解析∵f'(x)=lnx+x·1x=lnx+1, ∴lnx0+1=2,得lnx0=1,即x0=e. 3.(2017课标Ⅰ高考改编)曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为(　　) A.y=-x+3 B.y=x+1 C.y=-2x+4 D.y=2x 答案B　 解析设y=f(x), 则f'(x)=2x-1x2,所以f'(1)=2-1=1, 所以在(1,2)处的切线方程为y-2=1×(x-1),即y=x+1. 4.已知曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=(　　) A.-2 B.2 C.-12 D.12

3、 答案A　 解析由y'=-2(x-1)2得曲线在点(3,2)处的切线斜率为-12,又切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=-2,故选A. 5.点P是曲线y=32x2-2ln x上任意一点,则点P到直线y=x-52的距离的最小值为(　　) A.2 B.332 C.322 D.5 答案C　 解析当点P是曲线的切线中与直线y=x-52平行的直线的切点时,距离最小;∵y=32x2-2lnx, ∴y'=3x-2x,令y'=1,解得x=1,∴点P的坐标为1,32. 此时点P到直线y=x-52的最小值为|1-32-52|2=322.故选C. 6. 如图,函数y=f(x)的图象在点P处

4、的切线方程是y=-x+8,则f'(5)=　　　;f(5)=　　　.  答案-1　3　 解析f'(5)=-1,f(5)=-5+8=3. 7.若对任意x∈(0,+∞),都有ln x≤ax恒成立,则实数a的取值范围为　　　　　.  答案1e,+∞　 解析在区间(0,+∞)上绘制函数y=lnx和函数y=ax的图象, 若对任意x∈(0,+∞),lnx≤ax恒成立,则对数函数的图象应该恒不在一次函数图象的上方, 如图所示为临界条件,直线过坐标原点,与对数函数相切, 由y=lnx可得y'=1x,则在切点(x0,lnx0)处对数函数的切线斜率为k=1x0,即切线方程为y-lnx0=1x0(

5、x-x0), 切线过坐标原点,则0-lnx0=1x0(0-x0), 解得x0=e,则切线的斜率k=1x0=1e. 由此可得,实数a的取值范围为1e,+∞. 8.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是　　　　　　　　　.  答案y=-2x-1　 解析当x>0时,-x<0,则f(-x)=lnx-3x. 因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=lnx-3x, 所以f'(x)=1x-3,f'(1)=-2. 故所求切线方程为y+3=-2(x-1), 即y=-2x-1. 能力提升组 9.曲线f(x)=

6、xln x在点(e,f(e))(e为自然对数的底数)处的切线方程为(　　) A.y=ex-2 B.y=2x+e C.y=ex+2 D.y=2x-e 答案D　 解析因为f(x)=xlnx,所以f'(x)=lnx+1,故切线的斜率k=f'(e)=2,因为f(e)=e,所以切线方程为y-e=2(x-e),即y=2x-e,故选D. 10.已知y=a分别与直线y=2x+2,曲线y=x+ln x交于点A,B,则|AB|的最小值为(　　) A.3 B.2 C.324 D.32 答案D　 解析设A(x1,a),B(x2,a),则2(x1+1)=x2+lnx2, ∴x1=12(x2+lnx2)

7、-1, ∴|AB|=x2-x1=12(x2-lnx2)+1, 令y=12(x-lnx)+1,则y'=121-1x, ∴函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴x=1时,函数的最小值为32. 故选D. 11.已知函数f(x)=xa-1ex,曲线y=f(x)上存在两个不同的点,使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直,则实数a的取值范围是(　　) A.(-e2,+∞) B.(-e2,0) C.-1e2,+∞ D.-1e2,0 答案D　 解析∵曲线y=f(x)上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直,∴f'(x)=a+(x-1)e-x=0有两个不同的解

8、,即得a=(1-x)e-x有两个不同的解,设y=(1-x)e-x,则y'=(x-2)e-x,∴x<2,y'<0,x>2,y'>0,y=(1-x)e-x在(-∞,2)上递减,在(2,+∞)上递增.∴x=2时,函数取得极小值-e-2,又因为当x>2时总有y=(1-x)e-x<0,所以可得数a的取值范围是-1e2,0,故选D. 12.设函数y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在区间(a,b)上的导函数为f″(x),若在区间(a,b)上f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”.已知f(x)=112x4-16mx3-32x2,若对任意的实数m满足|

9、m|≤2时,函数f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”,则b-a的最大值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案C　 解析当|m|≤2时,f″(x)=x2-mx-3<0恒成立等价于当|m|≤2时,mx>x2-3恒成立.当x=0时,f″(x)=-3<0显然成立. 当x>0时,mx>x2-3⇒m>x-3x,∵m的最小值是-2, ∴x-3x<-2,从而解得0x2-3⇒m2,从而解得-1

10、逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α]),得到曲线C,若对于每一个旋转角θ,曲线C都仍然是一个函数的图象,则α的最大值为(　　) A.π B.π2 C.π3 D.π4 答案D　 解析函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时,当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于90°时,其图象都依然是一个函数图象,因为当x≥0时,y'=1x+1是减函数,且0

11、a的取值范围是　　　　　.  答案(0,2e]　 解析∵两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线,且y=x2-1的导数y'=2x,y=alnx-1的导数为y'=ax, 设与y=x2-1相切的切点为(n,n2-1),与曲线y=alnx-1相切的切点为(m,alnm-1), y-(n2-1)=2n(x-n),即y=2nx-n2-1, y-(alnm-1)=am(x-m),即y=amx-a+alnm-1, ∴2n=am,n2+1=a+1-alnm,∴a24m2=a-alnm,∵a>0, ∴a4m2=1-lnm, 即a4=m2(1-lnm)有解即可,令g(x)=x2(1-lnx)

12、, 则由g'(x)=2x(1-lnx)+x2-1x=x(1-2lnx)=0,可得x=e,∴g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)是单调递减,∴g(x)的最大值为g(e)=e2, 又g(0)=0,∴0

13、x1+2,y2=ln(x2+1).由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(lnx1+2)=1x1(x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=1x2+1(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线, 所以1x1=1x2+1,ln(x2+1)=lnx1+x2x2+1+1,解得x1=12, 所以k=1x1=2,b=lnx1+2-1=1-ln2. 16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2,且当x>1时,f(x)=xex-2,则曲线y=f(x)在x=0处的切线方程是　　　　　.  答案x+y=0　 解析因为f(1-x)+f(1+x)=2,所以

14、函数关于点(1,1)对称,x<1时,取点(x,y),关于(1,1)对称点是(2-x,2-y),代入x>1时的解析式f(x)=xex-2,可得2-y=2-xe-x, ∴y=2-2-xe-x,∴y'=x-1e-x,令x=0,则y'=-1,y=0,所以切线方程为x+y=0. 17.已知点M是曲线y=13x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求: (1)斜率最小的切线方程; (2)切线l的倾斜角α的取值范围. 解(1)y'=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1, ∴当x=2时,y'=-1,y=53, ∴斜率最小的切线过点2,53,斜率k=-1, ∴切线方程为3x+3y-11=0. (2)由(1)得k≥-1,∴tanα≥-1, 又∵α∈[0,π),∴α∈0,π2∪3π4,π. 故α的取值范围为0,π2∪3π4,π. 6