（鲁京津琼专用）2020版高考数学一轮复习 专题5 平面向量、复数 第36练 平面向量小题综合练练习（含解析）

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1、第36练 平面向量小题综合练 [基础保分练] 1.如图，点O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为平行四边形所在平面一组基底的向量组是(　　) A．①②B．③④C．①③D．①④ 2．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若(a＋b)∥(4b－2a)，则实数x的值是(　　) A．－2B．3C.D．2 3．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若(a－2b)⊥c，则k等于(　　) A．2B．2C．－3D．1 4．(2019·甘肃省静宁县第一中学模拟)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝

2、2，则等于(　　) A.－ B.＋ C.－ D.＋ 5．两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则向量b与a＋b的夹角为(　　) A.B.C.D. 6.点G为△ABC的重心，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，则·等于(　　) A．－ B．－ C. D. 7．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．重心B．垂心C．外心D．内心 8．已知△OAB是边长为1的正三角形，若点P满足＝(2－t)＋t(t∈R)，则||的最小值为(　　) A.B．1C.D. 9．

3、给出下列命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若a是单位向量，则|a|＝1；③a与b不平行，则a与b都是非零向量．其中真命题是________(填序号)． 10.如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝m＋2m，＝λ，则λ＝____________. [能力提升练] 1．(2019·大庆实验中学月考)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为(　　) A.B.C．3D．－ 2．在△ABC中，E为AC上一点，＝3，P为BE上任一点，若＝m＋n(m>0，n>0)，则＋的最小值是(　　) A．9B．10C．

4、11D．12 3.已知△ABD是等边三角形，且＋＝，||＝3，那么四边形ABCD的面积为(　　　) A. B．3 C．6 D．9 4．已知△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，P为线段AC上任意一点，则·的取值范围是(　　) A．[1,4] B．[0,4] C. D．[－2,4] 5．在△ABC中，D是边BC上一点，且＝，点列Pn(n∈N*)在直线AC上，且满足＝an＋1＋an，若a1＝1，则数列{an}的通项an＝________. 6．△ABC是边长为3的等边三角形，已知向量a，b满足＝3a，＝3a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出所

5、有正确结论的序号) ①b为单位向量；②a为单位向量；③a⊥b；④b∥；⑤(6a＋b)⊥. 答案精析 基础保分练 1．D　2.D　3.C　4.C　5.B 6．A　[在△ABC中，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos60°＝4＋1－2×2×1×＝3， ∴AC＝，∴AB2＝AC2＋BC2， ∴△ABC为直角三角形，且C＝90°. 以点C为原点，边CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(，0)，B(0,1) 又G为△ABC的重心， ∴点G的坐标为. ∴＝，＝， ∴·＝－×＋× ＝－.故选A.] 7．D　[∵，分别表示向量，方向上的单位

6、向量， ∴＋的方向与∠BAC的角平分线重合， 又∵＝＋λ可得到－＝＝λ， ∴向量的方向与∠BAC的角平分线重合， ∴动点P的轨迹一定通过△ABC的内心．] 8．C　[以O为原点，以OB为x轴，建立坐标系， ∵△AOB为边长为1的正三角形， ∴A，B(1,0)， ＝(2－t)＋t ＝， ＝－＝， ||＝ ＝＝≥，故选C.] 9．②③　10.λ＝ 能力提升练 1．A　[如图，取BC边的中点D，连接AD，则＋＝2＝2；∴O和D重合，O是AB中点， ∵||＝||， ∴∠BAC＝90°，∠BOA＝120°， ∠ABO＝30°， 又||＝||＝1， ∴在△AOB

7、中由余弦定理得 ||2＝1＋1－2·＝3， ||＝， ∴向量在向量方向上的投影为 ||cos∠ABO＝.故选A.] 2．D　[由题意可知＝m＋n ＝m＋3n， P，B，E三点共线，则m＋3n＝1， 据此有＋＝(m＋3n) ＝6＋＋≥6＋2＝12， 当且仅当m＝，n＝时等号成立． 综上可得＋的最小值是12， 故选D.] 3．A　[取AD的中点E，连接CE，则四边形ABCE为平行四边形，如图所示， 则有＝， 又＝， ∴＝， ∴四边形BCDE为平行四边形， 又BE为等边△ABD的中线， ∴BE⊥AD， ∴平行四边形BCDE是矩形， ∴四边形ABCD是直角

8、梯形． 又BE＝CD＝3， ∴AD＝2，BC＝AD＝， ∴四边形ABCD的面积为S＝(BC＋AD)·CD＝×(＋2)×3＝.故选A.] 4．C　[根据题意，△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，则根据余弦定理可得BC2＝4＋16－2×2×4×cos60°＝12， 即BC＝2. ∴△ABC为直角三角形，以B为原点， BC为x轴，BA为y轴建立坐标系， 如图所示，则A(0,2)，C(2，0)， 则线段AC的方程为＋＝1(0≤x≤2)． 设P(x，y)， 则·＝(－x，－y)·(2－x，－y)＝x2＋y2－2x＝x2－x＋4. ∵0≤x≤2， ∴－≤·≤4，

9、 故选C.] 5.n－1 解析　由＝，可知D为BC中点， ∴＝＋＝－， ∵＝＋＝an＋1＋an， ∴－＝an＋1＋an·， ∴＝(1－an＋1－an)＋an， 又点列Pn(n∈N*)在直线AC上， 即A，Pn，C三点共线， ∴1－an＋1－an＋an＝1， ∴an＋1＝－an， ∴数列{an}是以a1＝1为首项，－为公比的等比数列，∴an＝n－1. 6．②④⑤ 解析　因为△ABC是边长为3的等边三角形，向量a，b满足＝3a，＝3a＋b，则a＝， 所以|a|＝||＝1，因此a为单位向量，故②正确； 又＝＋＝3a＋b，所以＝b， 因此|b|＝||＝3，故①不正确； 对于③，由＝3a＋b可得2＝9a2＋b2＋6a·b， 故9＝9＋9＋6a·b，可得a·b＝－≠0，所以a⊥b不成立，故③不正确； 对于④，由＝3a，＝3a＋b，得＝－＝b，所以b∥，故④正确； 对于⑤，因为(6a＋b)·＝(6a＋b)·b＝6a·b＋b2＝6×＋9＝0， 所以(6a＋b)⊥，故⑤正确． 综上可得②④⑤正确． 9