函数概念复习

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1、§2　函数及其表示 高考会这样考　1、考查函数的定义域、值域、解析式的求法；2、考查分段函数的简单应用；3、由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查． 备考要这样做　1、在研究函数问题时，要树立“定义域优先”的观点；2、掌握求函数解析式的基本方法；3、结合分段函数深刻理解函数的概念． 1． 函数的基本概念 (1)函数的定义 设A，B是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作

2、 ． (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ．显然，值域是集合B的子集． (3)函数的三要素： 、 和 ． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有 、 、 ． 2． 映射的概念 设A、B

3、是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一 个元素x，在集合B中都有 的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个 ． 3． 函数解析式的求法 求函数解析式常用方法有 、 、配凑法、消去法． 4． 常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母 ． (2)偶次根式函数被开方式 ． (3)一次函数、二次函数的定义域为R． (4)

4、y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R． (5)y＝tan x的定义域为． (6)函数f(x)＝xa的定义域为{x|x∈R且x≠0}． [难点正本　疑点清源] 1． 函数的三要素 函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定 的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等． 2． 函数与映射 (1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射． (2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函 数． 3．

5、函数的定义域 (1)解决函数问题，函数的定义域必经优先考虑； (2)求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法： ①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式得a

6、正确命题的序号有________． 3． 函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________． 4． (2012·江西)下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为 (　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝xex D．y＝ 5． (2012·福建)设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为 (　　) A．1 B．0 C．－1 D．π 题型一　函数与映射 例1　有以下判断： (1)f(x)＝与g(x)＝表示同一函数； (2

7、)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个； (3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数； (4)若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0． 其中正确判断的序号是________． 思维启迪：可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断． 探究提高　函数的三要素：定义域、值域、对应关系．这三要素不是独立的，值域可由 定义域和对应关系唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函 数．特别值得说明的是，对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同， 只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两

8、个对应关系算出的函 数值是否相同)不是指形式上的．即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断． 已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于 (　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 题型二　求函数的解析式 【例2】　(1)已知f＝lg x，求f(x)； (2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式； (3)定义在(－1,1)内的函数f(x)

9、满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式． 思维启迪：求函数的解析式，要在理解函数概念的基础上，寻求变量之间的关系． 探究提高　函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)消去法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一

10、个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． (2012·武汉模拟)给出下列两个条件： (1)f(＋1)＝x＋2； (2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2．试分别求出f(x)的解析式． 题型三　函数的定义域 【例3】　(1)函数y＝的定义域为______________． (2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是 (　　) A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1) 思维启迪：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集

11、合；抽象函数的定义域要 注意自变量的取值和各个字母的位置． (1)若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是 __________． (2)已知f(x)的定义域是[0,4]，则f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是__________． 题型四　分段函数 【例4】　定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则 f(2 014)的值为________． 思维启迪：注意到2 014较大，较难代入计算求出值，所以可通过x取较小数值探究函 数f(x)值的规律性，再求f(2 014)．也可以先用推理的方法得出f(x)的规律性，再求f(2 014)． 探究提

12、高　求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值求自变量的值，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围． 设函数f(x)＝则满足f(x)＝的x值为 (　　) A．2 B．3 C．2或3 D．－2 　　　　　　　　　 3．忽视函数的定义域 典例：求函数y＝log(x2－3x)的单调区间． 易错分析　忽视函

13、数的定义域，认为x的范围是全体实数，导致错误． 温馨提醒　函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先 求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断 两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原 因，容易忽视定义域，导致错误． 　　　　　　　　4．分段函数意义理解不清 典例：设函数f(x)＝，若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，求关于x的方程f(x)＝x的解． 易错分析　(1)条件中f(－2)，f(0)，f(－1)所适合的解析式是f(x)＝x2＋bx＋c．所

14、以可构建方程组求出b，c的值．(2)在方程f(x)＝x中，f(x)用哪个解析式，要进行分类讨论，不能忽视自变量的限制条件． 温馨提醒　(1)对于分段函数问题，是高考的热点．在解决分段函数问题时，要注意自变量的限制条件． (2)就本题而言，当x≤0时，由f(x)＝x得出两个x值，但其中的x＝1不符合要求，上述解法中没有舍去此值，因而导致了增解．分段函数问题分段求解，但一定注意各段的限制条件． 方法与技巧 1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域相同；二是对应关系相同． 2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定 义域上进行．

15、 3．函数的解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．分段函数问题要分段求解． 失误与防范 求分段函数应注意的问题： 在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集． (时间：60分钟) A组　专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2012·山东)函数f(x)＝＋的定义域为 (　　) A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]

16、 C．[－2,2] D．(－1,2] 2． (2012·江西)设函数f(x)＝则f(f(3))等于 (　　) A． B．3 C． D． 3．设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于 (　　) A．－2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7

17、 4． 若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x) 的图象可能是 (　　) 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝________． 6． 已知f＝，则f(x)的解析式为____________． 7． 若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________． 三、解答题(共40分) 8． (12分)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1．求函数f(x)的解析式．

18、 9． (13分) （1）已知y=f（x+1）的定义域为[1,2]，求f(X),f(x-3），f(x^2)的定义域； (2)记f(x)＝lg(2x－3)的定义域为集合M，函数g(x)＝的定义域为集合N， 求：(1)集合M、N；(2)集合M∩N，M∪N． 10（15分）若函数f(x)=(ax+b)/(x^2+1)的最大值4，最小值 -1，求实数a,b的值？ B组　专项能力提升 一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 已知映射f：A→B．其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在

19、元素与之对应，则k的取值范围是 (　　) A．k>1 B．k≥1 C．k<1 D．k≤1 2．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于 (　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 3． 设f(x)＝g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是 (　　) A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

20、 B．(－∞，－1]∪[0，＋∞) C．[0，＋∞) D．[1，＋∞) 二、填空题(每小题4分，共12分) 4． (2012·江苏)函数f(x)＝的定义域为________． 5． 对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝，则函数 f(x)＝log(3x－2)*log2x的值域为________． 6． (2011·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为______． 三、解答题(13分) 7． 已知f(x)＝x2－1，g(x)＝． (1)求f(g(2))和g(f(2))的

21、值； (2)求f(g(x))和g(f(x))的解析式． 挑战经典高考题 1. 设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数（f°g）（x）和 （（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（f•g）（x）=f（x）g（x），则下列等式恒成立的是（　　） A．（（f°g）•h）（x）=（（f•h）°（g•h））（x） B．（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x） C．（（f°g）°h）（x）=（（f°h）°（g°h））（x） D．（（f•g）•h）（x）=（（f•h）•（g•h））（x）

22、 2. 设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（　　） A．{9，10，11} B．{9，10，12} C．{9，11，12} D．{10，11，12} 3. 设函数g(x)=x^2-2(x∈R),f(x)=g(x)+4+x(x＜g(x)),f(x)=g(x)-x(x≥g(x)),则f(x)的值域 4. 已知函数f(x)满足：f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2010)= 5. 给定k∈N+,设函数f：N+ →N+满足：对于任意大于k的正整数n：f(n)=n-k (1)设k=1，则其中一个函数f在n=1处的函数值为 （2）设k=4,且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数 10