2020版高考数学(理)一轮总复习层级快练第八章 立体几何 作业53 含解析

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1、 题组层级快练 (五十三) 1．(2019· 广东五校协作体诊断考试)设 m，n 是两条不同的直线，α ，β 是两个不同的平面，下列 命题中正确的是( ) A．若 α⊥β，m⊂α ，n⊂β ，则 m⊥n C．若 m⊥n，m⊂α ，n⊂β ，则 α⊥β B．若 m⊥α，m∥n，n∥β ，则 α⊥β D．若 α∥β，m⊂α ，n⊂β ，则 m∥n 答案 B 解析 A 项，若 α⊥β，m⊂α，n⊂β，则 m∥n 与 m，n 与异面直线均有可能，不正确；C 项，若 m⊥n，m⊂α，n⊂β，则 α，β有可能相交但不垂直，不

2、正确；D 项，若 α∥β，m⊂α，n⊂β， 则 m，n 有可能是异面直线，不正确，故选 B. b  c α β 2．设 a， ， 是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则 a⊥b 的一个充分不必要条件是( ) A．a⊥c，b⊥c C．a⊥α ，b∥α B．α⊥β，a⊂α ，b⊂β D．a⊥α ，b⊥α 答案 C 解析 对于 C，在平面 α 内存在 c∥b，因为 a⊥α，所以 a⊥c，故 a⊥b；A，B 中，直线 a，b 可能 是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D 中一定推出 a∥b. 3．(2019· 江西南

3、昌模拟)如图，在四面体 ABCD 中，已知 AB⊥AC，BD⊥AC，那 么 D 在平面 ABC 内的射影 H 必在( ) A．直线 AB 上 C．直线 AC 上 B．直线 BC 上 D．△ABC 内部 答案 A 解析 由 AB⊥AC，BD⊥AC，又 AB∩BD＝B，则 AC⊥平面 ABD，而 AC⊂平面 ABC，则平面 ABC⊥平面 ABD，因此 D 在平面 ABC 内的射影 H 必在平面 ABC 与平面 ABD 的交线 AB 上，故 选 A. 4．(2019· 江西临安一中期末 )三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱

4、 AA1 垂直于底面 A1B1C1，底面三角形 A1B1C1 是正三角形，E 是 BC 的中点，则下列叙述正确的是 ( ) ①CC1 与 B1E 是异面直线； ②AE 与 B1C1 是异面直线，且 AE⊥B1C1； ③AC⊥平面 ABB1A1； ④A1C1∥平面 AB1E. A．② C．①④ B．①③ D．②④ 答案 A 解析 对于①，CC1，B1E 都在平面 BB1C1C 内，故错误；对于②，AE，B1C1 为在两个平行平面中 且不平行的两条直线，底面三角形 ABC 是正三角形，E 是 BC 中点，所以 AE⊥BC，又 

5、B1C1∥BC， 故 AE⊥B1C1，故正确；对于③，上底面 ABC 是一个正三角形，不可能存在 AC⊥平面 ABB1A1， 故错误；对于④，A1C1 所在的平面与平面 AB1E 相交，且 A1C1 与交线有公共点，故错误．故选 A. 5．(2019· 福建泉州质检)如图，在下列四个正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，G 均为所在棱的中 点，过 E，F，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线 BD1 与平面 EFG 不垂直的是( ) 答案 D 解析 如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q 均为所在棱的中点，且六点

6、 共面，直线 BD1 与平面 EFMNQG 垂直，并且 A 项，B，C 中的平面与这个平 面重合，满足题意．对于 D 项中图形，由于 E，F 为 AB，A1B1 的中点，所以 EF∥BB1，故∠B1BD1 为异面直线 EF 与 BD1 所成的角，且 tan∠B1BD1＝ 2， 即∠B1BD1 不为直角，故 BD1 与平面 EFG 不垂直，故选 D. 6．(2019· 保定模拟)如图，在正四面体 P－ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC， CA 的中点，下面四个结论不成立的是( ) A．BC∥平面 PDF B．DF⊥平面 PAE C．平面 PDF⊥平面 P

7、AE D．平面 PDE⊥平面 ABC 答案 D 解析 因 BC∥DF，DF⊂平面 PDF，BC⊄平面 PDF，所以 BC∥平面 PDF，A 成立；易证 BC⊥平 面 PAE，BC∥DF，所以结论 B，C 均成立；点 P 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心，不在中 位线 DE 上，故结论 D 不成立． 7.已知直线 PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于 A，B 的任一点，则下列关系中 不正确的是( ) A．PA⊥BC C．AC⊥PB B．BC⊥平面 PAC D

8、．PC⊥BC 答案 C 解析 AB 为直径，C 为圆上异于 A，B 的一点，所以 AC⊥BC.因为 PA⊥平面 ABC，所以 PA⊥BC. 因为 PA∩AC＝A，所以 BC⊥平面 PAC，从而 PC⊥BC.故选 C. ， E 8.如图，在三棱锥 D－ABC 中，若 AB＝CB AD＝CD， 是 AC 的中点，则下列命题中正确的是( ) A．平面 ABC⊥平面 ABD B．平面 ABD⊥平面 BCD C．平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ACD⊥平面 BDE D．平面 ABC⊥平面 ACD，且

9、平面 ACD⊥平面 BDE 答案 C 解析 因为 AB＝CB，且 E 是 AC 的中点，所以 BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于 DE∩BE＝E，于 是 AC⊥平面 BDE.因为 AC⊂平面 ABC，所以平面 ABC⊥平面 BDE.又 AC⊂平面 ACD，所以平面 ACD⊥平面 BDE.故选 C. 9．(2019· 沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥 P－ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面 ABC. 则下列结论不正确的是( ) A．CD∥平面 PAF C．CF∥平面 PAB B．DF⊥平面 

10、PAF D．CF⊥平面 PAD 答案 D B 解析 A 中，∵CD∥AF，AF⊂面 PAF，CD⊄面 PAF，∴CD∥平面 PAF 成立； 中，∵六边形 ABCDEF 为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面 ABCDEF，∴DF⊥平面 PAF 成立；C 中，CF∥AB，AB⊂平 面 PAB，CF⊄平面 PAB，∴CF∥平面 PAB；而 D 中 CF 与 AD 不垂直，故选 D. D 10．(2019· 重庆秀山高级中学期中)如图，点 E 为矩形 ABCD 边 CD 上异于点 C， 的动点，将△ADE 沿 AE 翻折成△SAE，使得平面 SA

11、E⊥平面 ABCE，则下列说法中正确的有( ) ①存在点 E 使得直线 SA⊥平面 SBC；②平面 SBC 内存在直线与 SA 平行；③平面 ABCE 内存在直 线与平面 SAE 平行；④存在点 E 使得 SE⊥BA. A．1 个 C．3 个 B．2 个 D．4 个 答案 A 解析 ①若直线 SA⊥平面 SBC，则 SA⊥SC，又 SA⊥SE，SE∩SC＝S，∴SA⊥平面 SEC，又平 面 SEC∩平面 SBC＝SC，∴点 S，E，B，C 共面，与已知矛盾，故①错误；②∵平面 SBC∩直线

12、 SA＝S，故平面 SBC 内的直线与 SA 相交或异面，故②错误；③在平面 ABCD 内作 CF∥AE，交 AB 于点 F，由线面平行的判定定理，可得 CF∥平面 SAE，故③正确；④若 SE⊥BA，过点 S 作 SF⊥AE 于点 F，∵平面 SAE⊥平面 ABCE，平面 SAE∩平面 ABCE＝AE，∴SF⊥平面 ABCE，∴ SF⊥AB，又 SF∩SE＝S，∴AB⊥平面 SEC，∴AB⊥AE，与∠BAE 是锐角矛盾，故④错误． 11．(2019· 泉州模拟)点 P 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动，给出下列命题：

13、 3 ＝OD＝1，故 O 为所求外接球的球心，故半径 r＝1，体积 V＝  πr3＝  π. 答案    2 ①三棱锥 A－D1PC 的体积不变； ②A1P∥平面 ACD1； ③DB⊥BC1； ④平面 PDB1⊥平面 ACD1. 其中正确的命题序号是________． 答案 ①②④ 解析 对于①，VA－D1PC＝VP－AD1C 点 P 到面 AD1C 的距离，即为线 BC1 与面 AD1C 的距离， 为定值故①正确，对于②，因为面 A1C1B∥面 AD1C，所以线 A1P∥面 AD1C，故②正确，对于③， DB 与 BC1 成 60°角，

14、故③错．对于④，由于 B1D⊥面 ACD1，所以面 B1DP⊥面 ACD1，故④正确． 12．(2019· 山西太原一模)已知在直角梯形 ABCD 中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2， 将直角梯形 ABCD 沿 AC 折叠成三棱锥 D－ABC，当三棱锥 D－ABC 的体积取最大值时，其外接 球的体积为________． 4 答案 π 解析 当平面 DAC⊥平面 ABC 时，三棱锥 D－ABC 的体积取最大值．此时易知 BC⊥平面 DAC， ∴BC⊥AD，又 AD⊥DC，∴AD⊥平面 BCD，∴AD⊥BD，取 AB 的中点 O，易得 OA＝OB

15、＝OC 4 4 3 3 13．(2019· 辽宁大连双基测试)如图所示，∠ACB＝90°，DA⊥平面 ABC，AE⊥DB 交 DB 于 E，AF⊥DC 交 DC 于 F，且 AD＝AB＝2，则三棱锥 D－AEF 体积的最 大值为________． 6 解析 因为 DA⊥平面 ABC，所以 DA⊥BC，又 BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以 BC⊥平面 ADC， 所以 BC⊥AF，又 AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以 AF⊥平面 DCB，所以 AF⊥EF，AF⊥DB，又 DB⊥AE， AE∩AF＝A，所以 DB⊥平面 AEF，所以 DE 为三棱

16、锥 D－AEF 的高．因为 AE 为等腰直角三角形 ABD 斜边上的高，所以 AE＝   2，设 AF＝a，FE＝b，则△AEF 的面积 S＝  ab≤  ·     ＝  ×  ＝ ，所以三棱锥 D－AEF 的体积 V≤  ×  ×   2＝   (当且仅当 a＝b＝1 时等号成立)． 1 1 a2＋b2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 3 2 6 14．如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点，求证： (1)CD⊥AE； (2)P

17、D⊥平面 ABE. 答案 (1)略 (2)略 证明 (1)∵PA⊥底面 ABCD， ∴CD⊥PA. 又 CD⊥AC，PA∩AC＝A， 故 CD⊥平面 PAC，AE 平面 PAC. 故 CD⊥AE. (2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，故 PA＝AC. ∵E 是 PC 的中点，故 AE⊥PC. 由(1)知 CD⊥AE，由于 PC∩CD＝C， 从而 AE⊥平面 PCD，故 AE⊥PD. 易知 BA⊥PD，故 PD⊥平面 ABE. 15．(2019· 安徽马鞍山一模)如图①，在直角梯形 ABCD 中，AB⊥BC，BC∥A

18、D，AD＝2AB＝4， BC＝3，E 为 AD 的中点，EF⊥BC，垂足为 F.沿 EF 将四边形 ABFE 折起，连接 AD，AC，BC， 得到如图②所示的六面体 ABCDEF.若折起后 AB 的中点 M 到点 D 的距离为 3. 答案   (1)略  (2) (1)求证：平面 ABFE⊥平面 CDEF； (2)求六面体 ABCDEF 的体积． 8 3 解析 (1)如图，取 EF 的中点 N，连接 MN，DN，MD. 根据题意可知，四边形 ABFE

19、 是边长为 2 的正方形， 又∵DC∥AB，DC＝  AB， ∴MN⊥EF. 由题意，得 DN＝ DE2＋EN2＝ 5，MD＝3， ∴MN2＋DN2＝22＋( 5)2＝9＝MD2， ∴MN⊥DN，∵EF∩DN＝N，∴MN⊥平面 CDEF. 又 MN⊂平面 ABFE，∴平面 ABFE⊥平面 CDEF. (2)连接 CE，则 V 六面体 ABCDEF＝V 四棱锥 C－ABFE＋V 三棱锥 A－CDE. 由(1)的结论及 CF⊥EF，AE⊥EF，得 CF⊥平面 ABFE，AE⊥平面 CDEF， 1 4 ∴V 四棱锥 C－ABFE＝3·S 正方形 

20、ABFE·CF＝3， 1 4 V 三棱锥 A－CDE＝3·S△CDE·AE＝3， 4 4 8 ∴V 六面体 ABCDEF＝3＋3＝3. 16.(2019· 潍坊质检)直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是直角梯形， ∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2. (1)求证：AC⊥平面 BB1C1C； (2)在 A1B1 上是否存在一点 P，使得 DP 与平面 BCB1 和平面 ACB1 都平行？证明你的结论． 答案 (1)略 (2)P 为 A1B1 的中点时，DP 与平面 BCB1 和平面 ACB1 都平行． 解析 (1

21、)∵直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，BB1⊥平面 ABCD，∴BB1⊥AC. 又∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2， ∴AC＝ 2，∠CAB＝45°. ∴BC＝ 2.∵BC2＋AC2＝AB2，∴BC⊥AC. 又 BB1∩BC＝B，BB1⊂平面 BB1C1C， BC⊂平面 BB1C1C，∴AC⊥平面 BB1C1C. (2)存在点 P，P 为 A1B1 的中点． 1 由 P 为 A1B1 的中点，有 PB1∥AB，且 PB1＝2AB. 1 2 ∴DC∥PB1，且 DC＝PB1. ∴四边形 DCB1P 为平行四边形，从而 CB1∥DP. 又 CB1⊂平面 ACB1，DP⊄平面 ACB1， ∴DP∥平面 ACB1.同理，DP∥平面 BCB1.