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1、3.1 随机电压信号在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：
（1）密度函数、和，k为任意整数；
（2）的平稳性。
3.1解：
(1)
(2)由于任意k阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的。也是严格循环平稳的；因为是高斯随机信号，所以也是广义平稳的和广义循环平稳的。
3.2
3.3
3.4 已知随机信号和相互独立且各自平稳，证明新的随机信号也是平稳的。
3.4解：
与各自平稳，设， ，，
，为常数
仅与有关，故也是平稳过程。
3.5 随机信号，为确定常数，在上均匀分布的随机变
2、量。若通过平方律器件，得到，试求：
（1）的均值；
（2）的相关函数；
（3）的广义平稳性。
解：(1)
仅与有关，且均值为常数，故是平稳过程。
3、
4、
3.6 给定随机过程，其中是常数，和是两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为。证明是广义平稳而不是严格平稳的。
3.6证明：
由于均值是常数，且相关函数只与有关，故是广义平稳过程。
3.7 是广义周期平稳的实随机信号，平稳周期为100，有均值和相关函数，试求：
（1），；
（2），
；
（3）。
3.7解：
3.8 给定过程和，其中随机变量独立，均值都为0，方差都为5。
（1）证明和各自平稳且联合平稳。
（2）求两个过程的互相关函数。
解： 因为随机变量独立
5、，均值都为0，方差都为5，所以，，故有
由于均值是常数，且相关函数只与有关，故是广义平稳过程。同理得到：
均值是常数，相关函数也只与有关，故也是平稳过程。
与分别广义平稳，其互相关函数也只与有关，所以和联合广义平稳。
3.9 两个统计独立的平稳随机过程和，其均值都为0，自相关函数分别为，，试求：
（1）的自相关函数；
（2）的自相关函数；
（3）互相关函数。
3.9解：
3.10
3.11
3.12 广义平稳随机过程的自相关函数矩阵如下，试确定矩阵中带下划线的空白处元素的值。
3.12解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩
6、阵的对称性，得到：
3.13
3.14 对于两个零均值广义平稳随机过程和，已知，，问下述函数可否作为自相关函数，为什么？
（1）；否，非偶函数
（2）；否，非偶函数
（3）；否，
（4）；否，
（5）；是
（6）。 不是
（7）； 是
（8）。 不是
解：根据平稳随机信号相关函数的性质，
(1)否，该函数非偶函数 （2）否，该函数非偶函数 （3） 否，不符合题意 （4） 否，不是非负 （5）是 （6） 不是， 非零，不符合题意 （7） 是 （8） 不是，非零，不符合题意
3.15
3.16 已知随
7、机过程和独立且各自平稳，自相关函数为与。令随机过程，其中A是均值为2，方差为9的随机变量，且与和相互独立。求过程的均值、方差和自相关函数。
解：
3.17
3.18
3.19 平稳信号X(t)的功率谱密度为
（1）
（2）
求它们的自相关函数和均方值。
解：(1)
(2) 查傅立叶变换表:
3.20
3.21 下述函数哪些是实随机信号功率谱的正确表达式？为什么？
（1） 是
（2） 是
（3） 不是，时值为负数。
（4） 不是，功率谱为复数，
（5）
8、 是。
（6） 不是，非偶函数。
判断的原则：实平稳信号功率谱是实的，非负的偶函数。
3.22 是平稳随机过程，证明过程的功率谱是
3.22
3.23
3.24 设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为
求互谱密度与。
3.24
3.25 设随机过程,式中是一组实常数。而随机过程为平稳的和彼此正交的。试证明：
3.25
3.31假定周期为T高为A的锯齿波脉冲串具有随机相位，如题图3.31所示，它在时刻以后出现的第一个零值时刻是均匀分布的随机变量。试说明的一阶密度函数为
题图3.31
3.31
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