2018-2019学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充与复数的概念课件 新人教A版选修2-2.ppt

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1、第三章,数系的扩充与复数的引入,十六世纪，人们在讨论一元二次方程、一元三次方程的根时，为了研究问题的需要引入了复数．复数是由意大利米兰学者卡当首先引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受．高斯把复数与平面上的点一一对应使得复数与向量、解析几何、三角函数等密切联系起来．复数有向量表示、三角表示，指数表示等，满足四则运算等性质．它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具．随着科学和技术的进步，复数理论不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中

2、显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论． 学习本章要注意感受人类理性思维在数系扩充中的作用．,,,3．1 数系的扩充与复数的概念,3．1.1 数系的扩充与复数的概念,自主预习学案,,,1．数系扩充的脉络、原则 脉络：自然数系→整数系→有理数系→实数系→_______ 原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则： (1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集； (2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定律) _____适用； (3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系_________； (4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾．,复数系,依然,保持不变

3、,－1,实部,虚部,复数集,a＝c且b＝d,a＝0且b＝0,必要不充分,b＝0,b≠0,(2)集合表示：,,C,2．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为_________． [解析] 由条件知a2－3＋2a＝0， ∴a＝1或a＝－3． 3．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)ib，则a＋i>b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析] 选B．对于①，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故①正确． 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错． 对于③，当x＝1，y＝i时x

4、2＋y2＝0成立，故③错．④正确．,B,命题方向2 ⇨复数的分类,典例 2,『规律总结』 1．判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先，参数的取值要保证复数有意义，然后按复数表示实数、虚数、纯虚数等各类数的充要条件求解． 2．对于复数z＝a＋bi(a、b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它． 3．形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件b∈R 且b≠0时，形如bi的数才是纯虚数．,〔跟踪练习2〕 实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是(1)实数？(2)虚数？(3)零？,命题方向3 ⇨复

5、数相等的条件,已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x－10)＋i＝y－3i，求x与y． [思路分析] 因为y是纯虚数，所以可设y＝bi(b∈R，b≠0)代入等式，把等式的左、右两边都整理成a＋bi的形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b的值．,典例 3,『规律总结』 一般利用复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数．复数相等是实现复数向实数转化的桥梁．,〔跟踪练习3〕 已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1,4i}，若M∪P＝P，则实数m的值为______． [思路分析] 由M∪P＝P知

6、，M是P的子集，从而可知(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或4i，利用复数相等的条件可求得m的值．,1或2,两个复数能比较大小时，这两个复数必为实数，从而这两个复数的虚部为0．,根据复数的大小求参数的值,典例 4,『规律总结』 已知两个复数的大小求参数值时，一般先由复数的虚部为0求得参数的值，再进一步检验复数的大小关系即可．,〔跟踪练习4〕 (1)已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且zz2的m值的集合是什么？使z1

7、3时，z＝0，不符合题意．k＝2时，z＝－2<0，符合题意．,在下列命题中，正确命题的个数是( ) ①两个复数不能比较大小； ②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2； ③若a、b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数． A．0 B．1 C．2 D．3,要准确掌握复数的概念,典例 5,,[错解] 两个复数不能比较大小，故①正确； 设z1＝mi(m∈R)，z2＝ni(n∈R) ∵z1与z2的虚部相等，∴m＝n，∴z1＝z2，故②正确． 若a、b是两个相等的实数，则a－b＝0， 所以(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，故③正确． 综上可知

8、：①②③都正确，故选D． [辨析] 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，错解①中忽视了这一特殊情况导致错误；而错解②将虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代数形式上，纯虚数为bi(b∈R且b≠0)虚数为a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．③中要保证a＋b≠0才可能是纯虚数．,[正解] A 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①是不正确的； 设z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c，d∈R且d≠0)，∵b＝d，∴z2＝c＋bi． 当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②是错误的，③当a＝b≠0时，a－b＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，a－b＋(a＋b)i＝0是实数，故③错误，因此选A． [点评] 复数有许多与实数不同的性质，在引用实数的一些结论时，一定要考虑在复数集中是否还成立，如两个实数可以比较大小，但不全为实数的两个复数就不能比较大小．,－1,