微分方程求解实验报告

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1、 新乡学院数学与信息科学系 实验报告 实验项目名称 微分方程求解 所属课程名称 数学实验 实 验 类 型 综合性实验 实 验 日 期 2013-5-10 班 级 11级数学与应用数学一班 学 号 姓 名 高亚丹 成

2、 绩 一、实验概述： 【实验目的】 1.会解微分方程 simplify(s):对表达式s使用maple的化简规则进行化简 例如： simplify（sin（x）^2+cos（x）^2） ans=1 2.学会用数值解解法、解析解解法、Euler折线法解微分方程 y=dsolve(‘x*Dy+y-exp(x)=0’,’y(1)=2*exp(1)’,’x’) ezplot(y) 3.用Matlab解多元微分方程和一元微分方程组 Ode23,ode45常用来求解非刚性的标准形式的一阶常微分方

3、 【实验原理】 1． 绘图原理 2.编写解析解，数值解，Euler折线法解微分方程的程序 【实验环境】 MATLAB7.0 二、实验内容： 【实验方案】 1.用Euler折线法和数值解解微分方程 2.图形的绘制 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 1．分别用ode23、ode45求微分方程 初值问题的数值解,求解区间为t∈【0,0.5】.利用画图来比较两种求解器之间的 差异. 求解本问题的 Matlab 程序为： 先编写函

4、数文件verderpol.m： function xprime=verderpol(t,x) xprime=[-x(1)-x(2);x(2)-x(1)]; 再编写命令文件vdp.m： y0=[1;0]; [t,x]=ode45('verderpol',[0,0.5],y0) plot(x(:,1),x(:,2),'r+'); hold on clear y0=[1;0]; [t,x]=ode23('verderpol',[0,0.5],y0) plot(x(:,1),x(:,2),'b*'); 数据结果为： t = 0 0.0001

5、 0.0001 0.0002 0.0002 0.0005 0.0007 0.0010 0.0012 0.0025 0.0037 0.0050 0.0062 0.0125 0.0188 0.0251 0.0313 0.0438 0.0563 0.0688 0.0813 0.0938 0.1063 0.1188 0.1313 0.1438 0.1563

6、 0.1688 0.1813 0.1938 0.2063 0.2188 0.2313 0.2438 0.2563 0.2688 0.2813 0.2938 0.3063 0.3188 0.3313 0.3438 0.3563 0.3688 0.3813 0.3938 0.4063 0.4188 0.4313 0.4438 0.4563 0.4688

7、 0.4813 0.4860 0.4907 0.4953 0.5000 x = 1.0000 0 0.9999 -0.0001 0.9999 -0.0001 0.9998 -0.0002 0.9998 -0.0002 0.9995 -0.0005 0.9993 -0.0007 0.9990 -0.0010 0.9988 -0.0012 0.9975 -0.0025 0.99

8、63 -0.0037 0.9951 -0.0050 0.9938 -0.0062 0.9876 -0.0125 0.9816 -0.0188 0.9756 -0.0251 0.9696 -0.0314 0.9580 -0.0439 0.9468 -0.0564 0.9358 -0.0690 0.9251 -0.0815 0.9147 -0.0941 0.9046 -0.1067 0.8947 -0.1194

9、 0.8852 -0.1321 0.8759 -0.1448 0.8669 -0.1576 0.8582 -0.1705 0.8497 -0.1833 0.8415 -0.1963 0.8336 -0.2093 0.8259 -0.2224 0.8185 -0.2355 0.8113 -0.2487 0.8044 -0.2620 0.7978 -0.2754 0.7914 -0.2888 0.7852 -

10、0.3024 0.7793 -0.3160 0.7736 -0.3298 0.7682 -0.3436 0.7630 -0.3576 0.7581 -0.3716 0.7534 -0.3858 0.7489 -0.4001 0.7446 -0.4145 0.7406 -0.4291 0.7368 -0.4438 0.7333 -0.4586 0.7300 -0.4736 0.7269 -0.4887 0.

11、7240 -0.5040 0.7214 -0.5194 0.7205 -0.5252 0.7196 -0.5310 0.7187 -0.5369 0.7179 -0.5427 t = 0 0.0001 0.0005 0.0025 0.0125 0.0625 0.1125 0.1625 0.2125 0.2625 0.3125 0.3625 0.4125 0.4

12、625 0.5000 x = 1.0000 0 0.9999 -0.0001 0.9995 -0.0005 0.9975 -0.0025 0.9877 -0.0125 0.9413 -0.0626 0.8997 -0.1130 0.8626 -0.1639 0.8298 -0.2157 0.8011 -0.2685 0.7765 -0.3227 0.7557 -0.3786 0.73

13、87 -0.4363 0.7254 -0.4962 0.7179 -0.5427 2.利用Euler折线法求解微分方程初值问题 y=y‘- y（0）=1 的数值解（步长h取0.001），求解范围为【0,2】. 解：本问题的差分方程为： 相应的Matlab程序为： f=sym('y-12*x^2/y^3'); a=0; b=2; h=0.001; n=(b-a)/h+1; x=0; y=1; szj=[x,y]; for i=1:n-1 y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y});

14、 x=x+h; szj=[szj;x,y]; end szj plot(szj(:,1),szj(:,2)) 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 1.2387 0.0000 1.2399 0.0000 1.2412 0.0000 1.2424 0.0000 1.2436 0.0000 1.4261 0.0000

15、1.4276 0.0000 1.4290 0.0000 1.4304 0.0000 1.7858 0.0000 1.7876 0.0000 2.3484 0.0000 2.4054 0.0000 2.4078 0.0000 2.4102 0.0000 2.4223 0.0000 2.4247 0.0000 2.4271 0.0000 2.4296 0.0000 2.4320 0.

16、0000 2.4417 0.0000 2.4442 0.0000 2.4466 0.0000 2.4491 0.0000 2.4515 0.0000 2.4613 0.0000 2.4638 0.0000 2.4663 0.0000 2.4687 0.0000 2.4712 0.0000 2.4737 0.0000 2.4761 0.0000 2.4786 0.0000 2.4811

17、 0.0000 2.4836 0.0000 2.4861 0.0000 2.4885 0.0000 2.4910 0.0000 2.4935 0.0000 2.4960 0.0000 2.4985 0.0000 2.5010 0.0000 2.5035 0.0000 2.5060 0.0000 3.7453 0.0000 3.8133 0.0000 3.8171 0.0000 3.

18、8209 0.0000 3.8247 0.0000 3.8285 0.0000 3.8324 0.0000 3.8362 0.0000 3.8400 0.0000 3.8439 0.0000 3.8477 0.0000 3.8516 y‘=y-cosx 3.用ode45方法求 的常微分方程初值问题的数 y（0）=1 值解，从而利用画图来比较与四阶Runge-Kutta法的差异。 解：四阶Runge-Kutta法

19、： f=sym('y-12*x^2/y^3'); a=0; b=2; h=0.001; n=(b-a)/h+1; x=0; y=1; szj=[x,y]; for i=1:n-1 y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y}); x=x+h; szj=[szj;x,y]; end szj plot(szj(:1),szj(:2)) szj = 1.0e+008 * 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.7417 0.0000

20、 1.7435 0.0000 1.7452 0.0000 1.7470 0.0000 1.7487 0.0000 1.7505 0.0000 1.7522 0.0000 1.7540 0.0000 1.7557 0.0000 1.7575 0.0000 1.7592 0.0000 1.7610 3.0000 39.0517 Ode45解法： fun=inline('y-(exp(x))*cos(x)','

21、x','y'); [x,y]=ode45(fun,[0,3],1); plot(x,y) 运行结果为： >> [x,y] ans = 0 1.0000 0.0750 0.9971 0.1500 0.9882 0.2250 0.9729 0.3000 0.9509 0.3750 0.9221 0.4500 0.8861 0.5250 0.8432 0.6000 0.7933 0.6750 0.7367

22、 0.7500 0.6740 0.8250 0.6057 0.9000 0.5329 0.9750 0.4568 1.0500 0.3789 1.1250 0.3010 1.2000 0.2256 1.2750 0.1554 1.3500 0.0936 1.4250 0.0441 1.5000 0.0112 1.5750 0.0000 1.6500 0.0163 1.7250 0.0

23、666 1.8000 0.1582 1.8750 0.2994 1.9500 0.4993 2.0250 0.7681 2.1000 1.1171 2.1750 1.5584 2.2500 2.1056 2.3250 2.7733 2.4000 3.5774 2.4750 4.5351 2.5500 5.6648 2.6250 6.9862 2.7000 8.5204 2.7750 10.2898 2.8500 12.3180 2.9250 14.6297 3.0000 17.2511 图像结果为： 【实验结论】（结果） 用Matlab解微分方程容易简单 可以简单的画出曲线图 【实验小结】（收获体会） 1.学会使用解析解，数值解，Euler折线法解微分方程 2.学会绘图，使图像更清晰 3.了解到ode23和ode45的区别