空间向量及二面角地向量求法专地题目(共10页)

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1、第四讲 空间向量 一、定义： （1）已知，则 （2）已知，则；； （3）数量积： 注：；； （4）应用：已知 = 二、空间向量解决空间立体几何问题： 1、位置关系判定： （1）线线平行： 线线垂直： （2）线面平行：（其中为平面的法向量） 线面垂直： （3）面面平行： 面面垂直： 2、求夹角： （1）线线角：，其中 （2）线面角：，其中 （3）二面角：，其中 向量法求解二面角 向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面

2、的各种问题。 随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些空间想象能力较差的同学提供了机遇。利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计算和一些证明的问题，尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成的角和二面角）时，法向量有着它独有的优势，以下举例全面剖析在立几中如何用法向量求二面角。 一. 利用法向量求二面角的大小的原理: 设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量 的夹角为，则有（图1）或 （图2） 图1 图2 基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角

3、等于这个二面角的平面角． 二. 如何求平面的一个法向量: z 例题1: 如图3，在正方体ABCD-A1B!C1D1中G、E、F分别 为AA1、AB、BC的中点，求平面GEF的法向量。 略解：以D为原点建立右手空间直角坐标系，则E(1，,0) 、F(，1,0) 、 G(1,0，)由此得: 设平面的法向量为 由^及^可得 令y=1取平面的一个法向量为 评析 因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量（教简单的）即可。 三. 法向量的应用举例: 例题4. 在长方体ABCD—A1B1C1D

4、1中，AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点，求此时二面角A—A1D—Q的大小． ． 评析（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这在一定程度上降低了学生的空间想象能力，达到不用作图就可以直接计算的目的,更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。 （2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令，则，∴，∴二面角A—A1D—Q的大小 是的补角。所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。 例5

5、 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小。 评析：（1）因为所求的二面角的交线在图中较难作出，所以用传统的方法求二面角比较困难，向量法在这里就体现出它特有的优势；（2）但判断侧面SCD与面SBA所成的二面角的平面角是锐角还是钝角时，图形的直观性就不明显了，当不能很好地判断所求的二面角的类型时,以下给出解决方案。 四. 当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时, 通过判断法向量的方向来求解二面角. 原理

6、首先我们再重新认识一下法向量夹角和二面角的关系： 如上图6所示，当我们把法向量控制成“一进一出”， 图6 此时两法向量在三个坐标平面的投影也 可以看成是“一进一出”，这时不难得出的夹角 就是二面角的大小，反之就不是。 其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想 要的“向上或向下”，“向后或向前”，“向左或向右”呢？ 如图7所示：平面ABC的法向量 若要法向量的方向“向上”,可设＝或 ＝,其中>0；若要法向量的方向 “向前”,可设＝或＝,其中 ；若要法向量的方向“向右”，可设＝ 或＝,其中 所以，只要我们判断两个法向量的方向是 “一进一出”，那么所求的二面角的平面

7、角就等 于两法向量的夹角，如果是“同进同出”， 那么 所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角，掌握了这点，那么用法向量求二面角就可以做到随心所欲。 1，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小。 2如图，正三棱柱的所有棱长都为 ，为中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的大小； 3.如图，已知四棱锥，底面为菱形， 平面，，分别是的中点． （1）证明：； （2）若为上的动点，与

8、平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值． 4．如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1. （1）证明PA⊥平面ABCD； （2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小 　5．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=1，，AB1与A1B相交于点D，M为B1C1的中点. （1）求证：CD⊥平面BDM； 　（2）求平面B1BD与平面CBD所成二面角的大小.