2023届大一轮复习 第33讲 复数（Word版含解析）

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1、2023届大一轮复习 第33讲 复数 一、选择题（共12小题） 1. 设 z=−3+2i，则在复平面内 z 对应的点位于    A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知 a∈R，若 a−1+a−2i（i 为虚数单位）是实数，则 a=    A. 1 B. −1 C. 2 D. −2 3. 设 1−ix=1+yi，其中 x，y 是实数，则 x+yi 在复平面内所对应的点位于    A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若复数 1−ia+i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数

2、 a 的取值范围    A. −∞,1 B. −∞,−1 C. 1,+∞ D. −1,+∞ 5. 在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 1,2，则 i⋅z=    A. 1+2i B. −2+i C. 1−2i D. −2−i 6. 若 z=1+i，则 z2–2z=    A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 7. 复数 11−3i 的虚部是    A. −310 B. −110 C. 110 D. 310 8. 2−i1+2i=    A. 1 B. −1 C. i D. −i 9. 已知复数 z=2+i，则 z

3、⋅z=    A. 3 B. 5 C. 3 D. 5 10. 设复数 z 满足 z−i=1，z 在复平面内对应的点为 x,y，则    A. x+12+y2=1 B. x−12+y2=1 C. x2+y−12=1 D. x2+y+12=1 11. 若 z1+i=2i，则 z=    A. −1−i B. −1+i C. 1−i D. 1+i 12. 复数 21−i（i 为虚数单位）的共轭复数是    A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i 二、填空题（共20小题） 13. 已知复数 z=21−i，其中 i

4、 为虚数单位，则复数 z 的共轭复数为  ． 14. 已知 x>0，若 x−i2 是纯虚数（其中 i 为虚数单位），则 x=  ． 15. 已知复数 z=1−i2i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部为  ． 16. 已知 i 为虚数单位，复数 z=32−32i 的模为  ． 17. 若复数 z 满足 z⋅2i=∣z∣2+1（其中 i 为虚数单位），则 ∣z∣=  ． 18. 设复数 z 满足 z

5、+ii=−3+4i（i 为虚数单位），则 z 的模为  ． 19. 若复数 z 满足 z1−i=2i（i 是虚数单位），z 是 z 的共轭复数，则 z⋅z=  ． 20. 如图，在复平面内，点 A 对应的复数为 z1，若 z2z1=i（i 为虚数单位），则 z2=  ． 21. 已知复数 z=a+i1+3i（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为  ． 22. 若复数 z 满足 z1+i=1，其中 i 为虚数单位，则 z 在复平

6、面内对应的点在第  象限． 23. 若复数 z 满足 za+2i=i（i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数 a 的值为  ． 24. 已知复数 z=3+4i5i，其中 i 是虚数单位，则 ∣z∣=  ． 25. 已知复数 z=2i1−i−3i（i 为虚数单位），则复数 z 的模为  ． 26. 复数 z 满足 zi=4+3i（i 是虚数单位），则 z=  ． 27. 若 i 是虚数单位，且复数 z

7、 满足 1+iz=2，则 ∣z∣=  ． 28. 复数 21−i（i 为虚数单位）的共轭复数是  ． 29. 1+i1−i6+2+3i3−2i=  ． 30. 若复数 z 满足 2z+z=3−2i，其中 i 为虚数单位，则 z=  ． 31. 已知复数 z=x+yi，且 ∣z−2∣=3，则 yx 的最大值为  ． 32. 已知 i 是虚数单位，则复数 z=1+i2−i 的实部是

8、  ． 三、解答题（共2小题） 33. 已知 i 是虚数单位，复数 z=m21+i−m2+3i−42+i，当 m 分别取何实数时，z 满足如下条件? （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数； （4）零． 34. 如图所示，平行四边形 OABC，顶点 O，A，C 分别表示 0，3+2i，−2+4i，试求： （1）AO，BC 所表示的复数； （2）对角线 CA 所表示的复数； （3）B 点对应的复数． 答案 1. C 【解析】由 z=−3+2i，得 z=−3−2i，则 z=−3−2i 对应的点 −3,−2 位于第三象限． 2.

9、 C 【解析】因为 a−1+a−2i 为实数，所以 a−2=0，所以 a=2． 3. D 【解析】因为 x，y 是实数， 所以 1−ix=x−xi=1+yi， 所以 x=1,−x=y, 解得 x=1,y=−1, 所以 x+yi 在复平面内所对应的点为 1,−1，位于第四象限． 4. B 【解析】因为 z＝1−ia+i=a+1+1−ai， 所以它在复平面内对应的点为 a+1,1−a， 又此点在第二象限，所以 a+1<0,1−a>0, 解得 a<−1． 5. B 【解析】由题意得 z=1+2i， 所以 iz=i−2． 6. D 【解析】由题意可得：z

10、2=1+i2=2i， 则 z2−2z=2i−21+i=−2，故 z2−2z=−2=2． 7. D 【解析】因为 z=11−3i=1+3i1−3i1+3i=110+310i， 所以复数 z=11−3i 的虚部是 310． 故选：D． 8. D 【解析】2−i1+2i=2−i1−2i1+2i1−2i=−5i5=−i． 9. D 【解析】由题 z=2+i，则 z⋅z=2+i2−i=5． 10. C 【解析】由题可得 z=x+yi，z−i=x+y−1i，z−i=x2+y−12=1， 则 x2+y−12=1． 11. D 【解析】z=2i1+i=2i1−i1+i1−

11、i=1+i． 12. B 【解析】因为 21−i=21+i2=1+i， 所以共轭复数为 1−i． 13. 1−i 【解析】因为复数 z=21−i=21+i1−i1+i=1+i，所以复数 z 的共轭复数 z=1−i． 14. 1 【解析】因为 x−i2=x2−2xi+i2=x2−1+2xi 为纯虚数， 所以 x2−1=0,x≠0,x>0, 解得 x=1． 15. −12 【解析】解法 1：z=1−ii2i⋅i=1+i−2=−12−12i，所以 z 的虚部是 −12． 解法 2：设 z=a+bia,b∈R，则 2ia+bi=1−i， 即 −2b+2ai=

12、1−i，所以 −2b=1，得 b=−12． 16. 3 【解析】∣z∣=322+−322=3． 17. 1 【解析】两边同时取模得 ∣z⋅2i∣=2∣z∣=∣z∣2+1，即 ∣z∣2−2∣z∣+1=0，所以 ∣z∣=1． 18. 25 【解析】因为 z+ii=−3+4i， 所以 zi=−2+4i， 所以 ∣z∣=∣−2+4i∣∣i∣=4+16=25． 19. 2 【解析】因为 z⋅z=z2，且 z=2i1−i=22=2， 所以 z⋅z=2． 20. −2−i 【解析】由图可知 z1=−1+2i，又因为 z2z1=i， 所以 z2=iz1=i−1+2i=−2

13、−i． 21. −3 【解析】z=a+i1+3i=a+i1−3i1+3i1−3i=a+3+1−3ai10， 由 z 是纯虚数，则 a+3=0，故 a=−3． 22. 四 【解析】因为 z=11+i=1−i2=12−12i， 所以对应的点为 12,−12，故在第四象限． 23. −2 【解析】由 za+2i=i 得 z=a+2i⋅i=−2+ai，又 z 实部和虚部相等，所以 a=−2． 24. 1 【解析】解法 1：因为复数 z=3+4i5i=45−35i， 所以 ∣z∣=452+−352=1． 解法 2：根据复数的性质：z1z2=z1z2 可得：∣z∣=3+4i

14、5i=∣3+4i∣∣5i∣=55=1． 25. 5 【解析】z=2i1−i−3i=2i1+i1−i1+i−3i=−2+2i2−3i=−1−2i， 所以 ∣z∣=−12+−22=5． 26. 5 【解析】由已知得，z=4+3ii=4+3iii2=−3+4i−1=3−4i， 则 z=32+−42=5． 27. 2 【解析】解法 1（定义法）z=21+i=1−i，所以 ∣z∣=2． 解法 2（复数模的性质）对 1+iz=2 两边同时取模，即 ∣1+iz∣=2，结合模的运算性质有 ∣1+i∣∣z∣=2，即 2∣z∣=2，所以 ∣z∣=2． 28. 1−i 【解析】先分母实

15、数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果． 29. −1+i 【解析】原式=1+i226+2+3i3+2i32+22=i6+6+2i+3i−65=−1+i． 30. 1−2i 【解析】设 z=a+bia,b∈R，则 z=a−bi， 所以 2a+bi+a−bi=3−2i，整理得 3a+bi=3−2i， 所以 3a=3,b=−2, 解得 a=1,b=−2, 所以 z=1−2i． 31. 3 【解析】因为 ∣z−2∣=x−22+y2=3， 所以 x−22+y2=3． 由图可知 yxmax=31=3． 32. 3 【解析】因为复数 z=1+i2−i， 所以 z=

16、2−i+2i−i2=3+i， 所以复数的实部为 3． 33. （1） z=m2−2m−8+m2−3m−4i． 当 m2−3m−4=0 时，即 m=−1 或 m=4 时，z 为实数；       （2） 当 m2−3m−4≠0 时，即 m≠−1 且 m≠4 时，z 为虚数；       （3） m2−3m−4≠0,m2−2m−8=0 时，即 m=−2 时，z 为纯虚数；       （4） m2−3m−4=0,m2−2m−8=0 时，即 m=4 时，z 为零． 34. （1） 因为 AO=−OA，所以 AO 所表示的复数为 −3−2i． 因为 BC=AO，所以 BC 所表示的复数为 −3−2i．       （2） 因为 CA=OA−OC， 所以 CA 所表示的复数为 3+2i−−2+4i=5−2i．       （3） OB=OA+AB=OA+OC， 所以 OB 所表示的复数为 3+2i+−2+4i=1+6i， 即 B 点对应的复数为 1+6i． 第7页（共7 页）