2018-2019学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 最大值与最小值课件 苏教版选修1 -1.ppt

《2018-2019学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 最大值与最小值课件 苏教版选修1 -1.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 最大值与最小值课件 苏教版选修1 -1.ppt（34页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、3．3.3 最大值与最小值,,第3章 导数及其应用,学习导航,,,第3章 导数及其应用,1．函数的最大值与最小值 如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大 值____________． 如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有 ____________，则f(x0)为函数f(x)在定义域上的_________． 一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．函数的最值必在端点处或极值点处取得．,惟一,f(x)

2、≥f(x0),最小值,注意：开区间(a，b)上连续函数y＝f(x)的最值有如下几种 情况： 图①中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上有最大值无最小值; 图②中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上有最小值无最大值; 图③中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上既无最大值也无最 小值； 图④中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上既有最大值也有最 小值．,,2．函数的最值与极值的区别和联系 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较． (2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值

3、，则最大值或最小值只能各有一个，具有惟一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值． (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．,3．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 第一步，求f(x)在区间(a，b)上的____________； 第二步，将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 注意：(1)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最小值在端点处取得． (

4、2)当连续可导函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．,极值,1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“”) (1)定义在闭区间[a，b]上的函数f(x)一定有最大值和最小值． ( ) (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值是f(b)，f(x)的最小值是f(a)．( ) (3)定义在开区间(a，b)上的函数f(x)没有最大值．( ) (4)函数的所有极小值中最小的一个就是最小值．( ),,√,,,2．函数f(x)＝x3－12x＋16，

5、x∈[－2,3]的最大值是_______. 解析：f′(x)＝3x2－12＝0，∴x＝2， f(－2)＝－8＋24＋16＝32， f(2)＝8－24＋16＝0， f(3)＝27－36＋16＝7， ∴ymax＝32.,32,,π,4．若函数f(x)、g(x)在区间[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)， f(a)＝g(a)，则在区间[a，b]上有f(x)与g(x)的大小关系为 _________________． 解析：∵f′(x)>g′(x)， ∴f(x)－g(x)单调递增． ∵x≥a，∴f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)， 即f(x)－g(x)≥0，即f(x)≥g(x)．,f(x)≥

6、g(x),求函数的最值,∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0； 当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. (2)f′(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－3)(x－1)， 由f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3.,列表：,若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)上可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，其最值一定在极值点处或区间端点处取得，因此在求闭区间[a，b]上连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断导数为零的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较,就可判定最大(小)的函数值．对于开区间(a,b)内可导的函

7、数(定义域为开区间或半开半闭区间)求最值，除求出函数的极大值、极小值外,还应考虑函数在区间端点处的函数值或画出函数的大致图象,再判定函数的最大(小) 值，否则会犯错误，但定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．,解：f′(x)＝2x－2x3，解方程2x－2x3＝0， 得x＝0或x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：,,含参数的最值问题,,,,求函数在闭区间上的最值时，如果含有参数，则应进行分类讨论．由于函数的最值只能在极值点和端点处取得，所以只需比较极值点和端点处的函数值的大小即可，最后再将讨论的情况进行合并整理．,2．已知a是实数，函

8、数f(x)＝x2(x－a)． (1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)在区间[－1,0]上的最大值．,,,,函数最值的应用,,有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．即 ①若f(x)f(x)max； ②若f(x)>c恒成立，则c

9、∞时，f(x)→－∞. 故f(x)的图象大致如图所示． ∴方程x3－6x2＋9x－4＝0的根的个数为2个．,法二：转化为求f1(x)＝x3－6x2＋9x与f2(x)＝4图象交点的个数问题． ∵f1(x)＝x3－6x2＋9x， ∴f′1(x)＝3x2－12x＋9. 令f′1(x)＝0得x＝3或x＝1. 当x变化时，f′1(x)，f1(x)随x变化情况如下表：,又当x→＋∞时，f1(x)→＋∞. 当x→－∞时，f1(x)→－∞. 故f1(x)与f2(x)的图象大致如图所示． 由此知y＝f1(x)与y＝f2(x)图象有两个交点，故方程x3－6x2＋9x－4＝0的根的个数为2个．,[名师点评] (1)方程的根就是函数的零点，也就是函数图象与x轴的交点的横坐标，因此研究方程的根的问题，可以转化为求函数的零点问题，通过研究函数的图象加以解决． (2)在讨论函数的大致图象时，利用导数得到函数的单调性以及极值和最值的情况，然后讨论交点的情况，从而得到方程根的情况.,令f′(x)＝0，解得x＝1， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：,[感悟提高] 利用导数可以证明含有高次式、指数式、对数式等类型的不等式，在证明的过程中，首先要注意变量的取值范围，再正确的构造出函数，最后再求出函数的最值．,