2020年中考数学第一轮复习专题 第21课 二次函数

《2020年中考数学第一轮复习专题 第21课 二次函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年中考数学第一轮复习专题 第21课 二次函数（11页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 第 21 课 二次函数 本节内容考纲要求考查二次函数概念、图象、性质及应用，能根据具体问题求二次函数 的解析式，二次函数的应用。广东省近 5 年试题规律：二次函数是必考内容，选择题形式一 般考查二次函数的图象与性质，解答题形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较 大，通常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几何问题，要么以动态图形为背景，渗透二 次函数问题，是数形结合思想的典例。 知识清单 知识点一 二次函数的概念 概念 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．其中 x 是 自变量

2、，a、b、c 分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数 知识点二 二次函数的图象和性质 函数 a 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) a＞0                            a＜0 图象 开口方向 抛物线开口向上 抛物线开口向下 直线 x＝－ 对称轴  直线 x＝－ b 2a b 2a (－  ，       ) (－ ，       )

3、 当 x＝－ 时，y 有最小值为       . 当 x＝－ 时，y 有最大值为       . 在对称轴的左侧，即当 x＜－ 时，y 顶点坐标 最值 b  4ac－b2 2a    4a b 4ac－b2 2a                 4a b 在对称轴的左侧，即当 x＜－2a时，y b  4ac－b2 2a    4a b 4ac－b2 2a                 4a b 2a 增减性 知识点三 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧， 随 x 的增大而增大；在对称轴

4、的右侧， b                                 b y y 即当 x＞－2a时， 随 x 的增大而增大， 即当 x＞－2a时， 随 x 的增大而减小， 简记左减右增．                    简记左增右减. 抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a、b、c 是常数)的位置与 a，b，c 的关系 字母或 代数式 a  字母的符号 a＞0             开口向上  图象的特征 |a|越大开口越小. 1 a＜0 b＝0 b ab＞0(b 与 a

5、 同号) ab＜0(b 与 a 异号) c＝0 c c＞0 c＜0 b2－4ac＝0 b2－4ac b2－4ac＞0 b2－4ac＜0 开口向下 对称轴为 y 轴. 对称轴在 y 轴左侧. 对称轴在 y 轴右侧. 经过原点. 与 y 轴正半轴相交. 与 y 轴负半轴相交. 与 x 轴有一个交点(顶点). 与 x 轴有两个交点. 与 x 轴没有交点. 特殊 关系 当 x＝1 时，y＝a+b+c. 当 x＝－1 时，y＝a－ b+c. 若 a＋b＋c＞0，即当 x＝1 时，y＞0. 若 a＋b＋c＜0，即当 x＝1 

6、时，y＜0. 知识点四 二次函数平移规律 形如 y＝ax2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k 形式的函数图象可以相互平移得到，自变量加减左 右移，函数值加减上下移，简单记为：上加下减，左加右减. 知识点五 确定二次函数的解析式 方法 一般式 顶点式 交点式 适用条件及求法 若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次 函数解析式为 y＝ax2＋bx＋c. 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值)，可设所求二次 函数为 y＝a(x－h)2＋k. 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点

7、的坐标为(x1，0)，(x2，0)，可设所求的二 次函数为 y＝a(x－x1)(x－x2). 知识点六 二次函数与方程 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的交点的横坐标是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根. 知识点七 二次函数的实际应用 (1)通过阅读理解题意； (2)分析题目中的变量与常量，以及它们之间的关系； 步骤 (3)依据数量关系或图形的有关性质，列出函数关系式； (4)根据问题的实际意义或具体要求确定自变量的取值范围； (5)利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定函数的最大(小)值； (6)检验结果

8、的合理性，获得问题的答案. 1．（顶点坐标）抛物线 y=（x﹣2）2+3 的顶点坐标是（ ） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 2．（对称轴）抛物线 y=x2﹣2x﹣1 的对称轴是（ ） A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2 3．（最值）抛物线 y=（x﹣1）2+3（ ） 2 A．有最大值 1 B．有最小值 1 C．有最大值 3 D．有最小值 3 4．（最值）二次函数 y=﹣x2﹣4x+5 的最大值是（ ） A．﹣7 B．5 C．0 D．9 5

9、．（平移规律）将抛物线 y=3x2 平移得到抛物线 y=3（x+2）2，则这个平移过程 正确的是（ ） A．向左平移 2 个单位 C．向上平移 2 个单位 B．向右平移 2 个单位 D．向下平移 2 个单位 经典回顾 考点一 二次函数的图象与性质 【例 1】（2019•重庆）抛物线 y＝﹣3x2+6x+2 的对称轴是（ ） A．直线 x＝2 B．直线 x＝﹣2 C．直线 x＝1 D．直线 x＝﹣1 【点拔】本题考查了二次函数的性质．抛物线 y＝a（x﹣h）2+k 的顶点坐标为 （h，k），对称轴为 x＝h．

10、 【例 2】（2019•遂宁）二次函数 y＝x2﹣ax+b 的图象如图所示，对称轴为直线 x ＝2，下列结论不正确的是（ ） A．a＝4 B．当 b＝﹣4 时，顶点的坐标为（2，﹣8） C．当 x＝﹣1 时，b＞﹣5 D．当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大 【点拔】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数 的图象与系数的关系，本题属于基础题型． 考点二 二次函数与一次函数综合 【例 3】（2018•广东）如图，已知顶点为 C（0，﹣3）的抛物线 y

11、＝ax2+b（a≠0） 3 与 x 轴交于 A，B 两点，直线 y＝x+m 过顶点 C 和点 B． （1）求 m 的值； （2）求函数 y＝ax2+b（a≠0）的解析式； （3）抛物线上是否存在点 M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【点拔】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解 析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键． 对应训练 1．（2019•衢州）二

12、次函数 y＝（x﹣1）2+3 图象的顶点坐标是（ ） A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3） 2．（2019•温州）已知二次函数 y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3 的取值范 围内，下列说法正确的是（ ） A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值 0，有最小值﹣1 C．有最大值 7，有最小值﹣1 D．有最大值 7，有最小值﹣2 3．（2019•荆门）抛物线 y＝﹣x2+4x﹣4 与坐标轴的交点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴为直

13、线 x＝1，则下列结论中，错误的是 （ ） 4 A．ac＜0 B．b2﹣4ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0 5．（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点 A（﹣3，0），B（0，3），且其对称 轴为直线 x＝﹣1． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 P 是抛物线上点 A 与点 B 之间的动点（不包括点 A，点 ），求 PAB 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标．

14、 夯实基础 1．（2019•益阳）下列函数中，y 总随 x 的增大而减小的是（ ） A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4 D．y＝x2 2．（2019•哈尔滨）将抛物线 y＝2x2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单 位长度，所得到的抛物线为（ ） A．y＝2（x+2）2+3 C．y＝2（x﹣2）2﹣3 B．y＝2（x﹣2）2+3 D．y＝2（x+2）2﹣3 3．（2019•兰州）已知点 A（1，y1），B（2，y2）在抛物线 y＝﹣（x+1）2+2 上，

15、 则下列结论正确的是（ ） A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2 4．（2019•河南）已知抛物线 y＝﹣x2+bx+4 经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则 n 的值为（ ） 5 A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4 5．（2019•哈尔滨）二次函数 y＝﹣（x﹣6）2+8 的最大值是 6．（2019•荆州）二次函数 y＝﹣2x2﹣4x+5 的最大值是 ．  ． 7．（2019•天门）矩形的周长等于 40，则此矩形面积的最大值是 ． （ 8． 

16、2019•襄阳）如图，若被击打的小球飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单 位：s）之间具有的关系为 h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s． 能力提升 9．（2019•阜新）如图，二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象过点（﹣1，0）和点（3， 0），则下列说法正确的是（ ） A．bc＜0 B．a+b+c＞o C．2a+b＝0 D．4ac＞b2 10．（2019•益阳）已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①ac

17、＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是（ ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 11．（2019•安顺）如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论： ①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③a﹣b+c＞0；④ac+b+1＝0． 其中正确的个数是（ ） 6 A．4 个

18、 B．3 个 C．2 个 D．1 个 （ 12． 2019•宁洱县模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过 A（﹣1，0），B（3，0） 两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，抛物线对称轴 DE 交 x 轴于 点 E，连接 BD． （1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式； （2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE＝PC 时，求点 P 的坐标． 第 21 课 二次函数 课前小测 1．A． 2．A． 3

19、．D． 4．D． 5．A． 经典回顾 考点一 二次函数的图象与性质 【例 1】C． 7 î9a + b = 0  ，解得： í ∴二次函数的解析式为：y＝ x2﹣3； 【例 2】C． 考点二 二次函数与一次函数综合 【例 3】解：（1）将（0，﹣3）代入 y＝x+m，得：m＝﹣3； （2）将 y＝0 时，x＝3， ∴B 的坐标为（3，0）， 将（0，﹣3）、（3，0）代入 y＝ax2+b 中，得： ï ìb = -3 ì a = 1 í 3 ， î ïb = -3 1

20、3 （3）存在，分以下两种情况： ①若 M 在 B 上方，设 MC 交 x 轴于点 D，则∠ ODC＝45°+15°＝60°， ∴OD＝OC•tan30°＝ 3 ， 设 DC 为 y＝kx﹣3，代入（ ，0），可得：k＝ 3 ， 1            ì x  = 0 ìï x  = 3  3 解方程组 í ，得： í y  = -3  或 í   2 ï ï y = x2 - 3 î   1 ï y  = 6 î 3 ì y = 3x - 3 

21、 1  2  ， 所以 M1（3 3 ，6）； ②若 M 在 B 下方，设 MC 交 x 轴于点 E，则∠ OEC＝45°﹣15°＝30°， ∴∠OCE＝60°， ∴OE＝OC•tan60°＝3 3 ， 8 3   ， 设 EC 为 y＝kx﹣3，代入（3 3 ，0）可得：k＝ 3 ïï y =  3 ì x  = 0    ìï x  =   3 y  = -3  或 í   2 î   1 ï y  = -2 ì x - 3 解方程组

22、 í 3 ï y = 1 x2 - 3 î ï 3  ，得： í 1  2  ， í9a - 3b + c = 0 ，解得： íb = -2 ïa + b + c = 0         ïc = 3 îb = 3     ，解得： íb = 3  ， 所以 M2（ 3 ，﹣2）， 综上所述 M 的坐标为（3 3 ，6）或（ 3 ，﹣2）． 对应训练 1．A． 2．D． 3．C． 4．C． 5．解：（1）∵抛物线对称轴是直线 x＝﹣1 且经过点 A（﹣3，0） 由抛物

23、线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0） 设抛物线的解析式为 y＝ax2+bx+c，得 ìc = 3 ìa = -1 ï ï î î ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3． （2）设直线 AB 的解析式为 y＝kx+b，得 ì-3k + b = 0 ìk = 1 í ∴直线 AB 的解析式为 y＝x+3， 作 PQ⊥x 轴于 Q，交直线 AB 于 M， 设 P（x，﹣x2﹣2x+3），则 M（x，x+3）， ∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x， 2  （﹣x2﹣3x）×3＝﹣ 2  （x

24、+ 2  ）2+ 8   ． 2  时，S 8   ， ∴S＝ 1 当 x＝﹣ 3  ＝ 最大  27 3 3 27 9 2  ）2﹣2×（﹣ 2  ）+3＝ 4  ， 此时，y＝﹣（﹣ 3 3 15 8   ，此时点 P 的坐标为（﹣ 2  ， 4  ） ∴△PAB 的面积的最大值为 27 3  15 c = 3  ， 夯实基础 1．B． 2．B． 3．A． 4．B． 5．8． 6．7．

25、 7．100． 8．4． 能力提升 9．C． 10．A． 11．B． 12．解：（1）∵钭 A（﹣1，0），B（3，0）代入 y＝﹣x2+bx+c，得： ì-1 - b + c = 0 ìb = 2 í ，解得 í î -9 + 3b + c = 0 î ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）如图，连接 PC，PE． 10 2 ´ (-1)  ＝1． 抛物线的对称轴为 x＝﹣ 2 当 x＝1 时，y

26、＝4， ∴点 D 的坐标为（1，4）． 设直线 BD 的解析式为 y＝kx+b，得： ìk + b = 4 ìk = -2 í ， 解得 í ． î3k + b = 0 îb = 6 ∴y＝﹣2x+6， 设点 P 的坐标为（x，﹣2x+6）， 又 C（0，3），E（1，0）， ∴PC2＝x2+（3+2x﹣6）2， PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2， ∵PC＝PE， ∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2， 解得，x＝2， 则 y＝﹣2×2+6＝2， ∴点 P 的坐标为（2，2）． 11