2014届高三数学总复习 课时提升作业(四十一) 第七章 第二节 空间图形的基本关系与公理 文

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1、 课时提升作业(四十一) 第七章 第二节 空间图形的基本关系与公理 一、选择题 1.正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别是线段C1D,BC的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是　(　　) (A)相交 (B)异面 (C)平行 (D)垂直 2.已知命题:①若点P不在平面α内,A,B,C三点都在平面α内,则P,A,B,C四点不在同一平面内;②两两相交的三条直线在同一平面内;③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是　(　　) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3.(2013·信阳模拟)平面α,β的公共点多于两

2、个,则 ①α,β垂直; ②α,β至少有三个公共点; ③α,β至少有一条公共直线; ④α,β至多有一条公共直线. 以上四个判断中不成立的个数为n,则n等于　(　　) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l =M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过　(　　) (A)点A (B)点B (C)点C但不过点M (D)点C和点M 5.给出下列命题: ①没有公共点的两条直线平行; ②互相垂直的两条直线是相交直线; ③既不平行也不相交的直线是异面直线; ④不同在任一平面内的

3、两条直线是异面直线. 其中正确命题的个数是　(　　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 6.(2013·九江模拟)下列命题中正确的是　(　　) ①两条异面直线在同一平面内的射影必相交; ②与一条直线成等角的两条直线必平行; ③与一条直线都垂直的两条直线必平行; ④与同一个平面平行的两条直线必平行. (A)①② (B)①③ (C)②④ (D)以上都不对 7.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列命题,其中正确的命题是　(　　) ①P∈a,P∈α⇒aα; ②a∩b=P,bβ⇒aβ; ③a∥b,aα,P∈b

4、,P∈α⇒bα; ④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b. (A)①② (B)②③ (C)①④ (D)③④ 8.(能力挑战题)在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线　(　　) (A)不存在 (B)有且只有两条 (C)有且只有三条 (D)有无数条 二、填空题 9.已知异面直线a,b所成角为60°,P为空间任意一点,过P点作直线l使l与a,b都成60°角,则这样的直线l有　　　　条. 10.已知线段AB,CD分别在两条异面直线上,M,N分别是线段AB

5、,CD的中点,则MN　　　　　 (AC+BD)(填“>”“<”或“=”). 11.对于四面体ABCD,下列命题正确的是　　　　(写出所有正确命题的编号). ①相对棱AB与CD所在直线异面; ②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD三条高线的交点; ③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高所在的直线异面; ④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点. 12.(2013·南宁模拟)如图,在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中,点O是底面ABCD的中心,点E,F分别是CC1,AD的中点,则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为　　　　. 三、解

6、答题 13.如图,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于M,RQ,DB的延长线交于N,RP,DC的延长线交于K,求证:M,N,K三点共线. 14.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形, ∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=2,E,F分别是BC,AA1的中点. 求异面直线EF和A1B所成的角. 15.(能力挑战题)(2013·三明模拟) 在四棱锥P -ABCD中,底面是边长为2的菱形, ∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD, PB与平面ABCD所成角为60°. 若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.

7、 答案解析 1.【解析】选A.直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交. 2.【解析】选A.当A,B,C三点都在平面α内,且三点共线时,P,A,B,C四点在同一个平面内,故①错误;三棱锥的三条侧棱所在的直线两两相交,但三条直线不在同一平面内,故②错误;两组对边分别相等的四边形也可能是空间四边形,故③错误. 3.【解析】选C.由条件知当平面α,β的公共点多于两个时,若所有公共点共线,则α,β相交;若公共点不共线,则α,β重合.故①不一定成立;②成立;③成立;④不成立. 4.【解析】选D.∵ABγ,M∈AB,∴M∈γ.

8、 又α∩β=l,M∈l, ∴M∈β. 根据公理3可知,M在γ与β的交线上. 同理可知,点C也在γ与β的交线上. 5.【解析】选B.没有公共点的两条直线平行或异面,故命题①错;互相垂直的两条直线相交或异面,故命题②错;既不平行也不相交的直线是异面直线,不同在任一平面内的两条直线是异面直线,命题③④正确,故选B. 6. 【解析】选D.在正方体A′B′C′D′-ABCD中, AA′与B′C′是异面直线, AA′在平面ABCD中的射影是点A, B′C′在平面ABCD内的射影是直线BC,故①错; AB,AD与AA′所成的角都是90°,但AB,AD相交于点A,故②③错; 直线A′D′,

9、A′B′都平行于平面ABCD,但它们相交,故④错. 7.【解析】选D.当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但aα, ∴①错;当a∩β=P时,②错;如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a, ∴由直线a与点P确定唯一平面α. 又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β过直线a与点P, ∴β与α重合,∴bα,故③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故④正确. 【误区警示】解答本题时对平面性质不熟、不善于举出反例是致错的主要原因. 8.【思路点拨】以A1D1,EF,CD为棱构造平行六面体解决. 【解析】选D.先说明“对于空间内任意三条两两异面的直线a,b,c,与直线a,b,c都相交的直线有无数条”这

10、个结论的正确性.无论两两异面的三条直线a,b,c的相对位置如何,总可以构造一个平行六面体ABCD -A1B1C1D1,使直线AB,B1C1,DD1分别作为直线a,b,c,在棱DD1的延长线上任取一点M,由点M与直线a确定一个平面α,平面α与直线B1C1交于点P,与直线A1D1交于点Q,则PQ在平面α内,直线PM不与a平行,设直线PM与a交于点N.这样的直线MN就同时与直线a,b,c相交.由于点M的取法有无穷多种,因此在空间同时与直线a,b,c相交的直线有无数条.依题意,不难得知题中的直线A1D1,EF,CD是两两异面的三条直线,由以上结论可知,在空间与直线A1D1,EF,CD都相交的直线有无数

11、条,选D. 【变式备选】如图所示,ABCD -A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　) (A)A,M,O三点共线 (B)A,M,O,A1不共面 (C)A,M,C,O不共面 (D)B,B1,O,M共面 【解析】选A.连接A1C1,AC,则A1C1∥AC, ∴A1,C1,A,C四点共面,∴A1C平面ACC1A1. ∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1, ∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上, 同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上. ∴A,M,O三点共线. 9.【解析

12、】由于l与a,b所成角都是60°,而60°>30°,且120°角的一半也为60°,故这样的直线l有3条. 答案:3 10.【解析】如图所示,四边形ABCD是空间四边形,而不是平面四边形,要想求MN与AC,BD的关系,必须将它们转化到平面来考虑.取AD的中点为G,再连接MG,NG,在△ABD中,M,G分别是线段AB,AD的中点,则MG∥BD,且MG=BD,同理,在△ADC中,NG∥AC,且NG=AC,又根据三角形的三边关系知,MN

13、高,当四面体ABCD的对棱互相垂直时,其垂足是△BCD的三条高线的交点,故②错误;当DA=DB,CA=CB时,这两条高线共面,故③错误;设AB,BC,CD,DA的中点依次为E,F,M,N,易证四边形EFMN为平行四边形,所以EM与FN相交于一点,易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点,故④正确. 答案:①④ 12.【解析】取D1C1的中点G,连接OF,OG,GE. 因为点O是底面ABCD的中心,F为AD的中点, 所以OF􀱀CD,D1GCD,即OFD1G, 所以四边形OGD1F为平行四边形. 所以D1F∥GO,即OE与FD1所成角也就是OE与OG所成角. 在△

14、OGE中,OG=FD1=,GE=,OE=, 所以GE2+OE2=OG2,即△GOE为直角三角形,所以cos∠GOE===, 即异面直线OE与FD1所成角的余弦值为. 答案: 【变式备选】(2013·揭阳模拟)如图,正三棱柱ABC -A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是 (　　) (A) (B) (C) (D)2 【解析】选B.如图,取AC中点G,连接FG,EG,则FG∥C1C,FG=C1C;EG∥BC,EG=BC,故∠EFG即为EF与C1C所成的角(或补角),在Rt△EFG中,cos

15、∠EFG===. 13.【证明】∵M∈PQ, 直线PQ平面PQR,M∈BC,直线BC平面BCD, ∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点, 即M在平面PQR与平面BCD的交线l上. 同理可证:N,K也在l上,∴M,N,K三点共线. 14.【解析】取AB的中点D,连接DE,DF,则DF∥A1B, ∴∠DFE(或其补角)即为所求. 由题意易知,DF=,DE=1,AE=, 由DE⊥AB,DE⊥AA1得DE⊥平面ABB1A1, ∴DE⊥DF,即△EDF为直角三角形, ∴tan∠DFE===,∴∠DFE=30°, 即异面直线EF和A1B所成的角为30°. 15.【解析】取AB的中点F,连接EF,DF, ∵E为PB中点, ∴EF∥PA, ∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或补角). 在Rt△AOB中, AO=AB·cos30°==OP, ∴在Rt△POA中,PA=,∴EF=. ∵四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°, ∴△ABD为正三角形. 又∵∠PBO=60°,BO=1, ∴PB=2,∴PB=PD=BD,即△PBD为正三角形, ∴DF=DE=, ∴cos∠DEF= ===. 即异面直线DE与PA所成角的余弦值为. - 7 -