2012高考数学热点集中营 热点21 函数大题 新课标

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1、 【两年真题重温】 【2011新课标全国理，21】已知函数，曲线在点处的切线方程为． (Ⅰ) 求，的值； (Ⅱ) 如果当，且时，，求的取值范围． 故当时，，可得，与题设矛盾． （iii）设，此时，而，故当时，，得，与题设矛盾．综合得，的取值范围为． 【评注】本题的困难是第二问的不等式问题，通过作差f(x)－＝＋－－后，通过适当的变换把其变换为，其目的就是为了分01故:当时，，可得； （I）时，，. 当时，；当时，.故在单调减少，在单调递增. 【命题意图猜想】 从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点，既有小题，也有

2、解答题，小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性，或方程、不等式的综合应用．预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单调性与极值为主要考向． 【回归课本整合】 导数的定义：设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即. 注意：在定义式中，设，则，当趋近于时，趋近于，因此，导数的定义式可写成 . 6.复合函数的导数：设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且 或 7.导数与函数的单调性

3、 函数在某个区间内有导数，如果，那么函数在这个区间上是增函数,该区间是函数的增区间；若，那么函数在这个区间上是减函数，该区间是函数的减区间. 2.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤: 求;确定在内符号; 若在上恒成立，则在上是增函数；若在上恒成立，则在上是减函数 注意：在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值； 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． 函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不

4、止一个，也可能没有一个. 10.利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下： 求在内的极值； 将的各极值与、比较得出函数在上的最值p 【方法技巧提炼】 y－y=f,再根据题意求出切点. 例1 已知曲线C：，则经过点的曲线C的切线方程是 . 解析：设经过点P（1，2）的直线与曲线C相切于点，则由， 得在点处的斜率， 有在点处的切线的方程为. 又因为点与点P（1，2）均在曲线C上， 有，消去得，

5、解得或，于是或， 所以所求切线方程为或. 点评：此题常见的错解：由，得， 所以所求的切线方程为，即. 错因是此处所求的切线只说经过P点，而没说P点一定是切点，于是切线的斜率与不一定相等.比如（如图）当时，正弦曲线在点P处的切线只有一条：；而经过点P的切线却有两条：与. 【名师点评】　本题考查了利用导数求函数极值及单调性问题，考生失误在于：一是求导后不会因式分解成积的形式，二是由(*)式确定a的范围不会或忽略分类讨论． 3.利用导数，如何解决函数与不等式大题 在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题. 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研

6、究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决．使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数．因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧

7、总结如下 （1） 当时，令，得.当时，，在 单调递增；当时，，在单调递减，在处取得极大值. 由于所以，解得即当且仅当时恒成立.综上，所求的值为1. (Ⅱ) 等价于 下面证明这个不等式成立. 由(Ⅰ)可知.则 【点评】第一问利用分类讨论思想，关键在于对的讨论；借助第一问的结论，为第二问证明不等式提供服务，通过恒成立，得到不等式，是解决问题的关键.所以同学们必须清楚出题者的命题思路，树立第一问为第二问的服务意识. 【新题预测演练】 1.【2012年河北省普通高考模拟考试】 （理）已知函数． （Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程； （Ⅱ）函数是否存在零点．若存在，求出零点的个

8、数；若不存在，说明理由． （Ⅰ），，． 当时，．又． ………..2分 则在处的切线方程为． ………..4分 （Ⅱ）函数的定义域为． 【解析】： （Ⅰ），，． 当时，．又． ………..2分 所以在处的切线方程为． ………..4分 （Ⅱ）函数的定义域为． 当时，，所以． 即在区间上没有实数根． ………..6分 当时，， 所以函数的图象

9、在点处的切线方程为 即． ………………………… ……………… 2分 （II） =， ∵，∴ 只需讨论的符号． ……………… 4分 ⅰ）当＞2时，＞0，这时＞0，所以函数在（－∞，+∞）上为增函数． ⅱ）当= 2时，≥0，函数在（－∞，+∞）上为增函数． ……………… 6分 ⅲ）当0＜＜2时，令= 0，解得，． 当变化时，和的变化情况如下表： + 0 － 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴在，为增函数，在为 减函数……………… 8分

10、 由得得 的单调递增区间为，单调递减区间为.………………4分 （II）若对任意， 使得恒成立， 则时，恒成立， 3.【河南省2012年普通高中毕业班高考适应性测试】 （理）设函数 （1）若x=1是的极大值点，求a的取值范围。 （2）当a=0，b=-1时，函数有唯一零点，求正数的值。 解： （Ⅰ）的定义域为， ，由=0，得. ∴.…………………………………………2分 ①若

11、a≥0，由=0，得x=1. 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减. 是增函数，所以至多有一解． 因为，所以方程（*）的解为， 代入方程组解得．…………………………………………………………………12分 （文）设函数 （1）已知在点处的切线方程是求实数a，b的值。 （2）若方程有唯一实数解，求实数的值。 因为，所以方程（*）的解为 代入方程组解得．…………………………………………………………………12分 4. 【河南省郑州市2012届高三第二次质量预测】 已知函数. (I)当时，求在上的最大值和最小值 (II)若函数在[1, e]上为增函数

12、，求正实数a的取值范围. 21. 解：（Ⅰ）当时，， 则 ∴g(x)在上单调递减，即g(x)

13、 2分 6.【北京市朝阳区高三年级第一次综合练习】 （理）设函数. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数单调区间. 解：因为所以. （Ⅰ）当时, ,, 所以 . 所以曲线在点处的切线方程为. ……………4分 由得,或. 所以当时,函数单调递减区间是和, 单调递增区间. ……………12分 ④当时, 此时，，所以函数单调递减区间是.

14、 …………13分 方程有两个不相等的实数根 ，， 作差可知， 则当时，，，在上为单调减函数； 当时，，， 在上为单调增函数； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a∈(0，)时，f(x)有极小值点x1和极大值点x2， 且x1＋x2＝，x1x2＝． f(x1)＋f(x2)＝－lnx1－ax＋x1－lnx2－ax＋x2 ＝－(lnx1＋lnx2)－(x1－1)－(x2－1)＋(x1＋x2) ＝－ln(x1x2)＋(x1＋x2)＋1＝ln(2a)＋＋1． …9分 令g(a)＝ln(2a)＋＋1，a∈(0，]， 则当a∈(0，)时，g¢(a)＝－＝＜0，g(a)在(0，)单调

15、递减， 所以g(a)＞g()＝3－2ln2，即f(x1)＋f(x2)＞3－2ln2． …12分 8.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一次模拟考试】 （理）设函数 (I )讨论f(x)的单调性； (II) ( i )若证明：当x>6 时， (ii)若方程f(x)=a有3个不同的实数解，求a的取值范围. 解： （Ⅰ）f¢(x)＝－e－x[x2－(a＋2)x＋2a]＝－e－x(x－2)(x－a)． …1分 （1）若a＝2，则f¢(x)≤0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递减． …2分 （2）若0≤a＜2，当x变化时，f¢(x)、f(x)的变化

16、如下表： x (－∞，a) a (a，2) 2 (2，＋∞) f¢(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 极小值ae－a ↗ 极大值(4－a)e－2 ↘ 此时f(x)在(－∞，a)和(2，＋∞)单调递减，在(a，2)单调递增． …3分 （3）若a＞2，当x变化时，f¢(x)、f(x)的变化如下表： x (－∞，2) 2 (2，a) a (a，＋∞) f¢(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 极小值(4－a)e－2 ↗ 极大值ae－a ↘ 此时f(x)在(－∞，2)和(a，＋∞)单调递减，在(2，a)单调递增．

17、 …4分 (II )讨论的单调性. 【命题分析】本题考查导数的几何含义和函数的单调性，考查学生利用求导研究函数性质的解题能力和分类讨论思想的应用。第一问利用导数的几何含义确定直线的斜率进行求解；第二问利用求导判断函数的单调区间，注意对产生a的讨论。 解： （Ⅰ）当a＝0时，f(x)＝，f¢(x)＝－， f(1)＝，f¢(1)＝， 曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝(x－1)＋，即y＝x． …4分 （Ⅱ）f¢(x)＝＝－． …5分 （1）若a＝2，则f¢(x)≤0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递减． …7分 （2）若a＜2，则 当x∈(－

18、∞，a)或x∈(2，＋∞)时，f¢(x)＜0，当x∈(a，2)时，f¢(x)＞0， 此时f(x)在(－∞，a)和(2，＋∞)单调递减，在(a，2)单调递增． （3）若a＞2，则 当x∈(－∞，2)或x∈(a，＋∞)时，f¢(x)＜0，当x∈(2，a)时，f¢(x)＞0， 此时f(x)在(－∞，2)和(a，＋∞)单调递减，在(2，a)单调递增． …12分 9. 【2012年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测】 理设函数. 综上所述，实数p的取值范围为. …………12分 （文）设函数. （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； 10. 【2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二

19、)】 （理）已知函数，∈R． (I)讨论函数的单调性； (Ⅱ)当时，≤恒成立，求的取值范围． 解：(Ⅰ)的定义域为， 若则在上单调递增，……………2分 若则由得，当时，当 时，，在上单调递增，在单调递减. 所以当时，在上单调递增， 当时， 在上单调递增，在单调递减.……………4分 (Ⅱ), （文）已知函数，∈R． (I)讨论函数的单调性； (Ⅱ)当时，≤恒成立，求的取值范围． 解：(Ⅰ)的定义域为， 若则在上单调递增，……………2分 若则由得，当时，当 时，，在上单调递增，在单调递减. 所以当时，在上单调递增， 当时，

20、 在上单调递增，在单调递减.……………4分 (Ⅱ), 11. 【北京市朝阳区2011-2012学年度第一学期期末统一考试】 （理）已知函数（，为正实数）. （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数的最小值为，求的取值范围. 解：（Ⅰ）当时，， 则. ………………………………………………… 2分 所以.又，因此所求的切线方程为. ………… 4分 （Ⅱ）. ………………………… 5分 （1）当，即时，因为，所以，所以函数在上单调递增. ………………………………………………………………… 6分 （文）设函数. （Ⅰ）当时,

21、试求函数在区间上的最大值; （Ⅱ）当时,试求函数的单调区间. 解: （Ⅰ）函数的定义域为. ………………………………………1分 当时, ，因为， …3分 所以函数在区间上单调递增，则当时,函数取得最大值 . ……………………………………………………………5分 12. 【北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末检测】 （理）已知函数，其中． 由于 ，可设方程①的两个根为，， 由①得， （文）已知函数. （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 解：（Ⅰ）当时，，.

22、 ，． ………3分 所以所求切线方程为即． ……5分 （Ⅱ）. 令，得. ………7分 由于，，的变化情况如下表： + 0 — 0 + 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 所以函数的单调递增区间是和. …………9分 要使在区间上单调递增， 应有 ≤ 或 ≥， 解得≤或≥． …………11分 又

23、 且， …………12分 所以 ≤． 即实数的取值范围 ． …………13分 13. 【保定市2011—2012学年度第一学期高三期末调研考试】 （3）①当时 法一：因为函数在单调递增，所以其最小值为，而函数在的所以，下面判断的关系，即判断的关系， 令 单调递增 使得 上单调递减，在单调递增……………………………..10分 所以 即也即 所以函数图象总在不等式所表示的平面区域内………

24、……..12分 令，则 在单调递增…………………………….10分 ，即的最大值为0………………………….12分 14. 【河北省石家庄市2012届高三上学期教学质量检测(一)】 （理）已知函数． (I)求函数的单调区间； 也可得证命题成立．………………10分 由导数的几何意义有 对任意， ．…………12分 （文）已知函数 (I)设=-1，求函数的极值； (II)在(I)的条件下，若函数(其中为的导 数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数的取值范围． 解：（Ⅰ）当， ， ，………………2分

25、 的单调递减区间为（0，）,单调递增区间为（, ………4分 （Ⅱ） 令 又 令解得 （文）已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围； 16. 【山东省莱芜市2012届高三上学期期末检测】 已知函数，（K常数） （1） 求函数f(x)的单调区间； （2） 若恒成立，求K的取值范围。 解析：（1）由可得， …………1分 ∵的定义域为（0，+）， ∴当时，，在（0，+）是增函数。………………3分 当k>0时，由可得， 解析：（1）由可得， ……………………1分 ∵的定义域为（0，+）， ∴当时，，在

26、（0，+）是增函数。………………4分 当k>0时，由可得， ∴f(x)在（0，）是增函数，在（，+）是减函数。……………………7分 综上，当时，f(x)的单调增区间是（0，+）； 当K>0时，f(x)的单调增区间是（0，），单调减区间是（，+）.……8分 （2） 由恒成立，可得恒成立，. 即，∴恒成立。 ………………………10分 ∵ ∵ ………………………11分 17.【山东省青岛市2012届高三期末检测】 （Ⅰ）如果函数在上是单调函数，求的取值范围； 解得 ……………………………12分 43 用心 爱心 专心