小学三年级校本教材系列《数学思维训练》

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1、校本教材系列-----数学思维训练（三年级） 第1讲等差数列 　　1、下面是按规律排列的一串数，问其中的第1995项是多少？ 　　解答：2、5、8、11、14、……。 从规律看出：这是一个等差数列，且首项是2，公差是3， 这样第1995项=2＋3（1995－1）=5984 　　2、在从1开始的自然数中，第100个不能被3除尽的数是多少？ 　　解答：我们发现：1、2、3、4、5、6、7、……中，从1开始每三个数一组，每组前2个不能被3除尽，2个一组，100个就有1002=50组，每组3个数，共有503=150，那么第100个不能被3除尽的数就是150－1=149. 　　3、把19

2、88表示成28个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少？ 　　解答：28个偶数成14组，对称的2个数是一组，即最小数和最大数是一组，每组和为：198814=142，最小数与最大数相差28-1=27个公差，即相差227=54， 这样转化为和差问题，最大数为（142＋54）2=98。 　　4、在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是多少？ 　　解答：因为3428＋28=3528=980＜1000，所以只有以下几个数： 3429＋29=3529 3430＋30=3530 3431＋31=3531 3432＋32=3532 3433＋3

3、3=3533 以上数的和为35（29＋30＋31＋32＋33）=5425 　　5、盒子里装着分别写有1、2、3、……134、135的红色卡片各一张，从盒中任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色的卡片上放回盒内，经过若干次这样的操作后，盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片，已知这两张红色的卡片上写的数分别是19和97，求那张黄色卡片上所写的数。 　　解答：因为每次若干个数，进行了若干次，所以比较难把握，不妨从整体考虑，之前先退到简单的情况分析：假设有2个数20和30，它们的和除以17得到黄卡片数为16，如果分开算分别为3和13，再把3和1

4、3求和除以17仍得黄卡片数16，也就是说不管几个数相加，总和除以17的余数不变，回到题目1＋2＋3＋……＋134＋135=1361352=9180，918017=540，135个数的和除以17的余数为0，而19+97=116，11617=6……14， 所以黄卡片的数是17-14=3。 　　6、下面的各算式是按规律排列的： 1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……， 那么其中第多少个算式的结果是1992？ 　　解答：先找出规律： 每个式子由2个数相加，第一个数是1、2、3、4的循环，第二个数是从1开始的连续奇数。 因为1992是偶数，2个加数中第

5、二个一定是奇数，所以第一个必为奇数，所以是1或3， 如果是1：那么第二个数为1992－1=1991，1991是第（1991+1）2=996项，而数字1始终是奇数项，两者不符，所以这个算式是3+1989=1992，是（1989＋1）2=995个算式。 　　7、如图，数表中的上、下两行都是等差数列，那么同一列中两个数的差（大数减小数）最小是多少？ 　　解答：从左向右算它们的差分别为：999、992、985、……、12、5。 从右向左算它们的差分别为：1332、1325、1318、……、9、2， 所以最小差为2。 　　8、有19个算式： 那么第19个等式左、右两边的结果是多少？ 　　解答：

6、因为左、右两边是相等，不妨只考虑左边的情况，解决2个问题：前18个式子用去了多少个数？ 各式用数分别为5、7、9、……、第18个用了5＋217=39个，5＋7＋9＋……＋39=396，所以第19个式子从397开始计算； 第19个式子有几个数相加？ 各式左边用数分别为3、4、5、……、第19个应该是3＋118=21个， 所以第19个式子结果是397＋398＋399＋……＋417=8547。 　　9、已知两列数：2、5、8、11、……、2＋（200－1）3；5、9、13、17、……、5＋（200－1）4。它们都是200项，问这两列数中相同的项数共有多少对？ 　　解答：易知第一个这样的数为5，注

7、意在第一个数列中，公差为3，第二个数列中公差为4，也就是说，第二对数减5即是3的倍数又是4的倍数，这样所求转换为求以5为首项，公差为12的等差数的项数，5、17、29、……， 由于第一个数列最大为2＋（200－1）3=599； 第二数列最大为5＋（200－1）4=801。新数列最大不能超过599，又因为5＋1249=593，5＋1250=605， 所以共有50对。 　　10、如图，有一个边长为1米的下三角形，在每条边上从顶点开始，每隔2厘米取一个点，然后以这些点为端点，作平行线将大正三角形分割成许多边长为2厘米的小正三角形。求⑴边长为2厘米的小正三角形的个数，⑵所作平行线段的总长度。 　　

8、解答：⑴从上数到下，共有1002=50行， 第一行1个，第二行3个，第三行5个，……，最后一行99个， 所以共有（1+99）502=2500个；⑵所作平行线段有3个方向，而且相同， 水平方向共作了49条， 第一条2厘米，第二条4厘米，第三条6厘米，……，最后一条98厘米，所以共长（2+98）4923=7350厘米。 　　11、某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人240人。如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（一人工作一天为1个工作日），且无人缺勤，那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共多少人？ 　　

9、解答：11月份有30天。 由题意可知，总厂人数每天在减少，最后为240人，且每天人数构成等差数列，由等差数列的性质可知，第一天和最后一天人数的总和相当于807015=538也就是说第一天有工人538-240=298人，每天派出（298-240）（30-1）=2人， 所以全月共派出2*30=60人。 　　12、小明读一本英语书，第一次读时，第一天读35页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天只读了35页便读完了；第二次读时，第一天读45页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天只需读40页就可以读完，问这本书有多少页？ 　　解答：第一方案：35、40、45、50、55、……35第二方案

10、：45、50、55、60、65、……40二次方案调整如下： 第一方案：40、45、50、55、……35+35（第一天放到最后惶熘腥ィ?/P>第二方案：40、45、50、55、……（最后一天放到第一天）这样第二方案一定是40、45、50、55、60、65、70，共385页。 　　13、7个小队共种树100棵，各小队种的查数都不相同，其中种树最多的小队种了18棵，种树最少的小队最少种了多少棵？ 　　解答：由已知得，其它6个小队共种了100-18=82棵， 为了使钌俚男《又值氖髟缴僭胶茫敲戳?个应该越多越好，有：17+16+15+14+13=75棵， 所以最少的小队最少要种82-75=7棵。

11、 　　14、将14个互不相同的自然数，从小到大依次排成一列，已知它们的总和是170，如果去掉最大数和最小数，那么剩下的总和是150，在原来排成的次序中，第二个数是多少？ 　　解答：最大与最小数的和为170－150=20，所以最大数最大为20－1=19，当最大为19时，有19＋18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋1=170， 当最大为18时，有18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋2=158， 所以最大数为19时，有第2个数为7。 第2讲计算问题乘法与除法 　　1.算式33362512525516842的结果中末尾有多少个零？

12、 　　解答：找出算式中含有5的是：625125255=（5555）（555）（55）5，共10个5； 找出算式中含有2的是：16842=（2222）（222）（22）2，共10个2。每一组52=10，产生1个0，所以共有10个0。 　　答：结果中末尾有10个零。 　　2.如果n=2357111317125。那么n的各位数字的和是多少？ 　　解答：2357111317125 　　　　=(71113) (317) (25125) 　　　　=1001511250 　　　　=1001（501250+11250） =1001（125002+1250） =1001（62500+1250

13、） =（1000+1）63750 =63750000+63750 =63813750 6+3+8+1+3+7+5+0=33 　　答：n的各位数字的和是33. 　　3.（1）计算：5（711）（1115）（1521），（2）计算：（11109…321）（22242527）. 　　解答：（1）5（711）（1115）（1521） 　　　　　=511715112115 　　　　　=511111515217 　　　　　=5217 　　　　　=5377 　　　　　=53 =15 （2）（11109…321）（22242527） 　　　　=（11109…321）22

14、242527） 　　　　=(11222) (10525) (96 27) (8324) 74 　　　　=122174 　　　　=428 　　　　=112 　　4.在算式（□□-7□）16=2的各个方框内填入相同的数字后可使等式成立，求这个数字. 　　解答：□□-7□=11□-7□=□（11-7）=□4， 因为□416=2，所以□4=32，□=8 　　答：□=8. 　　5.计算：917+9117-517+4517. 　　解答：917+9117-517+4517 　　　　　=917-517+9117+4517 　　　　　=（9-5）17+（91+45）17 　　　　　=41

15、7+13617 　　　　　=68+8 　　　　　=76 　　6.计算：567142+426811-852050. 　　解答：567142+426811-852050 　　　　　=567142+3142811-85201002 　　　　　=142（567+3811）-8520002 =1423000-426000 =426000-426000 =0 　　7.计算：285+2435+2120+1440+862. 　　解答：285+2435+2120+1440+862 　　　　　=2275+2457+3745+27524+862 　　　　　=2275（1+2+3+4）

16、+496 　　　　　=101410+496 　　　　　=1400+496 　　　　　=1896 　　8.计算：5566+6677+7788+8899. 　　解答：5566+6677+7788+8899 　　　　　=（115）（116）+（116）（117）+（117）（118）+（118）（119） 　　　　　=1111（56+67+78+89） 　　　　　=11（10+1）（30+42+56+72） 　　　　　=（110+11）200 　　　　　=121200 　　　　　=24200 　　9.计算：(123456+234561+345612+456123+561234

17、+612345) 7. 　　解答：(123456+234561+345612+456123+561234+612345) 7 　　　　　=[（1100000+210000+31000+4100+510+6）+（2100000+310000+41000+5100+610+1）+（3100000+410000+51000+6100+110+2）+（4100000+510000+61000+1100+210+3）+（5100000+610000+11000+2100+310+4）+（6100000+110000+21000+3100+410+5）] 7 　　　　　=[1+2+3+4+5+6]1

18、00000+（2+3+4+5+6+1）10000+（3+4+5+6+1+2）1000+（4+5+6+1+2+3）100+（5+6+1+2+3+4）10+（6+1+2+3+4+5）1] 7 　　　　　=（21100000+2110000+211000+21100+2110+211）7 　　　　　=211000007+21100007+2110007+211007+21107+2117 　　　　　=300000+30000+3000+300+30+3 　　　　　=333333 　　10. (87+56+73+75+83+63+57+53+67+78+65+77+84+62) 14. 　

19、　解答：(87+56+73+75+83+63+57+53+67+78+65+77+84+62) 14 　　　　　=[（8+5+7+7+8+6+5+5+6+7+6+7+8+6）10+（7+6+3+5+3+3+7+3+7+8+5+7+4+2）]14 　　　　　=[（147-7）10+（147-28）] 14 　　　　　=[（137）10+（107）]14 　　　　　=（130+10）714 　　　　　=140714 　　　　　=107 　　　　　=70 　　11.在算是12345679□=888888888，12345679○=555555555的方框和圆圈内分别填入恰当的数后可使

20、两个等式都成立，求所填的两个数之和. 　　解答：□9个位是8，○9个位是5，所以□的个位是2，○的个位是5。 　　　　　1200000082>888888888，1300000062<888888888，所以□=72 　　　　　1200000055>555555555, 1300000035<555555555，所以○=45 　　　　　72+45=117 　　答：所填的两个数之和是117. 12.计算：（1）4245，（2）3139，（3）4545，（4）132138. 　　解答：（1）4245=42（50-5）=2100-210=1890 （2）3139=31（40-1）=1

21、240-31=1209 （3）4545=45（50-5）=2250-225=2025 （4）132138=（100+30+2）138=13800+4140+276=18216 　　13.计算：（1）1357911，（2）124111，（3）11111111. 　　解答：（1）1357911=13579（10+1）=135790+13579=149369 　　　　（2）124111=124（100+10+1）=12400+1240+124=13764 　　　　　（3）11111111=1111（1000+100+10+1）=1111000++111100+11110+1111=123

22、4321 　　14.(1)给出首位是1的两位数的简便算法，据此计算10至19中任意两数的乘积，并排列成一个乘法表.（2）有一类小于200的自然数，每一个数的各位数字之和是奇数，而且都是两个两位数的乘积，例如144=1212.那么在此类自然数中，第三大的数是多少？ 　　解答：（1）1□1△ 　　　　　=(10+□) (1△) 　　　　　=101△+□1△ 　　　　　=100+△10+□10+□△ 　　　　　=100+(△+□) 10+□△ 　　　首位是1的两位数的乘积=100+两个数个位数字之和的10倍+两个数个位数字之积 　　　首位是1的两位数乘法表 10 100 11 1

23、10 121 12 120 132 144 13 130 143 156 169 14 140 154 168 182 196 15 150 165 180 195 210 225 16 160 176 192 208 224 240 256 17 170 187 204 221 238 255 272 289 18 180 198 216 234 252 270 288 306 324 19 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 10111213141516171819 　　（2）最大的是195=1315，其次是182=1314，

24、再次是180=1215 　　　在此类自然数中，第三大的数是180. 　　15.有16张纸，每张纸的正面用红色笔任意写1，2，3，4中的某个数字，在反面用蓝笔也写1，2，3，4中的某个数字，要求红色数相同的任何两张纸上，所写的蓝色数一定不同.现在把每张纸上的红、蓝两个数相乘，求这16个乘积的和. 　　解答：红1可对应?，2，3，4；红2可对应蓝1，2，3，4；红3可对应蓝1，2，3，4；红4可对应蓝1，2，3，4，共有16种不同的情况。因为红色数相同的任何两张纸上，所写的蓝色数一定不同，所以这16张纸正好就是这16种情况。 　　（11+12+13+14）+（21+22+23+24）+（3

25、1+32+33+34）+（41+42+43+44） 　　　　　=（1+2+3+4）（1+2+3+4） 　　　　　=1010 　　　　　=100 　　答：这16个乘积的和是100. 第3讲 智巧趣题 　　1、用数字1，1，2，2，3，3拼凑出一个六位数，使两个1之间有1个数字，两个2之间有2个数字，两个3之间有3个数字。 　　解答：312132231213 　　2、把一根线绳对折，对折，再对折，然后从对折后的中间处剪开，这根线绳被剪成了多少段？ 　　解答：对折一次: 2*2-1=3段　对折二次:4*2-3=5段　对折三次:8*2-7=9段. 　　3、有10张，卡片分别标有

26、从2开始的10个连续偶数。如果将它们分成5组，每组两张，计算同组中两个偶数和分别得到①34，②22，③16，④30，⑤8。那么每组中的两张卡片上标的数各是多少？ 　　解答：10个连续偶数是:2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 8=2+616=4+1222=14+830=20+1034=16+18 4、售货员把29个乒乓球分装在5个盒子里，使得只要顾客所买的乒乓个数小于30，他总可以恰好把其中的一盒或几盒卖出，而不必拆盒。问这5个盒子里分别装着多少个乒乓球？ 　　解答：1+2+4+8+14=29 　　5、小明的左衣袋和右衣袋中分别装有6枚和8枚硬币，并且两衣袋中硬币的总钱

27、数相等。当任意从左边衣袋取出两个硬币与右边衣袋的任意两个硬币交换时，左边衣袋的钱总数要么比原来的钱数多2分，要么比原来的钱数少2分，那么两个衣袋中共有多少分钱？ 　　解答：2*6=5+7*1共:2*6*2=24分=2角4分. 　　6、如图10-1，这是用24根火柴摆成的两个正方形，请你只移动其中的4根火柴，使它变成两个完全相同的正方形。 　　解答： 　　7、请将16个棋子分放在边长30厘米、20厘米、10厘米的3个盒子里，使大盒子里的棋子数是中盒子里棋子数的2倍，中盒子里的棋子数是小盒子里棋子数的2倍。问应当如何放置？ 　　解答：把小盒子放进中盒子里,大盒子另外放.小盒里放4个,中盒

28、里放4个,大盒里放8个. 　　8、今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币与真币和重量不同。现需弄清楚伪币究竟比真币轻，还是比真币重，但只有一架没有砝码的天平。那么怎样利用这架天平称两次，来达到目的？ 　　解答：分成50、50、1三堆：第一次称两个50，如果平了，第二次从这100个任意拿1个（当然是真的）与第三堆的1个称，自然会出结果；第一次称两个50不平是正常的，第二次我们把其中的一堆（或重的或轻的都行）分成25、25、称第二次：1、把轻的分成25、25，如果平了，说明那堆重的有假，当然假的是超重；如果不平，说明这50个轻的有假，假的是轻了；2、把重的分成25、25，道

29、理同上。所以两次可以发现轻重，但是找不出哪个是假的。 　　9、有大、中、小3个瓶子，最多分别可发装入水1000克、700克和300克。现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动动使得中瓶和小瓶上标出装100克水的刻度线，问最少要倒几次水？ 　　解答：６ 　　10、把123，124，125三个数分别写在图10-2所示的A，B，C三个小圆圈中，然后按下面的规则修改这三个数。第一步，把B中的数改成A中的数与B中的数之和；第二步，把C中的数改成B中（已改过）的数与C中的数之和；第三步，把A中的数改成C中（已改过）的数与A中的数之和；再回到第一步，循环做下去。如果在某一步做完之后，A，B，C中

30、的数都变成了奇数，则停止运算。为了尽可能多运算几步，那么124应填在哪个圆圈中？ 　　11、若干个同样的盒子排成一排，小明把五十多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，然后他外出了。小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下。小明回来仔细查看了一番，没有发现有人动过这些盒子和棋子。问共有多少个盒子？ 　　解答：原来有个空的，说明现在也有个空的；现在空的说明原来这盒有1个，当然现在也必须有个盒子有1个；现在盒中有1个，说明原来是2个，当然现在也必须有个盒子有2个；……考虑50多，所以有0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55　共11个盒子

31、。 　　12、如图10-3，圆周上顺序排列着1，2，3，……，12这12个数。我们规定：把圆周上某相邻4个数的顺序颠倒过来，称为一次变换，例如1，2，3，4可变为4，3，2，1，而11，12，1，2可变为2，1，12，11。问能否经过有限变换，将12个数的顺序变为如图10-4所示的9，1，2，3，……，8，10，11，12？ 　　解答：从两个图可以看出，10、11、12没有变化，我们不妨这样排列：9、8、7、6、5、4、3、2、1变为8、7、6、5、4、3、2、1、9;这样只要9次就行。 　　13、在一块黑板上将123456789重复50次得到450位数12345678912345678

32、9……。先删去这个数中从左至右数所有位于奇数位上的数字，再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字，……，依此类推。那么，最后删去的是哪个数字？ 　　解答：容易发现，每次留下的应该是2^n位上的数字；2^8=256，2^9=512>450，所以最后一个数字应该是第256位上的数；256/9=28......4，所以，最后删去的是4。 　　14、把1，2，3，4，……，1986，1987这1987个数均匀排成一个大圆圈，从1开始数：隔过1划掉2，3，隔过4划掉5，6，这样每隔一个数划掉两个数，转圈划下去，……。问：最后剩下哪个数？ 　　15、如图10-5，在一个圆周上放了1枚黑色的和1990枚

33、白色的围棋子。一个同学进行这样的操作：从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚。当他取到黑子时，圆周上还剩下多少枚白子？ 　　解答：将黑子右边的第一个编号1，顺时针排下去，到黑子就是第1991号；每隔1枚，取走1枚，即第一圈取所有偶数编号的，最后一颗取走的为1990号，即黑子左边的一个，到黑子时正好跳过黑子；这样第一圈共取走（1991-1）/2=995个，留下了996个；对剩下的棋子重新按上述方法（即黑子右边为1号）编号，第2圈就变成了全部取走奇数号，因为此时黑子为996号，又正好留下；并且可以知道，只要留下的是偶数枚，黑子总能跳过；992/2=498，第三圈留下498枚；498/2=2

34、49，第四圈留下249枚；249为奇数，因此第5圈结束将正好取走黑子，那么，当黑子被取走时，还留下（249-1）/2=124枚。 第4讲 计数问题 枚举法 　　1.如图9-10，有8张卡片，上面分别写着自然数1至8。从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9。问有多少种不同的取法？ 　　解答：三数之和是9，不考虑顺序。1+2+6=9，1+3+5=9，2+3+4=9 　　答：有3种不同的取法。 　　2.从1至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法？ 　　解答：两数之和大于10，不考虑顺序。8+7，8+6，8+5，8+4，8+3　7

35、+6，7+5，7+4　6+5 　　答：共有9种不同的取法。 　　3.现在1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法？ 　　解答：2角3分=23分　54+21+11=23，54+13=23，53+24=23，53+23+12=23，53+22+14=23 　　答：一共有5种不同的支付方法。 　　4.妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？ 　　解答：需要考虑吃的顺序不同。7，5+2，4+3，3+4，3+2+2，2+5，2+3+2，2+2+3 　　答：有8种不同的吃法。 　　5.有3个工厂共订300份《吉林日报》

36、，每个工厂最少订99份，最多101份。问一共有多少种不同的订法？ 　　解答：3个工厂各不相同，3数之和是300份，要考虑顺序。99+100+101，99+101+100，100+99+101，100+100+100，100+101+99，101+99+100，101+100+99 　　答：一共有7种不同的订法。 　　6.在所有的四位数中，各个数位上的数字之和等于34的数有多少个？ 　　解答：4个数字之和是34，只有9+9+9+7=34，9+9+8+8=34，不同的数字放在不同位是组成的四位数不同，考虑顺序。9997，9979，9799，7999；9988，9898，9889，8998，

37、8989，8899 　　答：有10个。 　　7.有25本书，分成6份。如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种分法？ 解答：1+2+3+4+5+10，1+2+3+4+6+9，1+2+3+4+7+8，1+2+3+5+6+8，1+2+4+5+6+7答：有5种分法。 8.小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书，共10册。已知甲、乙、丙、丁这4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元，而且每种书至少买了一本。那么，共有多少种不同的购买方法？ 　　解答：4种书每种1本，共3+5+7+11=26（元），70-26=44，44元买6本书 　　113+51+32，112+72+51+31

38、，112+71+53，111+74+51 　　答：共有4种不同的购买方法。 　　9.甲、乙、丙、丁4名同学排成一行。从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种？ 　　解答：不同的排法共有9种。 　　10.abcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为1，2，3，4中的某个数字，但彼此不同，例如2134。请写出所有满足关系a＜b，b＞c，c＜d的四位数abcd来。 　　解答：若a最小：1324，1423；若c最小：2314，2413，3412 答：有5个：1324，1423，2314，2413，34

39、12。 11.一个两位数乘以5，所得的积的结果是一个三位数，且这个三位数的个位与百位数字的和恰好等于十位上的数字。问一共有多少个这样的数？ 　　解答：设两位数是AB，三位数是CDE，则AB*5＝CDE。CDE能被5整除，个位为0或5。若E=0，由于E+C＝D，所以C＝D；又因为CDE/5的商为两位数，所以百位小于5。当C=1，2，3，4时，D=1，2，3，4，CDE＝110，220，330，440。若E=5，当C=1，2，3，4时，D=6，7，8，9，CDE＝165，275，385，495。 　　答：一共有8个这样的数。 　　12.3件运动衣上的号码分别是1，2，3，甲、乙、丙3人各穿

40、一件。现在25个小球，首先发给甲1个球，乙2个球，丙3个球。规定3人从余下的球中各取球一次，其中穿1号衣的人取他手中球数的1倍，穿2号衣的人取他手中球数的3倍，穿3号衣的人取他手中球数的4倍，取走之后还剩下两个球。那么，甲穿的运动衣的号码是多少？ 　　解答：3人自己取走的球数是25-（1+2+3）19-2=17（个），17=3*4+2*1+1*3，所以，穿2号球衣的人取走手中球数1的3倍，这是甲。 　　答：甲穿的运动衣的号码是2。 　　13.甲、乙两人打乒乓球，谁先胜两局谁赢；如果没有人连胜两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。那么一共有多少种可能的情况？ 　　解答：设甲胜为A，甲

41、负为B，若最终甲赢，有7种可能的情况。如图。同理，乙赢也有7种可能的情况。7+7＝14 　　答：一共有14种可能的情况。 　　14.用7张长2分米、宽1分米的长方形不干胶，贴在一张长7分米、宽2分米的木板，将其盖住，共有多少种不同的拼贴方式？在这里，如果两种方案可以通过旋转而互相得到，那么就认为是同一种。 　　解答：12种。如图所示。 15.用对角线把正八边形剖分成三角形，要求这些三角形的顶点是正八边形的顶点，那么共有多少种不同的方法？在这里，如果两种剖分方法可以通过恰当的旋转、反射，或者旋转加反射而互相得到，那么就认为是同一种。 　　解答：12种。如图所示。 第5讲 几何问题

42、几何图形的认知 　　1、图8-1中的3个图形都是由A，B，C，D（线段或圆）中的两个组合而成，记为A*B，C*D，A*D。请你画出表示A*C的图形。 　　解答：比较1和3图知A代表竖线，比较2的3图知D代表横线，所以B代表大圆，C代表小圆。A*C就是小圆加竖线。 　　2、图8-2是由9个小人排列成的方阵，但有一个人没有到位。请你根据图形的规律，在标有问号的位置画出你认为合适的小人。 　　解答： 　　3、如图8-3，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作。按上述规则完成5次以操作以后，剪去所得小正方形的左下角。问：当展开这张正方形纸片后，共有多少个小洞孔？ 　

43、　解答：每操作1次都使正方形1变4。第1次操作后剪了4层展开合为一个洞（4^0），第2次操作1*4=4(4^1)个洞，第3次4*4=16(4^2)，第4次16*4=64(4^3)，第5次64*4=256(4^4)。不信的同学可以看我挖的效果图：） 操?次挖出黑洞1个，2次挖出橙洞4个，3次黄洞16个，4次绿洞64个，5次蓝洞256个 　　4、如图8-4，用4个大小相同的正方体拼成图中的形状。如果用涂料涂正方体中的一个侧面需用工料费3元，那么涂完图中的所有面，共需要工料费多少元？ 解答： 解:设小正方体一个侧面为1,则拼成后的形状为18,18*3=54. 　　答:共需要工料费54元.

44、　　5、用红、黄、蓝、白、黑、绿这6种颜色分别涂在正方体的各面上，每一个面只涂一种颜色。如图8-5所示，现有涂色方式完全一样的4块小正方体拼成了一个长方体，试回答：每个小正方体中，红色面的对面涂的是什么色？黄色面的对面涂的是什么色？黑色面的对面涂的是什么色？ 　　解答：共用了红、黄、蓝、白、黑、绿6种颜色。根据图，可以看到：红色与黑、黄、白、蓝相邻，所以，红色对面是绿色。黄色与红、黑、白、绿相邻，所以，黄色对面是蓝色。黑色与红、黄、蓝、绿相邻，所以，黑色对面是白色。 　　6、已知在每个正方体的6个面上分别写着1，2，3，4，5，6这6个数，并且任意两个相对的面上所写的两个数的和都等于7

45、。如图8-6，现在把5个这样的正方体一个挨着一个连接起来，在紧挨着的两个面上的两个数之和都等于8，那么图中标有问号的那个面上所写的数是多少？ 　　解答：从图前面的1开始分析，对面为6；挨着的面为2，对面为5；挨着的面为3，对面为4。转弯处1在上面，则6在底下，1的左右两面只能是2、5。如果右面为2，挨着的面则为6，对面为1，紧挨着的面为7，不符合要求。所以1的右面为5，挨着的面为3，对面为4，挨着的面为4，？处为3。 　　7、在图8-7的5个图形中，有一个不是正方体展开图，那么这个图形的编号是几？ 　　解答： 　　8、请你在图8-10上画出3种与图8-9不一样的设计图，使它折起

46、来后都成为图8-8所示的长方体盒子，其中的粗线与棱的交点均为棱的中点。 　　解答： 　　9、如图8-11所示，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）。那么这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？ 　　解答：这个多面体中间一段是六棱柱，上面和下面一样，都是由3个正方形和3个三角形相间斜立着，再由1个三角形连在一起 　　10、如图8-12，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型。把这个模型的表面（包括底面）都涂上红色，那么，把这个模型拆开以后，有3面涂上红色的小正方体比有2面涂上红色的小正方体多多少块？ 解答： 3面红：1层有54=20（个），2层有

47、4个，3层有4个，共20+4+4=28（个） 2面红：2层有34=12（个），3层有4个，共12+4=16（个） 3面红比2面红的多28-16=12（个） 　　11、若干棱长为1的正方体拼成了一个111111的大正方体，那么从一点望去，最多能看到多少个单位正方体？ 　　解答： 　　12、有10个表面涂满红漆的正方体，其棱长分别为2，4，6，……，18，20。若把这些正方体全部锯成棱长为1的小正方体，则在这些小正方体中，共有多少个至少是一面有漆的？ 　　解答： 　　13、已知一个正方体木块能分割成若干个棱长为1厘米的小正方体木块，并且在这个大的正方体木块的5个面上涂上红色，

48、把它分割成若干个棱长1厘米的小正方体木块后，有两面涂上红色的共有108块。那么只有一面涂上红色的有多少块？ 　　解答： 　　14、一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行。如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？ 　　解答： 　　15、如图8-13，一个正四面体摆在桌面上，正对你的面ABC是红色，底面BCD是白色，右侧面ACD是蓝色，左侧面ABD是黄色。先让四面体绕底面面对你的棱向你翻转，再让它绕底面右侧棱翻转，第三次绕底面面对你的棱向你翻转，第四次绕底面左侧的棱翻转，此后依次重复上述操作过程。问：按规则完成第一百次操作后，面对你的面是什么颜色

49、？ 　　解答： 第6讲 数字谜问题乘除法填空格 　　1、把1至9这9个不同的数字分别填在图7-1的各个方格内，可使加法和乘法两个算式都成立。现有3个数字的位置已确定，请你填上其他数字。 　　解答：由两位数乘一位数得两位数可以推出应为17*4=68，那么，后面的加数个位为5，余下2、9正好满足68+25=93。 　　2、图7-2是一个乘法算式。当乘积最大时，方框内所填的4个数字之和是多少？ 　　解答：一个两位数乘5得两位数，那么个位只能是1；要使乘积最大，个位当然应该是9；即算式为19*5=95；那么，所填的四个数字之和为：1+9+9+5=24。 　　3、请补全图-3所

50、示的残缺算式，问其中的被乘数是多少？ 　　解答：由个位往前分析，容易得到被乘数个位为8，积十位为7，被乘数百位为5，万位为4，积万位为3；即整个算式为：47568*7=332976。所以，被乘数为47568。 　　4、图7-4是一个残缺的乘法竖式，那么乘积是多少？ 　　解答：由乘积的最高位不难看出积应该是10?2，且在它上面的乘积应该是9？；因为加2后有进位，所以，个位只有8、9两种可能；又第一个乘积的十位为2，个位也是2，说明被乘数为22，乘数个位为1；或者被乘数为11，乘数个位为2；如果被乘数为22，乘数个位为1，乘数的个位只能是4，显然不行；那么，被乘数为11，乘数个位为2，这样，

51、乘数个位就为9，即整个算式为11*92=1012。所以，乘积是1012。 　　5、图7-5是一个残缺的乘法算式，只知道其中一个位置上数字为8，那么这个算式的乘积是多少？ 　　解答：由被乘数乘8后得两位数容易得出被乘数应该为12，乘数个位则必定为9，那么结果为12*89=1068。 　　6、图7-6是一个残缺的乘法算式，补全后它的乘积是多少？ 　　解答：由乘积个位得5，那么被乘数的个位也必定是5；由乘数的十位乘被乘数时十位为0，可知乘数的十位是4或8；由积的千位为5，推得被乘数百位为3，并由此推出乘数十位为4；所以，算式为325*47=15275，即乘积是15275。 　　7、在图7-

52、7所示的算式中只知道3个位置上的数字是4，那么补全后它的乘积是多少？ 　　解答： 　　8、图7-8是一个残缺的乘法算式，补全后这个算式的乘积应是多少？ 　　解答： 　　9、图7-9是一个残缺的乘法算式，补全后这个算式的乘积应是多少？ 　　解答：由中间的5入手，因为被乘数十位为1，所以5前面百位上肯定是1，这样可推得19*8=152；再由得数百位为8，推出其上面的方框中应为7，进而得出是19*9=171；所以，最后的乘积应为19*98=1862。 　　10、图7-10中的竖式由1，2，3，4，5，6，7，8中的7个数码组成，请将空缺的数码填上，使得竖式成立。 　　解答：乘数不可

53、能是1，则被乘数百位必定是1；两数相乘，个位得2的有：3*4=12、4*8=32、6*7=42；分别试算，得到：158*4=632。 　　11、在图7-11所示除法竖式的每个方框中，填入适当的数字，使算式成立。那么算式中的被除数是多少？ 　　解答：分析273，除数个位和商的十位有两种可能：1*3=3或7*9=63，如果是后一种，那么只有39*7=273，但39*2=78是两位数，不符；所以只能是91*3=273，即除数是91，商是32；那么，完整的算式为2919/91=32......7。 　　12、补全图7-12所示的除法算式。 　　解答：由商的百位8着手，除数乘8得两位数挥腥

54、挚赡埽?0、11、12，但再看前面除数与商的千位相乘是三位数，那就剩下一种12，且商的千位为9；于是得到除数为12，商为9807，那么，被除数为9807*12=117864，这样整个算式也就出来了。 　　13、补全图7-13所示的残缺除法算式，问其中的被除数应是多少？ 　　解答：由余数98马上可以知道除数为99，这样就可以一步一步由下往上推：98+99=197，被除数末位是7；　19+99=118，被除数十位是8；11+99=110，被除数前三位是110；那么，被除数为11087。 14、按照图7-14中给出的各数字的奇偶性补全这个除法算式。 　　解答：由下往上，显然两个“奇”都是

55、1，被除数末两位是66；6乘一个一位偶数得到两位数的两个数码全是偶数，有两种可能：4*6=24或8*6=48，所以，这个除法算式有两种可能：2466/6=411或4866/6=811。 　　15、一个四位数被一个一位数除得图7-15中的①式，而被另一个一位数除得图7-15中的②式，求这个四位数。 　　解答：由第一个算式可知，被除数千位为1；由于除数不可能是1，至少是2，又由于两个商的百位不可能都是1，那么，如果第二个算式的除数大于第一个除数，即至少是3，且百位均不为1，有五种可能：3*4=12、3*5=15、3*6=18、4*4=16、5*2=10；如果第二个除数是3，那么第一个除数就只能

56、是2，由第一个算式可知显然不行，因为被除数前两位最小是10，而商最大为4。所以，两个除数只能是3、4，3、5或4、5；如果是3、4，由第二个除数是4，被除数的前两位可以确定是16，且比较两个算式，由后一个可知后两位也只能是16，但对第一个不符，所以，3、4也不可能；如果是3、5，由第二个除数是5，被除数的前两位可以确定是10，百位只能是3，个位不能满足；剩下4、5时，同样分析可知不符合；再看，如果第二个算式的除数小于第一个除数，且百位均不为1，因为第一个除数最大为4，所以只有4、3，4、2和3、2三种可能；4、3显然不符；同样可以分析4、2也不符；只有是3、2时，分析可得到1014满足要求。如果有一个商的百位是1，显然只能是第一个算式才可能，那么，被除数前两位只能是10，且除数只能是9；结合第二个算式，第二个除数只能是2或5，如为2，百位只能是1，不符；如为5，当百位是3时，可以同时满足两个算式，这时被除数为1035；所以，这个四位数有可能是1014、1035。