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1、
6.7 不等式的综合问题
巩固·夯实基础
一、自主梳理
1.方程与不等式、函数与不等式、解析几何与不等式的综合问题.
2.解决上述问题的关键是找出综合题的各部分知识点及解法，充分利用数学思想和数学方法求解.
二、点击双基
1.(理)若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有( )
①a+b＜ab ②|a|＞|b| ③a＜b ④+＞2
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：∵＜＜0,∴b＜a＜0.
∴故①正确,②③错误.
2、 ∵a、b同号且a≠b,∴、均为正.
∴+＞2=2.
故④正确.∴正确的不等式有2个.
答案：B
(文)不等式|1-|>2的解集是…( )
A.{x|-1}
C.{x|x>-1} D.{x|-12,
∴-1>2或-1<-2,
>3或<-1.
∴0ab>ab2
3、 B.ab2>ab>a C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a
解析：特殊值.a=-1,b=-,ab=,ab2=-.故ab>ab2>a.
答案：D
3.设a、b∈R，给出下列条件：①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出“a、b中至少有一个数大于1”的条件是( )
A.②③ B.①②③ C.③④⑤ D.③
解析：a=b=a+b>1,否定①.
a=b=1a+b=2,否定②,④显然错.
a=-2,b=
4、-1ab>1,否定⑤.
答案：D
4.若规定=|ad-bc|,则不等式<0的解集为________.
解析：<0|x-1|<00<|x-1|<104的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a、b;
(2)解不等式>0(c为常数).
解：(1
5、)由题知1、b为方程ax2-3x+2=0的两根，即∴a=1,b=2.
(2)不等式等价于(x-c)(x-2)>0,当c>2时解集为{x|x>c或x<2};当c<2时解集为{x|x>2或xb>c,故1>->c-3
6、方程f(x)+1=0有实根，即x2+2bx+c+1=0有实根.
故Δ=4b2-4(c+1)≥0,即(c+1)2-4(c+1)≥0c≥3或c≤-1.
又1>b>c,得-30.
∴f(m-4)的符号为正.
【例3】 已知抛物线y=ax2-1上存在关于直线l:x+y=0成
7、轴对称的两点，试求实数a的取值范围.
解法一：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P(x1，y1)、Q(x2,y2),线段PQ的中点为M(x0,y0),设直线PQ的方程为y=x+b,由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程ax2-x-(1+b)=0. ①
判别式Δ=1+4a(1+b)＞0. ②
由①得x0==,y0=x0+b=+b.
∵M∈l,∴0=x0+y0=++b,即b=-,代入②解得a＞.
解法二：设同解法一，由题意得
将①②代入③④，并注意到a≠0,x
8、1-x2≠0,
得
由二元均值不等式易得
2(x12+x22)＞(x1+x2)2(x1≠x2).
将⑤⑥代入上式得
2(-+)＞()2,解得a＞.
解法三：同解法二，由①-②，得
y1-y2=a(x1+x2)(x1-x2).
∵x1-x2≠0,
∴a(x1+x2)==1.
∴x0==.
∵M(x0,y0)∈l,
∴y0+x0=0,即y0=-x0=-,从而PQ的中点M的坐标为（,-）.
∵M在抛物线内部，
∴a()2-(-)-1＜0.
解得a＞.(舍去a＜0，为什么?)
链接·聚焦
解法三中为何舍去a<0?
这是因为a<0,中点M(x0,y0),x0=<0,y0=->0.
又∵a<0,y=ax2-1<0,矛盾,∴a<0舍去.
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