正交变换与正交矩阵.ppt

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1、00:43,,1,7 正交变换与正交矩阵,正交变换的定义 正交变换的性质 旋转变换与镜像变换 正交矩阵 正交矩阵的分解,00:43,,2,正交变换,恒同变换是正交变换, 两个正交变换的乘积仍然是正交变换.,内积不变长度不变, 夹角不变,命题 5.1: 正交变换把规范正交基变为规范正交基.,证明,证明,00:43,,3,旋转变换及其矩阵,00:43,,4,镜像变换及其矩阵,00:43,,5,正交变换的矩阵,2)矩阵A的列两两互相正交, 它的行也两两互相正交, 即,00:43,,6,正交变换与正交矩阵,证明,00:43,,7,二维欧氏空间的正交变换,证明：,分两种情况讨论,00:43,,8,Hou

2、seholder矩阵,因此, 镜像变换的矩阵为,（Householder矩阵）,求解,求解,00:43,,9,正交矩阵的分解,证明:对正交矩阵的阶数采用数学归纳法.,当n=2时, 结论成立.,当n=3时,,00:43,,10,正交矩阵的分解,进一步用归纳 法可得结果,00:43,,11,命题 5.2的证明,证明: 要证明该变换保持内积.,用(1)减去(2)及(3),,并利用内积的线性及对称性得,back,00:43,,12,命题5.3的证明,证明：,由假设,back,00:43,,13,定理 5.4 的证明,证明:,back,00:43,,14,例子 5.4 的求解,证明:,单位法方向为,(,),back,00:43,,15,例子 5.5 的求解,证明:,只要证明旋转矩阵可以分解成两个Householder矩阵的乘积.,back,