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1、2.3.1双曲线及其标准方程
【教学目标】掌握双曲线的标准方程及其特点；会求简单的双曲线的标准方程。
教学重点：双曲线的定义及其标准方程．
教学难点：双曲线标准方程的推导．
【教学过程】
预习检查、总结疑惑:察看导学案做的情况
情景导入、展示目标：(一)复习提问，平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a 时，形成的轨迹？
(1)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆．
(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数(等于|F1F2|)的点的轨迹是线段.
(3)常数2a|F1F2|时,无轨迹.
(二)双曲线的概念
把椭圆定义中的“
2、距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？
合作探究、精讲点拨：观察如图 2-23，定点 , 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，|| - || 是常数，这样就画出一条曲线；
由 || - || 是同一常数，可以画出另一支．
双曲线的定义：平面内与两定点 , 的距离的差的绝对值等于常数(小于||)的点的轨迹叫做双曲线。现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．
标准方
3、程的推导：
(1)建系设点
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)
建立直角坐标系．
设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．
(2)点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．
(3)代数方程
(4)化简方程
将这个方程移项，两边平方得：
两边再平方，整理得：
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)
由双曲线定义
4、，2c＞2a 即c＞a，所以
设(b＞0)，代入上式得：
这就是双曲线的标准方程．
两种标准方程的比较(引导学生归纳)：
教师指出：
(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；
(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．
(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．
例1 若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1，0)、A′(1，0)的距离差的绝对值为定值a，求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
5、
解：∵｜AA′｜＝2，
∴(1)当a＝2时，轨迹方程是y＝0(x≥1或x≤－1)，轨迹是两条射线．
(2)当a＝0时，轨迹是线段AA′的垂直平分线x＝0．
(3)当0＜a＜2时，轨迹方程是＝1，轨迹是双曲线．
点评：注意定值的取值范围不同，所得轨迹方程不同．
变式训练1．方程＝1表示双曲线，则k∈( )
解析：∵方程＝1表示双曲线，
∴(10－k)(5－k)＜0，∴5＜k＜10．
例2一炮弹在某处爆炸，在F1(－5000，0)处听到爆炸声的时间比在F2(5000，0)处晚秒，已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上?并求爆炸点所在的曲线方
6、程．
点评：在F1处听到爆炸声比F2处晚秒，相当于爆炸点离F1的距离比F2远6000米，这是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关——文化关(用数学文化反映实际问题)．借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关(用数学知识解决第二关提出的问题)．
变式训练2 F1、F2为双曲线－y2＝－1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是( )
解析：双曲线－y2＝－1的两个焦点是F1(0，－)、F2(0，)，
∵∠F1PF2＝90°，∴｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜
7、F1F2｜2．
即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝20 ①
∵｜PF1｜－｜PF2｜＝±2，
∴｜PF1｜2－2｜PF2｜·｜PF1｜＋｜PF2｜2＝4 ②
①－②得2｜PF1｜·｜PF2｜＝16，∴＝｜PF1｜·｜PF2｜＝4．
反思总结，当堂检测。1.双曲线定义中需要注意的条件：
2.双曲线方程的特点（注意与椭圆对比、区分）：、的系数符号相反，若的系数为正，则焦点在轴上，反之则在轴上。
3.求双曲线方程关健是确定、，常见的方法是待定系数法或直接由定义确定。
检测题：1. P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝______．
2．焦点在x轴上，中心在原点且经过点P(2，3)和Q(－7，－6)的双曲线方程是______
3. 椭圆＝1与双曲线＝1有相同焦点，则a的值是______．
答案：1. －8 2. ＝1 3. a＝±1
作业：发导学案、布置预习。
双曲线及其标准方程教案
