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沪科版八下数学 专题（4）巧用三角形中位线解难题
1. 如图，在 △ABC 中，E 是 AC 边上一点，线段 BE 垂直 ∠BAC 的平分线于点 D，M 为 BC 边的中点，连接 DM．
(1) 求证：DM=12CE；
(2) 若 AD=6，BD=8，DM=2，求 AC 的长．
2. 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 的中点．求证：MN∥BC．
3. 如图，在 △ABC 中，D 为 AB 的中点，E 为 AC 上一点，AE=2CE，CD，BE 交于点 O，OE=2 厘米．求 BO 的长．
4. 如图，在 △A
2、BC 中，M 是 BC 的中点，AP 平分 ∠BAC，BP⊥AP 于点 P，连接 MP．若 AB=15，AC=22，求 PM 的长．
5. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，P 是 AD 的中点，延长 BP 交 AC 于点 N．求证：AN=13AC．
6. 如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，AC=BD，E，F 分别是 AB，CD 的中点，连接 EF 分别交 AC，BD 于点 M，N，判断三角形 MON 的形状，并说明理由．
7. 如图，在 △ABC 中，BD，CE 分别是 ∠ABC，∠ACB 的平分线，AD⊥BD 于点
3、 D，AE⊥CE 于点 E．已知 AB=6，BC=7，AC=5，求 DE 的长．
8. 如图，在四边形 ABCD 中，BC，AD 不平行，且 ∠BAD+∠ADC=270∘，E，F 分别是 AD，BC 的中点，已知 EF=4，求 AB2+CD2 的值．
答案
1. 【答案】
(1) ∵BE 垂直于 ∠BAC 的平分线于点 D，
∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE=90∘．
在 △ADB 和 △ADE 中，∠BAD=∠EAD,AD=AD,∠ADB=∠ADE=90∘,
∴△ADB≌△ADEASA，
∴AB=AE，BD=DE．
∵M 为 BC 边的中
4、点，
∴BM=MC，
∴DM 为 △BCE 的中位线，
∴DM=12CE．
(2) 在 Rt△ADB 中，AB=BD2+AD2=82+62=10，
∴AE=AB=10．
由（1）得，CE=2DM=4，
∴AC=CE+AE=4+10=14．
2. 【答案】如答图，连接 EF．
∵E，F 分别是 AD，BC 的中点，
∴AE=DE，BF=CF．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AE=BF，DE=CF，
∴ 四边形 AEFB，CDEF 都是平行四边形，
∴EM=MB，EN=NC，
∴MN 是 △EB
5、C 的中位线，
∴MN∥BC．
3. 【答案】在 △ABC 中，作 DF∥AC 交 BE 于点 F，连接 DE，CF，如图．
∵D 为 AB 的中点，且 DF∥AC，
∴F 为 BE 的中点，即 EF=FB，
∴DF 为 △ABE 的中位线，
∴DF=12AE．
又 ∵AE=2CE，
∴DF=EC．
∴DF∥EC，DF=EC，
∴ 四边形 CEDF 是平行四边形，
∴EO=FO，
∵BF=FE，
∴BO=3EO=3×2=6（厘米）．
4. 【答案】如答图，延长 BP，与 AC 相交于点 N．
∵AP 平分 ∠BAC，AP⊥BP，
6、
∴∠BAP=∠NAP，∠APB=∠APN，
在 △APB 和 △APN 中，∠BAP=∠NAP,AP=AP,∠APB=∠APN,
∴△APB≌△APN，
∴BP=NP，AB=AN=15．
又 ∵M 是 BC 的中点，
∴PM 是 △BCN 的中位线，
∴PM=12NC．
∵NC=AC-AN=22-15=7，
∴PM=3.5．
5. 【答案】如图，过点 D 作 DM∥BN 交 AC 于点 M，
∵P 是 AD 的中点，
∴N 是 AM 的中点，即 AN=MN，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D 是 BC 的中点.
∵DM∥BN，
7、 ∴M 是 CN 的中点，即 MN=CM，
∴AN=MN=CM，
∴AN=13AC．
6. 【答案】 △MON 是等腰三角形．理由如下：
如答图，取 BC 边的中点 G，连接 EG，FG．
∵E，F 分别是 AB，CD 的中点，
∴EG∥AC，EG=12AC，
同理，FG∥BD，FG=12BD．
∵AC=BD，
∴EG=FG，
∴∠GEF=∠GFE．
∵EG∥AC，
∴∠OMN=∠GEF．
同理，∠ONM=∠GFE，
∴∠OMN=∠ONM，
∴OM=ON，
即 △MON 是等腰三角形．
7. 【答案】如答图，延长 AE 交 B
8、C 于点 F，延长 AD 交 BC 于点 G．
∵BD 是 ∠ABG 的平分线，BD⊥AD，
∴AB=BG=6，D 是 AG 的中点．
同理，CF=AC=5，E 是 AF 的中点，
∴ED 是 △AFG 的中位线，BF=BC-FC=7-5=2，GC=BC-BG=7-6=1．
∴DE=12FG=12×BC-BF-GC=12×7-2-1=2．
8. 【答案】如答图，连接 BD，取 BD 的中点 M，连接 EM 并延长交 BC 于点 N，连接 FM．
∵∠BAD+∠ADC=270∘，
∴∠ABC+∠C=90∘，
∵E，F，M 分别是 AD，BC，BD 的中点，
∴EM∥AB，FM∥CD，EM=12AB，FM=12CD，
∴∠MNF=∠ABC，∠MFN=∠C，
∴∠MNF+∠MFN=90∘，即 ∠NMF=90∘．
由勾股定理，得 ME2+MF2=EF2=16，
∴AB2+CD2=2ME2+2MF2=4EF2=64．
沪科版八下数学专题（4）巧用三角形中位线解难题
