人教版九年级数学 第二十四章 微专题6切线的性质与判定的综合运用 同步练

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1、 人教版九年级数学 第二十四章 微专题6切线的性质与判定的综合运用 同步练 1. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AD 是 ⊙O 的切线，BD 交 ⊙O 与点 C，∠CAD=50∘，则 ∠B=   A． 30∘ B． 40∘ C． 50∘ D． 60∘ 2. 如图，点 B 在 ⊙A 上，点 C 在 ⊙A 外，AC 交 ⊙A 于点 D，以下条件不能判定 BC 是 ⊙A 切线的是    A． ∠B-∠C=∠A B． ∠A=50∘，∠C=40∘ C． AB2+BC2=AC2 D． D 是 AC 的中点 3. 如图，PA，PB 分别与 ⊙O

2、相切于 A，B 两点，点 C 为 ⊙O 上一点，连接 AC，BC．若 ∠P=50∘，则 ∠ACB= ． 4. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠B=30∘，以点 A 为圆心，以 3 cm 为半径作 ⊙A，当 AB= cm 时，BC 与 ⊙A 相切． 5. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，∠DCA=∠B． (1) 求证：CD 是 ⊙O 的切线； (2) 若 DE⊥AB 于点 E，交 AC 于点 F，求证：△DCF 是等腰三角形． 6. 如图，O 为菱形 ABCD 对角线上一点，以点 O 为圆心，OA 长为半径的 ⊙O

3、 与 BC 相切于点 M． (1) 求证：CD 是 ⊙O 的切线； (2) 若菱形 ABCD 的边长为 2，∠ABC=60∘，求 ⊙O 的半径． 7. 如图，⊙O 是四边形 ABCD 的外接圆，对角线 BD 是直径，过点 A 作 AE⊥CD 的延长线于点 E，DA 平分 ∠BDE． (1) 求证：AE 是 ⊙O 的切线； (2) 若 AE=4，CD=6，求 ⊙O 的半径和 AD 的长． 8. 如图，在 △ACB 中，∠C=90∘，∠A=30∘，点 O 在边 AB 上，且 BO=13AB，以点 O 为圆心，OB 长为半径的圆分别交 AB，BC 于 D，E 两点

4、． (1) 求证：AC 是 ⊙O 的切线； (2) 判断由 D，O，E 及切点所构成的四边形的形状，并说明理由． 9. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，∠ABC 的平分线 BE 交 AC 于点 E，过点 E 作 BE 的垂线交 AB 于点 F，作 EH⊥AB 于点 H，⊙O 是 △BEF 的外接圆，交 BC 于点 D． (1) 求证：AC 是 ⊙O 的切线； (2) 求证：CD=HF； (3) 若 CD=1，EA=3，求 △AEF 的面积． 答案 1. 【答案】C 2. 【答案】D 3. 【答案】 115° 4. 【答案】

5、6 【解析】过点 A 作 AD 垂直于 BC 于点 D． ∵AB=AC， ∴ 当 AD=3 时，相切． ∵∠B=30∘， ∴AB=6． 5. 【答案】 (1) 如图，连接 OC． ∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠ACB=90∘，即 ∠BCO+∠ACO=90∘． ∵OC=OB， ∴∠B=∠BCO． 又 ∠DCA=∠B， ∴∠BCO=∠DCA， ∴∠DCA+∠ACO=90∘，即 ∠DCO=90∘． ∴OC⊥CD． ∴CD 是 ⊙O 的切线． (2) ∵DE⊥AB， ∴∠FEA=90∘． ∴∠A+∠EFA=90∘． ∵

6、∠ACB=90∘， ∴∠A+∠B=90∘． ∴∠B=∠EFA． ∵∠DCA=∠B，∠DFC=∠EFA， ∴∠DCF=∠DFC． ∴DC=DF． 即 △DCF 是等腰三角形． 6. 【答案】 (1) 如图，连接 OM，过点 O 作 ON⊥CD 于点 N． ∵⊙O 与 BC 相切， ∴OM⊥BC，OM 是 ⊙O 的半径． ∵AC 是菱形 ABCD 的对角线， ∴AC 平分 ∠BCD． ∵ON⊥CD，OM⊥BC， ∴ON=OM． ∴ON 是 ⊙O 的半径． ∴CD 是 ⊙O 的切线． (2) ∵ 四边形 ABCD 是菱形，

7、∴AB=BC． ∵∠ABC=60∘， ∴△ABC 是等边三角形． ∴AC=AB=2，∠ACB=60∘． 设 ⊙O 的半径为 r，则 OC=2-r，OM=r． ∵OM⊥BC， ∴∠OMC=90∘， ∴∠COM=180∘-∠ACB-∠OMC=30∘． ∴MC=12OC=2-r2． 在 Rt△OMC 中，OM2+MC2=OC2． ∴r2+2-r22=2-r2． 解得 r1=43-6，r2=-43-6（舍去）． ∴⊙O 的半径为 43-6． 7. 【答案】 (1) 如图，连接 OA． 因为 AE⊥CD， 所以 ∠E=90∘． 所以 ∠DAE+

8、∠ADE=90∘． 因为 DA 平分 ∠BDE， 所以 ∠ADE=∠ADO． 又 OA=OD， 所以 ∠OAD=∠ADO． 所以 ∠DAE+∠OAD=90∘，即 ∠OAE=90∘． 所以 OA⊥AE． 所以 AE 是 ⊙O 的切线． (2) 如图，取 CD 的中点 F，连接 OF， 则 OF⊥CD． 易得四边形 AEFO 是矩形， 所以 OF=AE=4． 因为 CD=6，F 为 CD 的中点， 所以 DF=FC=3． 所以 OD=OF2+DF2=42+32=5． 即 ⊙O 的半径为 5． 所以 OA=EF=5， 所以 ED=EF-DF=2． 在 Rt△AE

9、D 中，AE=4，ED=2， 所以 AD=AE2+ED2=42+22=25， 所以 AD 的长是 25． 8. 【答案】 (1) 如图，过点 O 作 OF⊥AC 于点 F． ∴∠OFA=90∘． ∵∠A=30∘， ∴OA=2OF． ∵BO=13AB， ∴OA=2OB． ∴OF=OB． ∴OF 为 ⊙O 的半径． ∴AC 是 ⊙O 的切线． (2) 设切点为点 F．四边形 ODFE 为菱形．理由如下： 如图，连接 OE，EF，DF． ∵∠A=30∘，∠C=∠OFA=90∘， ∴∠AOF=∠B=60∘． 又 OF=OD=OE=OB，

10、 ∴△OFD 和 △OBE 都是等边三角形． ∴OD=DF，∠BOE=60∘． ∴∠EOF=180∘-60∘-60∘=60∘． ∴△OEF 为等边三角形． ∴EF=OE． ∴OD=DF=EF=OE． ∴ 四边形 ODFE 为菱形． 9. 【答案】 (1) 如图，连接 OE， ∵BE⊥EF， ∴∠BEF=90∘． ∴BF 是 ⊙O 的直径． ∵BE 平分 ∠ABC， ∴∠CBE=∠OBE． ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB． ∴∠OEB=∠CBE． ∴OE∥BC． ∴∠AEO=∠C=90∘． ∴OE⊥AC．

11、又 OE 为 ⊙O 的半径， ∴AC 是 ⊙O 的切线． (2) 如图，连接 DE． ∵BE 是 ∠ABC 的平分线，∠C=90∘，EH⊥AB， ∴EC=EH，∠C=∠EHF=90∘． ∵∠CDE+∠BDE=180∘，∠HFE+∠BDE=180∘， ∴∠CDE=∠HFE． 在 △CDE 和 △HFE 中，∠CDE=∠HFE,∠C=∠EHF,EC=EH, ∴△CDE≌△HFEAAS． ∴CD=HF． (3) 由（2）得 HF=CD=1． ∵EH⊥AB， ∴∠BHE=90∘． ∵∠C=∠BHE=90∘，∠EBC=∠EBA， ∴∠BEC=∠BEH． ∵∠BEF=90∘， ∴∠FEH+∠BEH=90∘，∠AEF+∠BEC=90∘． ∴∠FEH=∠AEF． ∴EF 平分 ∠AEH． 如图，过点 F 作 FM⊥EA 于点 M，则 FM=HF=1． ∴△AEF 的面积为 12EA⋅FM=12×3×1=32．