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1、静电场的边值问题,一般情况下电位或场强满足两个方程 无源Laplaces Equation 有源Poissions Equation 边值问题：在给定边界条件下求解偏微分方程 Poissions Equation+边界条件 Laplaces Equation +边界条件,电场边值问题的分类,第1类: 已知整个边界上的电位（Dirichlet Problems） 第2类: 已知整个边界上电位的法向导数Neumann Problems 第3类: 已知边界上电位+边界电位 法向导数的值 Hybrid Problems,5.3 一维场直接积分,例1. 求同轴线中的电场分布，已知内半径a外半径b，内导体
2、电位U，外导体为0。 在柱坐标系下，柱对称下拉普拉斯方程,,r 0,代入边界条件: r=a时y=U，r=b时y=0，C1=?, C2=?,得：,则：,（柱坐标下）,例 2已知：导体球，半径a，球体电位U 。求：球外的电位？,分析： 球对称球坐标系下，电位只与半径有关,则：,直接积分得：,利用边界条件确定两个待定常数,r=a时y=U，r=时y=0，得C1, C2,例3. 同轴电缆，填充两种介质，内导体电位为U ,外导体接地。求电位。,由于对称性，电位与j、z座标无关，仅与r相关 柱座标系下拉氏方程,解得：,利用边界条件：,根据以上条件求出系数就得到介质中电位。,内容主要包括:,二维拉氏方程 直角
3、坐标系下 柱坐标系下 未包括： 二维球坐标系下拉氏方程 三维Laplace方程求解 泊松方程（非齐次方程）求解,5.4 分离变量法求解拉氏方程,分离变量法的主要思想,将方程中含有各个变量的项分离开来，从而原方程拆分成多个更简单的只含1个自变量和参数的常微分方程； 运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程； 利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙方法，求出各个方程的通解； 最后将这些通解“组装”起来。,笛卡儿坐标系中分离变量法求解,令：,两边同时除以：,三项中每一项必须是常数！,令：,的求解,1. 如果,(k为正实数),2. 如果,3. 如果,(k为正实数),确定Y和Z通
4、解的步骤类似 最后再将X、Y、Z的通解“组装”在一起 最后代入边界条件确定待定常数,P108页,电势满足方程：,分离变量得：,解得：,腔内电势解,由二维傅里叶变换得,一、求解矩形区域的Laplace方程,微波导和光波导器件的 横截面常是矩形, 其中的电磁场模式多是横电波或横磁波, 即电场或磁场不沿着波导的长度方向改变，而只随横截面的坐标变化; 此时求解矩形区域的Laplace方程是研究波导中场量和模式的重要手段。,举例. 如图的波导中求解电位,求解v(x,y),设解为：,代入上面关于v的方程得：,先求解哪一个？？？,与齐次边界有关的那个。,本征函数为：,本征值为：,,将本征值ln代入 Y 的方
5、程，可得通解：,于是由叠加原理得到v的通解为：,将另一对边界条件代入方程的通解得：,上两式实际上是u0和U0展开后的正弦级数, 于是,联立上两式可得An和Bn, 从而原方程的解得以确定。,上题中边界处的电位分布,探讨一下边界处分布函数的形状：,求解步骤,正确写出方程和边界条件； 在齐次化边界条件下利用分离变量法求解； 利用齐次边界条件求特征值、特征函数； 写出通解形式 代入边界，求待定系数。,二、求解柱坐标系下的Laplace方程,此时求解圆形区域的Laplace方程是研究场量和模式的重要手段。 在最常见的微波传输线(铜轴线)和最常见的光传输线(光纤)中，横截面都是圆形，其中的电磁场模式也大多
6、是横电波或横磁波，即电场或磁场不沿着波导的长度方向改变，而只随横截面的坐标变化；,求解柱坐标系下的Laplace方程,电位只与 r 有关 电位只与 r、z 有关 电位只与 r、j 有关,只与 r、z 有关的Laplace方程, 当=0时：, 当0时：,若要在圆柱上下底面满足齐次边界条件, 则 m不可能0.,求解圆柱内部问题(包含圆柱轴线r=0)时, 为了满足自然边界条件, Nn(.)项应舍去., 当m <0时：,R(r)没有实的零点, 如果要求 u 在圆柱侧面r=a 满足齐次边界条件，则应排除<0的可能。,求解圆柱内部问题(包含圆柱轴线r=0)时, 为了满足自然边界条件, Kn(.)项应舍去.
7、,一般解为： 1)如果考虑圆内问题则其解为 2)如果考虑圆外问题则其解为 3)如果考虑是圆环问题，则其解为一般解，其中的系数由边界条件确定。,3. 电位只与 r、j 有关,3. 球坐标系下与j无关时（轴对称情况）,球内电位取有限值（r=0电位有限）,球外电位取有限值（r取无穷大电位有限）,,例1. 解题时首先看能否化简,已知：很长的同轴电缆，内导体半径为a,维持电位V0，外导体半径为b，接地。 求：导体区域内的电位分布？,分析：柱座标，电位对称，仅与r有关,例2.,书p136例5.6,三. 球坐标系下的二维Laplace方程,自学内容,什么是“镜像法”？,用适当的镜像电荷(Image-Char
8、ges)代替边界，求解电位分布的方法。,“镜像法”的依据“唯一性定理”,Uniqueness Theorem,“镜像法”思路 用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷 保持求解区域中场方程和边界条件不变,“镜像法”使用范围： 界面几何形状较规范， 电荷个数有限，或分布形式简单,5.5 镜像法,Method of Images,(1)将导体移走,在“对称”点处放置一个“像”电荷q*,第一类镜像法：平面镜像,(2)仍然要满足“导体板”存在时的条件, q*？,q*q,,边界条件：,对称性：,拉氏方程,q*q,“像点”q*：满足“导体板”存在时的条件,满足！,满足！,满足！,由唯一性定理知,第二类镜像法：柱面镜像,像？线电荷“电轴” 位置？柱内、与线电荷平行 分布？密度设为p*,假设：,导体圆柱面上任一点M,因为导体是等位体,若“三角形相似”,思考：复杂的第2类镜像问题,已知：两根无限长平行圆柱，半径为a、b，轴心距离d 求：两柱间单位长度上的电容,请参考：书P158 例5.13,第三类镜像法：球面镜像,例如：一个点电荷，位于接地导体球旁边，球半径为a 求：该电荷受到的静电力?,导体球上任一点M,电介质中的镜像,分界面上切向电场连续,且一般情况下法向电位移连续:,结论：,
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