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1、x
新定义问题
1. 定义[x]为不超过 x 的最大整数，如[3.6]＝3，[0.6]＝0，[－3.6]＝ －4.对于任意实数 x，下列式子中错误的是( )
A. [x]＝x(x 为整数)
B. 0≤x－[x]<1
C. [x＋y]≤[x]＋[y]
D. [n＋x]＝n＋[x](n 为整数)
2.对于两个不相等的实数 a，b，我们规定符号 max{a，b}表示 a，b 中较大的数，如： max{2，4}＝4. 按照这个规定，方程 max{x，－x}
2x＋1
＝ 的解为( )
A. 1－ 2 B. 2－ 2
C. 1－ 2或 1＋
2、 2 D. 1＋ 2或－1
3. 定义运算： a b＝a(1－b) ．下面给出了关于这种运算的几种结论： ①2 Ä (－2)＝6；②a Ä b＝b Ä a；③(a Ä a)＋(b Ä b)＝2ab；④若 a Ä b＝ 0，则 a＝0 或 b＝1.其中结论正确的序号是( )
A. ①④ B. ①③
C. ②③④ D. ①②④
4. 对于实数 m，n，定义一种运算“※”：m※n＝m2－mn－3.下列 说法错误的是( )
A. 0※1＝－3
B. 方程 x※2＝0 的根为 x ＝－1，x ＝3
1 2
ìï1※t＜0
C. 不等式组í
ïî（
3、－3）※t＜0
无解
D. 函数 y＝x※(－2)的顶点坐标是(1，－4)
5. 用“ ”定义一种新运算．对于任意实数 m，n 和抛物线 y＝ax2
，
ï
ï
x －3 x＋3
． ．
2
2
当 y＝ax2♥(m，n)后都可以得到 y＝a(x－m)2
＋n.
当 y＝2x
2♥(3，4)后都可以得到 y＝2(x－3)2
＋4.
函数 y ＝ x
2♥(1 ， n) 得到的函数如图所示， n ＝
________．
ï
6. 4 个数 a，b，c，d 排列成
4、ï
ï
a bï
c d ï
第 5 题图
，我们称之为二阶行列式．规
ï
定它的运算法则为： ï
ï
a bï
c d ï
＝ad－bc，若
ïx＋3 x－3ï ï ï
ï ï
ï ï
＝12，则
x＝________．
7. 新定义[a，b]为一次函数 y＝ax＋b(其中 a≠0，且 a，b 为实数)的 “关联数”．若“关联数”[3，m＋2]所对应的一次函数是正比例函数，
1 1
则关于 x 的方程 ＋ ＝1 的解为________．
x－1 m
8. 对非负实数 x“四舍五入”到
5、个位的值记为 x ，即当 n 为非负
1 1
整数时，若 n－ ≤x
6、有正确的序号)．
9.如果关于 x 的一元二次方程 ax2
＋bx＋c＝0 有两个实数根，且其中
一个根为另一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”. 以下关 于倍根方程的说法，正确的是________．(写出所有正确说法的序号)
x
4
①方程 x2－x－2＝0 是倍根方程； ②若(x－2)(mx＋n)＝0 是倍根方程，则 4m2
＋5mn＋n2
＝0；
2
③若点(p，q)在反比例函数 y＝ 的图象上，则关于 x 的方程 px ＋3x＋q＝0 是倍根方程；
2
④若方程 ax2
＋
7、bx＋c＝0 是倍根方程，且相异两点 M(1＋t，s)，
N(4－t，s)都在抛物线 y＝ax2
＋bx＋c 上，则方程 ax
2＋bx＋c＝0 的一
5
个根为 .
10.在直角坐标系 xOy 中，对于点 P(x，y)和 Q(x，y′)，给出如下定
ìïy（x≥0）
义：若 y′＝í ，则称点 Q 为点 P 的“可控变点”． ïî－y（x<0）
例如：点(1，2)的“可控变点”为点(1，2)，点(－1，3)的“可控变点” 为点(－1，－3)．
(1)若点(－1，－2)是一次函数 y＝x＋3 图象上点 M 的“可控变点”， 则点
8、M 的坐标为________．
(2) 若点 P 在函数 y＝－ x
2
＋ 16( － 5≤x≤a) 的图象上，其“可控变
点”Q 的纵坐标 y ′的取值范围是－16≤y ′≤16 ，则实数 a 的取值范围 是________．
x
x
【答案】
专题四
新定义问题
1. C 【解析】对于 A 选项，取 x＝2，[2]＝2，成立；对于 B 选项， 取 x＝3.5，3.5－[3.5]＝3.5－3＝0.5<1，成立；对于 C 选项，x＝2.5， y＝3.5，则[x＋y]＝[6]＝6，[x]＋[y]＝2＋3＝5，6＞
9、5，故选项 C 错误； 对于 D 选项，n＝2，x＝3.5, [2＋3.5]＝[5.5]＝5，2＋[3.5]＝2＋3＝5， 成立．故答案选择 C.
2. D 【解析】分类讨论：(1)当 x＞－x，即 x＞0 时，max{x，－x}
2x＋1
＝x，即 x ＝ ，∴ x2－2x－1＝0，解得 x ＝1－ 2＜0( 舍去) ，x
1
2
2x＋1
＝1＋ 2；(2)当 x＜－x，即 x＜0 时，max{x，－x}＝－x，即－x＝ ， ∴x2＋2x＋1＝0，解得 x ＝x ＝－1＜0，符合题意．综上所述，符合
1 2
题意的方程的解是 1＋ 2或－1.
3. A
10、 【解析】
序号
①
逐项分析 2 Ä (－2)＝2×(1＋2)＝6
正误
√
② a Ä b＝a(1－b)，b Ä a＝b(1－a)，故 a Ä b 不一定等于 b Ä a ×
③
a Ä a＝a(1－a)，b Ä b＝b(1－b)，则(a Ä a)＋(b Ä b)＝a－
a2＋b－b2＝a＋b－a2－b2≠2ab
×
④ a Ä b＝a(1－b)，即 a(1－b)＝0，则 a＝0 或 b＝1 √
4. D 【解析】A. 0※1＝0
2－0×1－3＝－3，正确，故本选项不符合
题意；B. 方程 x※2＝0 即为 x2
11、
－2x－3＝0，解得 x ＝－1，x ＝3，正
1 2
ìï1※t＜0
确 ， 故 本 选 项 不 符 合 题 意 ； C. 不 等 式 组 í
ïî（－3）※t＜0
即 为
ìï1－t－3＜0 ìït＞－2
í ，即 í 无解，正确，故本选项不符合题意； D. 函 ïî9＋3t－3＜0 ïît＜－2
数 y＝x※(－2)即为 y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，顶点坐标为(－1，－ 4)，错误，故本选项符合题意．
5. 2 【解析】根据题意得 y＝x2 (1，n)是函数 y＝(x－1)2＋n；由图
ï ï
x －3 x＋3
12、
3
2
3
3
2
2
2
2
象得此函数的顶点坐标为(1，2)，∴此函数的解析式为 y＝(x－1)2＋ 2.∴n＝2.
6. 1
ïx＋3 x－3ï
【解析】根据新定义规定的算法：
ï ï
ï ï
＝12，即(x＋3)2
－(x－3)2＝12，整理得 12x＝12，解得 x＝1.
5
7. x＝ 【解析】根据“关联数”[3，m＋2]所对应的一次函数是正 比例函数，得到 y＝3x＋m＋2 为正比例函数，即 m＋2＝0，解得 m
1 1
＝－2，则分式方程为 － ＝1，去分母得：2－(x－1)＝2(x－1
13、)，
x－1
5 5
去括号得：2－x＋1＝2x－2，解得 x＝ ，经检验 x＝ 是分式方程的 解．
8. ①③④ 【解析】
序号
①
②
③
逐项分析
〈1.493〉＝1 四舍五入取整数部分为 1
反例：x＝1.6 时，〈2x〉＝〈2×1.6 〉＝〈3.2〉＝3；2〈x〉＝2
〈1.6〉＝2×2＝4
1 1 1
利用信息中的“若 n－ ≤x＜n＋ ，则〈x〉＝n ”由〈 x－1〉＝4，
1
得 3.5≤ x－1＜4.5，解得：9≤x＜11
正误
√
×
√
④
m 为非负整数时，〈m＋N〉＝〈m
14、〉＋〈N〉(N 为任意非负数) √
⑤
反例：x＝1.7，y＝3.6 时，〈x＋y〉＝〈1.7＋3.6〉＝〈5.3〉＝5；
〈x〉＋〈y〉＝〈1.7〉＋〈3.6〉＝2＋4＝6
×
m
m
m
x
p
2
1 2
2
1 2
1 2 1 2
3
3
3
3
1
2
1
2
9. ②③ 【解析】 序号
逐项分析
正误
①
方程 x2－x－2＝0 的两个根是 x ＝2，x ＝－1，x ≠2x ，
1 2 1 2 不满足题意
n 2n
方程的两个根是 x ＝2
15、，x ＝－ ，则 2＝－ ，得 n＝－
1 2
×
② n
m；或者－ ＝4，得 n＝－4m，将以上两式代入 4m2
5mn＋n2
＝0，满足题意
＋
√
2 2
∵点(p，q)在函数 y＝ 的图象上，∴q＝ ，将其代入 px
2
③ ＋3x＋q＝0，整理，得 2x2＋3qx＋q2＝0，解得 x ＝－q，
1
q
x ＝－ ，∴x ＝2x ，满足题意
2 1 2
√
根据抛物线经过点 M，N，则该抛物线的对称轴为 x＝
1＋t＋4－t
2
＝
④
x ＋x
2.5，设两个根为 x
16、 ，x ，根据题意，得 x ＝2x 或 2x ＝x ，
5 10 10 5
＝2.5，解得 x ＝ ，x ＝ 或 x ＝ ，x ＝ ，不满足题意
×
10. (－1，2)；－5≤a≤4 2 【解析】(1)根据“可控变点”定义知它 们的横坐标不变，∴M 点的横坐标为－1.当横坐标为负数时，它们的 纵坐标互为相反数．∴M(－1，2)；(2)当 P 点的横坐标为负数时，其 纵坐标的取值范围是－ 9≤y<16 ，则其“可控变点”的纵坐标为－ 16
2021年中考复习数学《新定义问题》专项检测
