（广东专用）2013高考数学总复习第五章第五节 课时跟踪训练 理

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1、课时知能训练 一、选择题 1．已知实数等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于(　　) A．35　　　　　B．33　　　　　C．31　　　　　D．29 【解析】　设等比数列的公比为q， 则由a2·a3＝2a1得aq3＝2a1， ∴a1q3＝2，又a4与2a7的等差中项为，∴a4＋2a7＝， ∴a1q3＋2a1q6＝， 由得 ∴S5＝＝31. 【答案】　C 2．某人为了观看2010年南非足球世界杯，从2006年起，每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新

2、的一年的定期，到2010年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为(　　) A．a(1＋p)4 B．a(1＋p)5 C.[(1＋p)4－(1＋p)] D.[(1＋p)5－(1＋p)] 【解析】　依题意，可取出钱的总数为 a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p) ＝a·＝[(1＋p)5－(1＋p)]． 【答案】　D 3．(2012·中山质检)已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 【解析】　∵数列

3、{an}是等差数列， ∴a3＋a11＝2a7， 由2a3－a＋2a11＝0得4a7－a＝0， 又an≠0，∴a7＝4， ∴b6b8＝b＝42＝16. 【答案】　D 4．已知数列{an}的通项公式为an＝log2(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn＜－5成立的自然数n(　　) A．有最小值63 B．有最大值63 C．有最小值31 D．有最大值31 【解析】　∵an＝log2＝log2(n＋1)－log2(n＋2)， ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝log22－log23＋log23－log24＋…＋log2(n＋1)－log2(n＋2)＝1－log

4、2(n＋2)， 由Sn＜－5得log2(n＋2)＞6，即n＋2＞64， ∴n＞62，∴n有最小值63. 【答案】　A 5．(2012·清远调研)各项均为正数的等比数列{an}的公比q≠1，a2，a3，a1成等差数列，则＝(　　) A. B. C. D. 【解析】　由题意知，a3＝a2＋a1，∴a1q2＝a1q＋a1， ∴q2－q－1＝0， 又q＞0，∴q＝， ∴＝＝＝＝. 【答案】　B 二、填空题 6．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为________． 【解析】　a＝a

5、1·a7，即(a1＋2d)2＝a1·(a1＋6d)， ∴a1＝2d， ∴等比数列{bn}的公比q＝＝＝2. 【答案】　2 7．设Sn是数列{an}的前n项和，若(n∈N*)是非零常数，则称数列{an}为“和等比数列”．若数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{bn}________(填“是”或“不是”)“和等比数列”． 【解析】　数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列， 所以2bn＝2·4n－1＝22n－1，bn＝2n－1. 设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝n2，T2n＝4n2， 所以＝4，因此数列{bn}是“和等比数列”． 【答案】　是 8．(

6、2012·潍坊模拟)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．则介于1到200之间的所有“神秘数”之和为________． 【解析】　设“神秘数”为x，则x＝(2n＋2)2－(2n)2＝8n＋4(n∈Z)，由1≤x≤200及n∈Z知，0≤n≤24，所以所有这样的“神秘数”之和为＝2 500. 【答案】　2 500 三、解答题 9．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且3an＋1＋2Sn＝3(n为正整数)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记S＝，若对任意正整数n，kS＜Sn恒成立，求实数k的最大值． 【解】　(1)∵3an＋1＋2S

7、n＝3， ① 当n≥2时，3an＋2Sn－1＝3. ② 由①－②得3an＋1－3an＋2an＝0， ∴＝(n≥2)， 又∵a1＝1,3a2＋2a1＝3，解得a2＝， ∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列． ∴an＝a1qn－1＝()n－1(n∈N*)． (2)由(1)知，Sn＝＝＝[1－()n]． 又对∀n∈N*恒有k≤[1－()n]，得k≤1－()n. ∵数列{1－()n}单调递增， ∴当n＝1时，数列中的最小项为，∴必有k≤，即实数k的最大值为. 10．(2012·湘潭模拟)国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支

8、付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6 000元．某大学2010届毕业生李霄在本科期间共申请了24 000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清． 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1 500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4 000元．李霄同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元． (1)若李霄恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款，求x的值； (2)当x＝50时，李霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？ (参考数据：1.0518＝2.4

9、06,1.0519＝2.526,1.0520＝2.653,1.0521＝2.786) 【解】　(1)依题意，从第13个月开始，每个月的还款额为an构成等差数列，其中a1＝500＋x，公差为x.从而到第36个月，李霄共还款12×500＋24a1＋·x. 令12×500＋(500＋x)×24＋·x＝24 000，解之得x＝20(元)， 据题意，验证可行．即要使在三年全部还清， 第13个月起每个月必须比上一个月多还20元； (2)设李霄第n个月还清，则应有 12×500＋(500＋50)×(n－12)＋·50≥24 000， 整理可得n2－3n－828≥0，解之得n≥＞30， 取n＝

10、31，即李霄工作31个月就可以还清贷款， 这个月李霄的还款额为 24 000－[12×500＋(500＋50)×(30－12)＋·50]＝450元， 第31个月李霄的工资为1 500×1.0519＝1 500×2.526＝3789元， 因此，李霄的剩余工资为3789－450＝3339. 11．(2012·肇庆调研)已知等差数列{an}满足：an＋1＞an(n∈N*)，a1＝1，该数列的前三项分别加上1,1,3后顺次成为等比数列{bn}的前三项． (1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式an，bn. (2)设Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，若Tn＋－＜c(c∈Z)恒成立，求c的最小

11、值． 【解】　(1)设d、q分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比． 由题知，a1＝1，a2＝1＋d，a3＝1＋2d，分别加上1,1,3后得2,2＋d,4＋2d是等比数列{bn}的前三项， ∴(2＋d)2＝2(4＋2d)⇒d＝±2. ∵an＋1＞an，∴d＞0. ∴d＝2，∴an＝2n－1(n∈N*)． 由此可得b1＝2，b2＝4，q＝2， ∴bn＝2n(n∈N*)． (2)Tn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋， ① 当n＝1时，T1＝； 当n≥2时，Tn＝＋＋＋…＋. ② ①－②，得 Tn＝＋(＋＋…＋)－. ∴Tn＝1＋－＝3－－ ＝3－. ∴Tn＋－＝3－＜3. ∵(3－)在N*是单调递增的， ∴(3－)∈[2,3)， ∴满足条件Tn＋－＜c(c∈Z)恒成立的最小整数值为c＝3.