2014届高考数学总复习 课时提升作业(二十) 第三章 第五节 文

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1、课时提升作业(二十) 一、选择题 1.(2013·鹰潭模拟)若角α的终边落在直线x+y=0上,则+的值等于 ( ) (A)-2　　　(B)2　　　 (C)-2或2　　 　(D)0 2.(2013·九江模拟)已知cos(π+x)=,x∈(π,2π),则tanx等于( ) (A)-　　　(B)-　　　 (C)　　　 (D) 3.函数f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则θ为( ) (A)kπ(k∈Z) (B)kπ+(k∈Z) (C)kπ+(k∈Z) (D)-kπ-(k∈Z) 4.(2013·汉中模拟)设函数f(x)=sin(2x+)+

2、cos(2x+),则( ) (A)y=f(x)在(0,)上是增加的,其图像关于直线x=对称 (B)y=f(x)在(0,)上是增加的,其图像关于直线x=对称 (C)y=f(x)在(0,)上是减少的,其图像关于直线x=对称 (D)y=f(x)在(0,)上是减少的,其图像关于直线x=对称 5.(2013·延安模拟)若函数f(x)=(1+tanx)cosx,0≤x<,则f(x)的最大值为 ( ) (A)1　　　(B)2　　　(C)+1　　　(D)+2 6.已知cos(α-)+sinα=,则sin(α+)的值是( ) (A)- (B) (C)- (D) 二

3、、填空题 7.(2013·阜阳模拟)已知cos(-100°)=m,则tan80°=　　　　. 8.已知函数f(x)=sinx-cosx,x∈R,则该函数图像的对称中心为　　　　. 9.已知:0°<α<90°,0°<α+β<90°,3sinβ=sin(2α+β),则tanβ的最大值是　　　　. 三、解答题 10.已知函数f(x)=sin(x+)+cos(x-),x∈R. (1)求f(x)最小正周期和最小值. (2)已知cos(β-α)=,cos(β+α)=-,0<α<β≤,求证:[f(β)]2-2=0. 11.(能力挑战题)已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x

4、)的导函数. (1)若f(x)=2f′(x),求的值. (2)求函数F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的最大、最小值. 12.(1)①证明两角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ; ②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. (2)已知cosα=-,α∈(π,π),tanβ=-,β∈(,π),求cos(α+β). 答案解析 1.【解析】选D.原式=+,由题意知角α的终边在第二、四象限,sinα与cosα的符号相反,所以原式=0 2.【解析】选D.∵cos(π+x)=-cos

5、x=, ∴cosx=-, 又π

6、n(x+),由0≤x<,得≤x+<,故当x=时,有最大值2. 6.【解析】选C.cos(α-)+sinα=sinα+cosα =sin(α+)=, 所以sin(α+)=-sin(α+)=-. 7.【解析】cos(-100°)=cos100°=cos(180°-80°)=-cos80°=m, ∴cos 80°=-m, ∴m<0, ∴sin80°==, ∴tan80°==-. 答案:- 8.【解析】f(x)=sinx-cosx=2sin(x-), 由x-=kπ(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z), 故所求对称中心为(kπ+,0)(k∈Z). 答案:(kπ+,0)(k∈Z)

7、 9.【解析】由3sinβ=sin(2α+β)得3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),化简得sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα, ∴tan(α+β)=2tanα, ∴tanβ=tan(α+β-α)= ==. 由题意知,tanα>0, ∴+2tanα≥2 (当且仅当=2tanα,即tanα=时等号成立), ∴tanβ的最大值为=. 答案: 【方法技巧】三角函数和差公式的灵活应用 (1)三角函数和差公式在三角函数式的化简和求值中经常用到,因此公式的灵活应用非常关键,公式可以正用、逆用、变形应用. (2)逆用关键在于构造公式的形式,方法是通过三角恒等变

8、换,出现和或差的形式,即出现能逆用公式的条件;有时通过两式平方相加减,分子分母同除,切函数化成弦函数等技巧. 10.【思路点拨】(1)将f(x)利用辅助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式求解. (2)由条件求得β的值后再证明. 【解析】(1)f(x)=sinxcos+cosxsin+cosxcos+sinxsin=sinx-cosx =2sin(x-),∴f(x)的最小正周期T=2π,最小值f(x)min=-2. (2)由已知得cosαcosβ+sinαsinβ=, cosαcosβ-sinαsinβ=-,两式相加得2cosαcosβ=0, ∵0<α<β≤, ∴co

9、sβ=0,则β=, ∴[f(β)]2-2=4sin2-2=0. 【变式备选】函数f(x)=sin2x--. (1)若x∈[,],求函数f(x)的最值及对应的x的值. (2)若不等式[f(x)-m]2<1在x∈[,]上恒成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)f(x)=sin 2x-- =sin 2x-cos 2x-1=sin(2x-)-1, ∵x∈[,],∴≤2x-≤, 当2x-=,即x=时,f(x)max=0, 当2x-=,即x=时,f(x)min=-. (2)方法一:∵[f(x)-m]2<1(x∈[,])f(x)-1f(x)

10、max-1且m0,故-1

11、(2x+)+1, 当x=kπ+,k∈Z时,F(x)的最大值是+1. 当x=kπ-,k∈Z时,F(x)的最小值是1-. 12.【思路点拨】(1)①建立坐标系,利用两点间的距离公式证明;②利用诱导公式及两角和的余弦公式证明. (2)直接利用公式求解. 【解析】(1)①如图,在直角坐标系xOy内作单位圆O,并作出角α,β与-β,使角α的始边为Ox轴非负半轴,交☉O于点P1,终边交☉O于点P2;角β的始边为OP2,终边交☉O于点P3, 角-β的始边为OP1,终边交☉O于点P4. 则P1(1,0),P2(cosα,sinα),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β)

12、, sin(-β)). 由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2, 展开并整理,得 2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ). ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. ②由①易得,cos(-α)=sinα, sin(-α)=cosα. sin(α+β)=cos[-(α+β)] =cos[(-α)+(-β)] =cos(-α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β) =sinαcosβ+cosαsinβ. ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. (2)∵α∈(π,π),cosα=-,∴sinα=-. ∵β∈(,π),tanβ=-, ∴cosβ=-,sinβ=. cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ =(-)×(-)-(-)×=.