2016高中数学3.2三角恒等变换学案新人教A版必修4

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1、2016高中数学 3.2三角恒等变换学案 新人教A版必修4 学习目标:1．能用二倍角公式导出半角公式以及万能公式，体会其中的三角恒等变换的基本思 想方法，以及进行简单的应用． 2．了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方法．理 解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用． 3．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利 用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和简单的应用． 学习重点：利用三角恒等变换对三角函

2、数式化简、求值以及三角恒等式的证明 学习难点：三角恒等变换的特点、变换技巧 一．知识导学： 1．半角公式(1)S：sin ＝_____________；(2)C：cos ＝_____________；3)T：tan ＝_____________ (无理形式)＝__________＝__________(有理形式)． 2．辅助角公式 使asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)成立时，cos φ＝ ，sin φ＝ ，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由 决定. 二．探究与发现 【探究点一】　半角公式的推导 问题1　试用cos α表示s

3、in 、cos 、tan . 问题2　证明：tan ＝＝. 【探究点二】　积化和差与和差化积公式的推导 根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整： ①sin(α＋β)＋sin(α－β)＝ ； ②sin(α＋β)－sin(α－β)＝ ； ③cos(α＋β)＋cos(α－β)＝ ； ④cos(α＋β)－cos(α－β)＝ . 问题1　由上述①～④这四个等式不难得出下列四个对应的积化和差公式，请你试一试写出这四个公式： sin αcos β＝____________________

4、____； cos αsin β＝________________________； cos αcos β＝________________________； sin αsin β＝________________________． 问题2　请写出把asin x＋bcos x化成Asin(ωx＋φ)形式的过程 【典型例题】 例1 已知cos α＝，α为第四象限角，求sin 、cos 、tan 跟踪训练1　已知cos θ＝－，且180°<θ<270°，求tan . 例2　已知函数f(x)＝2cos x(sin x－cos x)

5、＋1，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值 跟踪训练2　已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合 例3　如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积． 跟踪训练3　2002年在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的

6、．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于______． 三．巩固训练 1．函数f(x)＝sin＋sin的最大值是 (　　) A．2 B．1 C． D． 2．函数f(x)＝sin x－cos x，x∈的最小值为 (　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 3．函数f(x)＝2sin sin的最大值等于 (　　) A． B． C．1 D．

7、2 4．求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值． 四．课堂小结 1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝(或sin φ＝，cos φ＝)． 3．研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握， 例如sin x±cos x＝sin；sin x±cos x＝2sin等.