（江苏专用）2013年高考数学总复习 第四章第4课时 复数的概念及运算课时闯关（含解析）

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1、 （江苏专用）2013年高考数学总复习 第四章第4课时 复数的概念及运算 课时闯关（含解析） [A级　双基巩固] 一、填空题 1．(2011·高考辽宁卷改编)i为虚数单位，则＋＋＋＝________. 解析：原式＝－i＋i＋(－i)＋i＝0. 答案：0 2．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝________. 解析：由已知得：1＋xi＝y＋2i，∴x＝2，y＝1，∴x＋yi＝2＋i. 答案：2＋i 3．a是正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝________. 解析：＝|1－ai|＝＝2， ∴a＝±，而a是正实数，∴a＝. 答案： 4．

2、i是虚数单位，复数＝________. 解析：＝＝＝2－i. 答案：2－i 5．若复数是纯虚数，则实数a＝________. 解析：＝＝， ∵是纯虚数，故，∴a＝－6. 答案：－6 6．(2011·高考大纲全国卷改编)复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z·－z－1＝________. 解析：∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z·＝|z|2＝2， ∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i. 答案：－i 7．若复数(b∈R)在复平面上的点在直线x＋y＝0上，则b＝________. 解析：＝＝ ＝ ＝－i， 故此复数对应点为 据题意：－＝0，∴b＝－. 答案：－ 8．

3、(2012·扬州质检)给出下列四个命题： ①若z∈C，|z|2＝z2，则z∈R；②若z∈C，＝－z，则z是纯虚数；③z∈C，|z|2＝zi，则z＝0或z＝i；④若z1，z2∈C，|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0. 其中真命题的个数为________． 解析：①是真命题，|z|2＝z·，所以z·＝z2，所以z＝0或z＝，故z∈R；②是假命题，假如z＝0时不成立；③是假命题，因为|z|2＝z·＝zi，所以z(－i)＝0，故z＝0或z＝－i；④是假命题，假如z1＝1，z2＝i时z1z2≠0，但|z1＋z2|＝|z1－z2|. 答案：1 二、解答题 9．计算：(1)；(2).

4、 解：(1)法一：＝＝＝i. 法二：＝＝＝＝i. (2)原式＝ ＝＝ ＝＝＝－1＋i. 10．求同时满足下列两个条件的所有复数z. (1)z＋是实数，且1＜z＋≤6； (2)z的实部和虚部都是整数． 解：设z＝x＋yi(x，y∈Z)．由z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i. 由z＋∈R，得y－＝0.解得y＝0或x2＋y2＝10. 当y＝0时，z＋＝x＋.由基本不等式可知：x＋≥2或x＋≤－2. 与已知1＜z＋≤6矛盾，故y≠0. 当x2＋y2＝10时，z＋＝2x. 由1＜z＋≤6，得＜x≤3. 因为x，y∈Z，所以或 所以z＝1±3i或z＝3±i. [B级　能力提升

5、] 一、填空题 1．(2012·南通市、泰州市高三调研)已知集合A＝{2,7，－4m＋(m＋2)i}(其中i为虚数单位，m∈R)，B＝{8,3}，且A∩B≠∅，则m的值为________． 解析：∵A∩B≠∅，∴－4m＋(m＋2)i＝8或－4m＋(m＋2)i＝3，解得m＝－2. 答案：－2 2．若z2＝8＋6i，则z3－16z＋的值为________． 解析：z3－16z＋＝＝＝＝0. 答案：0 3．已知关于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)i＝0有实根，则纯虚数m的值是________． 解析：方程有实根，不妨设其一个根为x0，设m＝ai，(a∈R且a≠0) 代入

6、，得x＋(1＋2i)x0－(3ai－1)i＝0， 化简，得(2x0＋1)i＋x＋x0＋3a＝0. 由性质可得解得a＝，∴m＝i. 答案：i 4．对于非零实数a，b，以下四个命题都成立： ①a＋≠0；②(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；③若|a|＝|b|，则a＝±b；④若a2＝ab，则a＝b.那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是________． 解析：取a＝i，则a＋＝i＋＝0，可得命题①对非零复数不成立； 命题②(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2为所有数均成立的恒等式，故命题②对非零复数也成立； 取a＝1，b＝i，可得|a|＝|b|，但a≠±b，∴命题③对非零复

7、数不成立； 若a2＝ab，则a(a－b)＝0，由于a，b为非零复数，∴a－b＝0，即a＝b，∴命题④对非零复数也成立． 综上可得对非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是②④. 答案：②④ 二、解答题 5．已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 解：设z＝x＋yi(x，y∈R)． ∵z＋2i＝x＋(y＋2)i， 由题意得y＝－2. ∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i， 由题意得x＝4.∴z＝4－2i. ∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i， 根据条

8、件，可知，解得2＜a＜6， ∴实数a的取值范围是(2,6)． 6．设z是虚数，w＝z＋是实数，且－1＜w＜2. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围； (2)设u＝，求证：u为纯虚数； (3)求w－u2的最小值． 解：(1)设z＝a＋bi，a，b∈R，b≠0， 则w＝a＋bi＋＝＋i， ∵w是实数，b≠0， ∴a2＋b2＝1，即|z|＝1. 于是w＝2a，－1＜2a＜2，－＜a＜1， ∴z的实部的取值范围是. (2)证明：u＝＝＝＝－i. ∵a∈，b≠0， ∴u为纯虚数． (3)w－u2＝2a＋＝2a＋＝2a－＝2a－1＋＝2－3. ∵a∈，∴a＋1＞0，故w－u2≥2·2 －3＝4－3＝1.当a＋1＝，即a＝0时，w－u2取得最小值1.