（福建专用）2013年高考数学总复习 第七章第3课时 圆的方程课时闯关（含解析）

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1、 （福建专用）2013年高考数学总复习 第七章第3课时 圆的方程课时闯关（含解析） 一、选择题 1．(2011·高考四川卷)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A. B. C. D. 解析：选D.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为，即. 2．已知圆的方程为x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么下列直线中经过圆心的直线的方程为(　　) A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x＋y＋1＝0 D．2x＋y－1＝0 解析：选C.(x－1)2＋(y＋3)2＝2，圆心为(1，－3)，而(1，－3)满足2x＋y＋1＝0.∴直线2x＋y

2、＋1＝0过圆心． 3．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　) A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D. (x－2)2＋(y－2)2＝1 解析：选B.∵圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1， ∴圆C1是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆． 又∵点(－1,1)关于直线x－y－1＝0的对称点为(2，－2)， ∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，故选B. 4．方程|x|－1＝所表示的曲线是(　　) A．一个圆 B．两

3、个圆 C．半个圆 D．两个半圆 解析：选D.原方程即 即或 故原方程表示两个半圆． 5．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程是(　　) A．4 B．5 C．3－1 D．2 解析：选A.圆C的圆心C的坐标为(2,3)，半径r＝1.点A(－1,1)关于x轴的对称点A′的坐标为(－1，－1)．因A′在反射线上，所以最短距离为|A′C|－r，即－1＝4. 二、填空题 6．(2012·泉州质检)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________． 解析：直线

4、x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)，即圆C的圆心坐标为(－1,0)．又圆C与直线x＋y＋3＝0相切， ∴圆C的半径为r＝＝. ∴圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2. 答案：(x＋1)2＋y2＝2 7．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0.那么当圆面积最大时，圆心为________． 解析：将方程配方，得(x＋)2＋(y＋1)2＝－k2＋1. ∴r2＝1－k2>0，rmax＝1，此时k＝0. ∴圆心为(0，－1)． 答案：(0，－1) 8．若实数x、y满足(x－2)2＋y2＝3，则的最大值为________． 解析：＝，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因

5、此的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率． 设＝k，则kx－y＝0.由＝，得k＝±， 故()max＝. 答案： 三、解答题 9．根据下列条件求圆的方程： (1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上； (2)与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0 上，且直线y＝x 截圆所得弦长为2. 解：(1)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为＝， 即x＋y－1＝0. 解方程组，得圆心C的坐标为(4，－3)． 又圆的半径r＝|OC|＝5， 所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25. (2)因圆与y轴相切，且圆心在直线x

6、－3y＝0上， 故设圆方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2， 又因为直线y＝x截圆得弦长为2， 所以2＋()2＝9b2，解得b＝±1. 故所求圆方程为：(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O. (1)求圆C的方程； (2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8， ∵直线y＝x与圆

7、C相切于原点O. ∴O点在圆C上， 且OC垂直于直线y＝x， 于是有⇒或. 由于点C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0. ∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8. (2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)， 则有 解之得x＝或x＝0(舍去)． 所以存在点Q(，)，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长． 一、选择题 1．(2012·福州调研)若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过(　　) A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D.圆x2＋y2－2ax＋

8、3by＝0的圆心为(a，－b)，则a<0，b>0.直线y＝－x－，k＝－>0，－>0，直线不经过第四象限，故选D. 2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　) A．π B．4π C．8π D．9π 解析：选B.设P(x，y)，由题意知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4.可知圆的面积为4π，故选B. 二、填空题 3．圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为________． 解析：如图，因为

9、圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°.而圆心到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝＝3，在△AOB中，可求得OA＝6.所以所求圆的方程为x2＋y2＝36. 答案：x2＋y2＝36 4．已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则x2＋y2的最大值为________． 解析：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，圆的半径为， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4. 答案：7＋4 三、解答题 5．设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两

10、段圆弧，其弧长的比为3∶1.在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小的圆的方程． 解：设圆的圆心为P(a，b)，半径为r， 则点P到x轴y轴的距离分别为|b|、|a|. 由题设条件知圆P截x轴所得的劣弧所对的圆心角为90°，圆P截x轴所得的弦长为r，故r2＝2b2. 又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2＝a2＋1， 从而得2b2＝a2＋1. 点P到直线x－2y＝0的距离为d＝， ∴5d2＝(a－2b)2＝a2＋4b2－4ab ＝2a2＋2b2－4ab＋1＝2(a－b)2＋1≥1， 当且仅当a＝b时取等号，此时，5d2＝1, d取得最小值． 由a

11、＝b及2b2＝a2＋1得或，进而得r2＝2. 所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2. 6．某景区内有A、B两个景点在一条小路(直道)的同侧，分别距小路 km和2 km，且A、B两景点间的距离为2 km，今欲在小路上设一观景台，使两景点同时进入视线并有最佳观赏和拍摄效果，则观景台应设在何处？ 解：以小路为x轴，过B垂直于小路的直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，依据题意，观景台应是AB的垂直平分线与x轴的交点，设为M(a,0)，则A(－，)，B(0,2)． 依据题意|MA|＝|MB|， ∴＝， ∴a＝. 因此，观景台应在景点B在小路投影右侧 km处．