2013年全国高考数学第二轮复习 专题一 常以客观题形式考查的几个问题第1讲 集合与常用逻辑用语 理

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1、专题一　常以客观题形式考查的几个问题第1讲　集合与常用逻辑用语 真题试做 1．(2012·重庆高考，理7)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的(　　)． A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．充要条件 2．(2012·浙江高考，理1)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝(　　)． A．(1,4) B．(3,4) C．(1,3)

2、D．(1,2)∪(3,4) 3．(2012·山东高考，理3)设a＞0，且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的(　　)． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(2012·湖北高考，理2)命题“∃x0∈∁RQ，x∈Q”的否定是(　　)． A．∃x0∉∁RQ，x∈Q B．∃x0∈∁RQ，x∉Q C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q 5．(2012·天津高考，理11)已知集合A＝{x∈R||

3、x＋2|＜3}，集合B＝，且A∩B＝(－1，n)，则m＝__________，n＝__________. 考向分析 该部分内容在高考题中主要是以选择题和填空题的形式出现，集合在高考中主要考查三方面内容：一是考查集合的概念、集合间的关系；二是考查集合的运算和集合语言的运用，常以集合为载体考查不等式、解析几何等知识；三是以创新题型的形式考查考生分析、解决集合问题的能力．对逻辑用语的考查，主要是对命题真假的判断、命题的四种形式、充分必要条件的判断、全称量词和存在量词的应用等． 热点例析 热点一　集合的概念与运算 【例１】已知A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩B＝{1}，A∪B

4、＝{0,1,2,4}，则logab＝(　　)． A．－1 B．0 C．1 D．2 规律方法　解答集合间的包含与运算关系问题的思路：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义，再根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解． 确定(应用)集合间的包含关系或运算结果，常用到以下技巧：①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；②若已知的集合是点集，用数形结合法求解；③若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解；④注意转化关系(∁RA)∩B＝B⇔B⊆∁RA，A∪B＝B⇔A⊆B，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(

5、A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)等． 变式训练1　设全集U＝R，集合M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝3－2x}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)． A． 　　　　　 B． C． 　　　　　 D． 热点二　命题的真假与否定 【例2】给出下列四个结论： ①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题； ②“∃x0∈R，使得x2－x＞0”的否定是：“∀x∈R，均有x2－x＜0”； ③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件； ④p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c}，p且q为真命题． 其中正确结论的序号是__________．(填写所有正确结论的序

6、号) 规律方法　1．命题真假的判定方法： (1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别； (2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律； (3)形如p∨q，p∧q，p命题的真假根据真值表判定； (4)全称命题与特称命题的真假的判定：全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定形式是∃x0∈M，p(x0)；特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定形式是∀x∈M，p(x)． 2．命题的否定形式有： 原语句 是 都是 至少有 一个 至多有 一个 ＞ ∀x∈A， 使p(x)真 否定 形式 不是 不都是 一个也 没

7、有 至少有 两个 ≤ ∃x0∈A， 使p(x0)假 变式训练2　已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)． A．a≤－2或a＝1 　　　　　 B．a≤－2或1≤a≤2 C．a≥1 　　　　　　　　　　D．－2≤a≤1 热点三　充分条件、必要条件、充要条件的判定 【例３】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围． 规律方法　(1)对充分条件、必要条件的判断要注意以下几点： ①要弄清先后顺序：“A的充分

8、不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A. ②要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明． (2)判断命题的充要关系有三种方法： ①定义法：1°分清条件和结论：分清哪是条件，哪是结论；2°找推导式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；3°下结论：根据推导式及定义下结论． ②等价法：即利用A⇒B与B⇒A；B⇒A与A⇒B；A⇔B与B⇔A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法． ③利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件

9、；若A＝B，则A是B的充要条件． 变式训练3　(2012·山东济南一模)设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)． A． 　　　　　　　　　　 B． C．(－∞，0]∪ 　　　　 D．(－∞，0)∪ 思想渗透 1．补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求A的补集，再由A的补集的补集是A求出A.逆向思维是从已有习惯思维的反方向去思考问题，在正向思维受阻时，逆向思维往往能起到“柳暗花明又一村”的效果，补集思想就是一种常见的逆向思维． 【典型例题】已知下列三个方程：①x2＋4ax－4a＋3＝

10、0，②x2＋(a－1)x＋a2＝0，③x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围． 解：设已知的三个方程都没有实根， 则 解得－＜a＜－1. 故所求a的取值范围是a≥－1或a≤－. 2．特值法判断命题真假的类型： (1)判断全称命题为假； (2)判断特称命题(存在性命题)为真； (3)判断一个命题不成立． 求解时注意的问题： (1)寻找特例时，应使特例符合已知条件； (2)特例应力求全面，不能以偏概全． 1．已知实数集R，集合M＝{x||x－2|≤2}，集合N＝，则M∩(∁RN)＝(　　)． A．{x|0≤x＜1} 　　　　 B．{x|0≤x

11、≤1} C．{x|1＜x≤4} 　　　　 D．{x|1≤x≤4} 2．“x＞3”是“不等式x2－2x＞0”的(　　)． A．充分非必要条件　　　B．充分必要条件 C．必要非充分条件　　　D．非充分必要条件 3．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)． A．a≥4 　　　　　　 B．a≤4 C．a≥5 　　　　　　 D．a≤5 4．(2012·山东烟台一模，文2)已知命题p：∃x∈R，使sin x＝，命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列结论： ①命题“p∧q”是真命题； ②命题“p∧q”是假命题； ③命题“p∨q”是真命题；

12、 ④命题“p∨q”是假命题． 其中正确的是(　　)． A．①②③ 　　　 B．③④ 　　　 C．②④ 　　　 D．②③ 5．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)． A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数 6．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题： p1：|a＋b|＞1⇔θ∈ p2：|a＋b|＞1⇔θ∈ p3：|a－b|＞1⇔θ∈ p4：|a－b|＞1⇔θ∈ 其中的真命题是(　　)． A．p1，p4 　　　　　　　 B．p1，p3

13、 C．p2，p3 　　　　　　　 D．p2，p4 参考答案 命题调研·明晰考向 真题试做 1．D　2．B　3．A　4．D　5．－1　1 精要例析·聚焦热点 热点例析 【例1】B　解析：∵A∩B＝{1}，∴b＝1或a2＝1(不满足题意，舍去)，∴b＝1. ∵A∪B＝{0,1,2,4}， ∴a＝2或a＝4(不满足题意，舍去)，故logab＝log21＝0.选B. 【变式训练1】B 【例2】①④　解析：对于①，因命题“若α＝β，则cosα＝cosβ”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对于②，命题“∃x0∈R，使得x2－x＞0”的否定应是“∀x∈R，均有x2－x≤0”，故②错；对于③，因由“x2＝4”得x＝±2，所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分条件，故③错；对于④，p，q均为真命题，由真值表判定p且q为真命题．故④正确． 【变式训练2】A 【例3】解：由题意知q⇒p，但pq.即p⇒q，但qp. ∴或 解得m≥9. 【变式训练3】A 创新模拟·预测演练 1．B　2．A　3．C　4．D　5．D　6．A