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（江苏专用）2013年高考数学总复习 第二章第9课时 导数的概念及运算 随堂检测（含解析）
1．求下列函数的导数：
(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；
(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝；
(4)y＝.
解：(1)法一：∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)
＝6x4＋3x3－8x2－4x，
∴y′＝24x3＋9x2－16x－4.
法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′
＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2
＝24x3＋9x2－16x－4.
(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′
＝(3
2、x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xexln3＋3xex－2xln2
＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.
(3)y′＝
＝＝.
(4)y′＝
＝
＝.
2．若函数y＝x3，求过点(1,0)的切线方程．
解：设过点(1,0)的切线与函数y＝x3切于点(x0，x)，
∴k＝y′|x＝x0＝x2|x＝x0＝x.
∴切线方程为y－x＝x(x－x0)．
∵切线过点(1,0)，把该点代入切线方程得，
－x＝x(1－x0)，∴x0＝0或x0＝，
∴切线方程为y＝0或y＝x－.
3．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－
3、4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.
当x＝2时，y＝.
又f′(x)＝a＋，于是
解得故f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)(x－x0)，
即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
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（江苏专用）2013年高考数学总复习 第二章第9课时 导数的概念及运算随堂检测（含解析）
