（新课程）2013高中数学 平面向量总复习题 苏教版必修4

《（新课程）2013高中数学 平面向量总复习题 苏教版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（新课程）2013高中数学 平面向量总复习题 苏教版必修4（13页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、平面向量总复习题 一、选择题 1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 答案：B 2.当|a|＝|b|≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等 解析：∵（a＋b）·（a－b）＝a 2－b2＝|a|2－|b|2＝0，∴（a＋b）⊥（a－b）． 答案：B 3.下面有五个命题，其中正确的命题序号为 ①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；

2、④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋| b | A.①②③ B.⑤ C.③⑤ D.①⑤ 解析：①单位向量方向不确定，故不一定相等，所以命题①错误； ②方向相反的向量一定是共线向量，故命题②错误； ③两向量不能比较大小，故命题③错误； ④0与任意向量平行，故命题④错误； ⑤命题⑤正确. 答案：B 4.下列四式中不能化简为的是（ ） A. B. C. D. 解析：A选项中， B选项中，＝0，，＋0＝ C选项中，＝0，－＋0＝＋0＝． D选项中，，（∵

3、） 答案：D 5.已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于（ ） A.0 B.2＋ C. D.2 解析：∵，∴a＋b＝c，∴a＋b＋c＝2c，∴|2c|＝2. 答案：D 6.如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中不正确的是 A. B.＝0 C. D. 答案：D 7.已知a，b为非零向量，|a＋b|＝|a－b|成立的充要条件是 A.a∥b B.a，b有共同的起点 C.a与b的长度相等 D.a⊥b 解析：|a＋b|＝|a－b||a

4、＋b|2＝| a－b|2（a＋b）2＝（a－b）2a2＋2a·b＋b2a2－2 a·b＋b2a·b＝0a⊥b 答案：D 8.下面有五个命题，其中正确命题的序号是 ①|a|2＝a2；②；③（a·b）2＝a2·b2；④（a－b）2＝a 2－2a·b＋b 2；⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0 A.①②③ B.①④ C.②④ D.②⑤ 解析：② ③（a·b）2＝（| a ||b|cosα）2＝| a |2|b|2cos2α，a 2·b2＝| a |2·|b|2,∴(a·b)2≠a2·b 2 ⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b且a≠0，

5、b≠0. 答案：B 9.若点P分有向线段成定比为3∶1，则点P1分有向线段所成的比为 A.－ B.－ C.－ D.－ 解析：∵，则点P1分有向线段所成的比为－. 答案：A 10.已知点A（x，5）关于点C（1，y）的对称点是B（－2，－3），则点P（x，y）到原点的距离是 A.4 B. C. D. 解析：由中点坐标公式可得，解得x＝4，y＝1， 再由两点间距离公式得. 答案：D 11.将点（a，b）按向量a＝（h，k）平移后，得到点的坐标为 A.（a－h，b＋k） B.（a－h，b－k） C.（a＋h，b－k）

6、 D.（a＋h，b＋k） 解析：设平移后点的坐标为（x′，y′），则根据平移公式可得，∴ 答案：D 12.点A（2，0），B（4，2），若|AB|＝2|AC|，则点C坐标为 A.（－1，1） B.（－1，1）或（5，－1） C.（－1，1）或（1，3） D.无数多个 解析：由题意|AB|＝， ∴|AC|＝. 故点C分布在以点A为圆心，半径为的圆上，故点C坐标有无数多个. 答案：D 13.将曲线f（x，y）＝0按向量a＝（h，k）平移后，得到的曲线的方程为 A.f（x－h，y＋k）＝0 B.f（x－h，y－k）＝0 C.f（x＋h，y－k）＝

7、0 D.f（x＋h，y＋k）＝0 解析：设平移后曲线上任意一点坐标为（x′，y′），则根据平移公式可得， ∴ 又f（x，y）＝0，∴f（x′－h，y′－k）＝0 即f（x－h，y－k）为平移后曲线方程. 答案：B 14.设P点在x轴上，Q点在y轴上，PQ的中点是M（－1，2），则|PQ|等于（ ） A.4 B.2 C.5 D.2 解析：由题意设P（x，0），Q（0，y），由中点坐标公式可得＝－1，＝2 解得x＝－2，y＝4， ∴|PQ|＝. 答案：B 15.下列命题中，正确的是 A.|a·b|＝| a |·|b| B

8、.若a⊥（b－c），则a·b＝a·c C.a2＞|a| D.a（b·c）＝（a·b）c 解析：A．a·b＝|a||b|cosα，|a·b|＝|a||b||cosα|≠| a ||b| B.若a＝0，则a·b＝a·c， 若b－c＝0，即b＝c，a·b＝a·c； 若a≠0，且b－c≠0，由a⊥（b－c），得a·（b－c）＝0. ∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，故B正确. C.若|a|＝0或1，则a2＝|a|. D.向量的数量积不满足结合律. 答案：B 16.函数y＝4sin2x的图象可以由y＝4sin（2x－）的图象经过平移变换而得到，则这个平移变换是 A.向左平移

9、个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 解析：∵用x－替换掉函数y＝4sin2x中的x可得y＝4sin2（x－）＝4sin（2x－）， 故可将原函数图象向左平移个单位得到. 答案：A 17.已知m，n是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角是 A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：∵m·n＝|m||n|cos60°＝， ∴|a|＝，|b|＝ ∴a·b＝（2 m＋n）（－3m＋2 n）＝－6 m 2＋2 n2＋m·n＝－6＋2＋＝－ ∴cosα＝，∴α＝

10、120° 答案：C 18.将函数y＝的图象按a平移后，函数解析式为y＝－1，则a等于（ ） A.（－2，1） B.（2，－1） C.（1，－1） D.（－1，1） 解析：y＝－1，即y＋1＝ ∴用x－2，y＋1分别替换了原函数解析式中的x，y 即，∴即 ∴a＝（2，－1） 答案：B 19.在直角三角形中，A、B为锐角，则sinA·sinB A.有最大值和最小值0 B.有最大值，但无最小值 C.既无最大值，也无最小值 D.有最大值1，但无最小值 解析：∵△ABC为直角三角形，∴B＝－A ∴sinA·sinB＝sinA·s

11、in（－A）＝sinA·cosA＝sin2A 当A＝B＝时，有最大值，但无最小值. 答案：B 20.α、β是锐角三角形的三个内角，则 A.cosα＞sinβ且cosβ＞sinα B.cosα＜sinβ且cosβ＜sinα C.cosα＞sinβ且cosβ＜sinα D.cosα＜sinβ且cosβ＞sinα 解析：∵α、β是锐角三角形两内角， ∴α＋β＞，∴＞α＞－β＞0， ∴sinα＞sin（－β） 即sinα＞cosβ，同理sinβ＞cosα 答案：B 21.在△ABC中，sinA＜sinB是A＜B的 A.充分不必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条

12、件 D.既不充分也不必要条件 解析：由正弦定理可得，∴ 由sinA＜sinB可得a＜b 根据三角形小边对小角可得A＜B，反之由A＜B也可推得sinA＜sinB 故sinA＜sinB是A＜B的充要条件. 答案：C 22.在△ABC中，tanA·tanB＞1，则△ABC为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 解析：∵tanA·tanB＞1＞0，又∵A、B不可能同时为钝角，∴tanA＞0，tanB＞0， ∴tan（A＋B）＝＜0， ∴90°＜A＋B＜180°，∴0°＜C＜90°， ∴△ABC为锐角三角形.

13、答案：A 23.在△ABC中，A、B、C相应对边分别为a、b、c，则acosB＋bcosA等于 A.2cosC B.2sinC C. D.c 解析：由正弦定理得：＝2R 得a＝2RsinA，b＝2RsinB ∴acosB＋bcosA＝2RsinAcosB＋2RcosAsinB＝2Rsin（A＋B）＝2RsinC＝c 答案：D 24.在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，则cosC等于 A. B. C.或 D.－ 解析：由sinB＝，得 cosB＝±＝± 但当cosB＝－，cosA＋cosB＜0，C无解

14、 ∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B） ＝－（cosAcosB－sinAsinB） ＝sinAsinB－cosBcosA＝·· 答案：A 25.在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2＜b2＋c2，则A的取值范围是（ ） A.90°＜A＜180° B.45°＜A＜90° C.60°＜A＜90° D.0°＜A＜90° 解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0， ∴cosA＝＞0，∴A＜90°， 又∵a边最大，∴A角最大 ∵A＋B＋C＝180°，∴3A＞180°， ∴A＞60°，∴60°＜A＜90° 答案：C 26.

15、已知点A分的比为2，下列结论错误的是 A.B分的比为－ B.C分的比为－3 C.A分的比为2 D.C分的比为－ 解析：数形结合可得C选项错误. 答案：C 27.在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积为 A.2 B. C.2或 D.2或4 解析：sinC＝， ∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30° ∴S△ABC＝AB·AC·sinA＝2或. 答案：C 28.在△ABC中，若sinB·sinC＝cos2，则△ABC是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

16、 解析：∵sinB·sinC＝ 又cosA＝cos［180°－（B＋C）］＝－cos（B＋C）＝－（cosBcosC－sinBsinC） ∴2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC， ∴cosBcosC＋sinBsinC＝1 ∴cos（B－C）＝1，∴B＝C， ∴△ABC是等腰三角形. 答案：A 二、解答题 1.设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋k e 2，＝e1＋3 e 2，＝2e1－e 2，若A、B、D三点共线，求k的值. 分析：由于A、B、D三点共线，因此存在实数λ，使＝λ，而＝－＝e 1－4e2，将、的e1、e2表达式代入上式，再由向量

17、相等的条件得到关于λ、k的方程组，便可求得k的值. 解：＝－＝（2 e 1－e2）－（e 1＋3e2）＝e1－4e2， ∵A、B、D三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，∴2 e 1＋ke2＝λ（e 1－4e2） 于是可得，解得k＝－8. 评述：此题解答关键是应用两个向量共线的充要条件，要注意两个向量共线和三点共线的区别和联系. 2.已知a、b是两个非零向量，当a＋tb（t∈R）的模取最小值时， （1）求t的值； （2）求证b⊥（a＋tb）. 分析：利用|a＋tb|2＝（a＋tb）2进行转换，可讨论有关|a＋tb|的最小值问题，若能算得b·（a＋tb）＝0，则证明了b⊥（a＋tb）.

18、 （1）解：设a与b的夹角为θ 则|a＋tb|2＝（a＋tb）2 ＝a2＋2a·tb＋t2b2 ＝|a|2＋2t|a||b|cosθ＋t2|b|2 ＝|b|2t2＋（2|a||b|cosθ）t＋|a|2 ＝|b|2（t＋ cosθ）2＋|a|2sin2θ ∴当t＝－cosθ＝－时，|a＋tb|有最小值. （2）证明：b·（a＋tb）＝b·（a－·b）＝a·b－·b·b＝a·b－a·b＝0 ∴b⊥（a＋t b）. 评述：对|a＋tb|变形，可以从两个角度进行思考，一是通过|a＋t b |2＝（a＋t b）2的数量积运算；二是通设坐标化思想，进行向量的坐标运算，从而达到求解求证

19、目的. 3.如图所示，OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形，又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示. 解：＝a－b ∵（a－b） ∴=b+（a－b）＝a＋b 又由＝a＋b，得 a＋b a＋b）－（a＋b）＝a－b 评述：由于a，b不共线，因此a，b构成平行四边形OADB所在平面的一组基底，用它们可以表示出这个平面内的任何向量，将所要用a，b表示的向量连同a，b设法放在一个三角形或平行四边形内，是解决此类问题的常见方法. 4.已知O为△ABC所在平面内一点，且满足 ． 求证：O点是△ABC的垂心 证明：设＝a，＝b，＝c，则＝c－b，＝a－c，＝b－a. ∵|

20、|2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2 ∴a2＋（c－b）2＝b2＋（a－c）2＝c2＋（b－a）2 即c·b＝a·c＝b·a， 故·＝（b－a）·c＝b·c－a·c＝0 ·＝（c－b）·a＝c·a－b·a＝0 ∴⊥，⊥， ∴点O是△ABC的垂心. 5.如图所示，圆O内两弦AB、CD垂直相交于P点，求证：. 证明：设M、N分别为圆O的两弦AB、CD的中点，连OM、ON，则OM⊥AB，ON⊥CD. ∵ 而AB⊥CD，∴四边形MPNO为矩形 ∴， ∴ 6.已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标.

21、解：设点D坐标（x，y），由AD是BC边上的高可得⊥，且B、D、C共线， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得 ∴点D坐标为（1，1），＝（－1，2） 7.已知a、b、c分别为△ABC三内角A、B、C所对的边，且2(sinA－sinB)，sinA－sinC，2（sinB－sinC）成等比数列. 求证：2b＝a＋c. 证明：要证2b＝a＋c，由正弦定理只要证： sinB－sinA＝sinC－sinB即可： 由已知可得：（sinA－sinC）2－4（sinA－sinB） （sinB－sinC）＝0，且sinA≠sinB，构造方程： （sinA－sinB）x2－（sinA－sinC）x＋（

22、sinB－sinC）＝0，且x＝1是方程的根 Δ＝（sinA－sinC）2－4（sinA－sinB）·（sinB－sinC）＝0，∴方程有两相等实根 由韦达定理可知：＝1 ∴sinB－sinC＝sinA－sinB，故结论得证. 8.设i，j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，证明△ABC是直角三角形，并求它的面积. 解：＝（3i＋4j）－（4i＋2j）＝－i＋2j 又i⊥j，∴i·j＝0 ∵·＝（4i＋2j）（－i＋2j）＝－4i2＋6i·j＋4j2＝0，∴⊥ ∴△ABC是直角三角形， ∴S＝|·||＝×2×＝5 9.已知△AB

23、C中三内角满足A＋C＝2B，，求cos的值. 解：由A＋C＝2B，可得B＝60°，A＋C＝120° 设＝α，则A－C＝2α， ∴A＝60°＋α，C＝60°－α， ∴ 将B=60°代入得 ∴2cos2α＋cosα－＝0 ∴（2cosα－）（2cosα＋3）＝0 ∴2cosα＋3＞0 ∴cosα＝ 即cos 10.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证： 证明：∵a2＝b2＋c2－2bccosA，，C＝π－（A＋B） ∴ 故原等式成立. 11.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c为最大边，若accosA＋bccosB＜4S，其中S为

24、△ABC的面积. 求证：△ABC为锐角三角形. 证明：由余弦定理及三角形面积公式accosA＋bccosB＜4S 即ac·＋bc·＜2absinC＜2ac ∴a2（b2＋c2－a2）＋b2（a2＋c2－b2）＜4a2b2 即（a2＋b2）c2＜a4＋2a2·b2＋b4＝（a2＋b2）2， ∴c2＜a2＋b2， ∵cosC＝＞0，∴C为锐角 又c为最大边，故C为最大角， ∴△ABC为锐角三角形. 12.在△ABC中，sinA＝，判断这个三角形的形状. 解：由正弦定理、余弦定理可得： ∴＝b＋c ∴b（a2－b2）＋c（a2－c2）＝bc（b＋c） ∴（b＋c）a2＝（b3＋c3）＋bc（b＋c）， ∴a2＝b2＋c2， ∴△ABC是直角三角形.