江西省2013年高考数学第二轮复习 专题一　常以客观题形式考查的几个问题第3讲　不等式、线性规划 文

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1、专题一　常以客观题形式考查的几个问题第3讲　不等式、线性规划 真题试做 1．(2012·天津高考，文4)已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为(　　)． A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 2．(2012·湖南高考，文7)设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论： ①＞；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)． 其中所有的正确结论的序号是(　　)． A．① B．①② C．②③ D．①②③ 3．(2012·浙江高考，文9)若正数x，y满足x＋3y＝

2、5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)． A． B． C．5 D．6 4．(2012·山东高考，文6)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是(　　)． A． B． C．[－1,6] D． 5．(2012·江西高考，文11)不等式＞0的解集是__________． 考向分析 通过高考试卷可分析出：在不等式中，主要热点是线性规划知识、均值不等式及解不等式，单纯对不等式的性质考查并不多．解不等式主要涉及一元二次不等式、简单的分式不等式、对数和指数不等式等，并且以一元二次不等式为主，重在考查等价转化能力和基本的解不

3、等式的方法；均值不等式的考查重在对代数式的转化过程及适用条件，等号成立条件的检验，常用来求最值或求恒成立问题中参数的取值范围；线性规划问题是高考的一个必考内容，主要还是强调用数形结合的方法来寻求最优解的过程，体现了数学知识的实际综合应用，不等式知识的考查以选择题、填空题为主，也蕴含在解答题中，题目难度为中低档，但考查很广泛，需引起重视． 热点例析 热点一　不等式的性质及应用 【例1】(1)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　)． A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b (2)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，

4、则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)． A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 规律方法 (1)弄清每一个不等式性质的条件和结论，注意条件的变化对结论的影响． (2)判断不等式是否成立时，常利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性等知识以及特殊值法． (3)应用基本不等式求最值时一定要注意基本不等式成立的条件，必要时需要对相关的式子进行变形、构造常数等以符合基本不等式应用的条件，此外还要特别注意等号成立的条件，以确保能否真正取得相应的最值． 变式训练1

5、 已知log2 a＋log2 b≥1，则3a＋9b的最小值为__________． 热点二　不等式的解法 【例2】已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}． (1)求a，b； (2)解不等式＞0(c为常数)． 规律方法 (1)解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解． (3)解含“f”的不等式，首先要

6、确定f(x)的单调性，然后根据单调性进行转化、求解． (4)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准，从而层次清晰地求解． 变式训练2 已知f(x)＝则f(x)＞－1的解集为(　　)． A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) 热点三　线性规划问题 【例3】(1)在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为，则t的值为(　　)． A．－或 B．－5或1 C．1 D． (2)已知平面直角

7、坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为(　　)． A．4 B．3 C．4 D．3 规律方法 1．线性规划问题的三种题型 一是求最值；二是求区域面积；三是知最优解或可行域确定参数的值或取值范围． 2．解答线性规划问题的步骤及应注意的问题 解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决． 变式训练3 不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则k＝_________

8、_． 思想渗透 1．分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略． 2．本部分内容中分类讨论常见题型 (1)由数学运算要求引起的分类讨论； (2)由参数的变化引起的分类讨论． 3．常见误区 利用均值不等式求最值容易忘记等号成立的条件． 设不等式组表示的平面区域为D．若指数函数y＝ax的图象上存在区域D内的点，则a的取值范围是(　　)． A．(1,3] B．[2,3] C．

9、(1,2] D．[3，＋∞) 解析：作出不等式组表示的平面区域D，如图中阴影部分所示． 由得交点A(2,9)． 对于y＝ax的图象，当0＜a＜1时，没有点在区域D内； 当a＞1时，y＝ax的图象恰好经过A点时，由a2＝9，得a＝3． 由题意知，需满足a2≤9，解得1＜a≤3． 答案：A 1．不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是(　　)． A．[－5,7] B．[－4,6] C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) D．(－∞，－4]∪[6，＋∞) 2．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0

10、)的最大值为12，则＋的最小值为(　　)． A． B． C． D．4 3．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为(　　)． A．4 650元 B．4 700元 C．4 900元 D．5 000元 4．(2012·江西九江模拟，文9)设二元一次不等

11、式组所表示的平面区域为M，则使函数y＝x(a＞0，a≠1)的图象经过区域M的实数a的取值范围是(　　)． A． B． C．[2,9] D．[，9] 5．设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是__________． 6．已知函数f(x)＝ax3－x2＋cx＋d(a，c，d∈R)满足f(0)＝0，f′(1)＝0，且f′(x)≥0在R上恒成立． (1)求a，c，d的值； (2)若h(x)＝x2－bx＋－，解不等式f′(x)＋h(x)＜0． 参考答案 命题调研·明晰考向 真题试做 1．A　解析：a＝21.2，b＝－0.8＝20.8，

12、 ∵21.2＞20.8＞1， ∴a＞b＞1，c＝2log52＝log54＜1． ∴c＜b＜a． 2．D　解析：①－＝， ∵a＞b＞1，c＜0，∴＞0． 即－＞0．故①正确． ②考察函数y＝xc(c＜0)，可知为单调减函数． 又∵a＞b＞1，∴ac＜bc．故②正确． ③∵a＞b＞1，c＜0，∴logb(a－c)＞0，loga(b－c)＞0， ∴＝． ∵＞1，＞1， ∴＞1，故③正确． 3．C　解析：∵x＋3y＝5xy，∴＋＝1． ∴3x＋4y＝(3x＋4y)×1＝(3x＋4y) ＝＋＋＋≥＋2＝5， 当且仅当＝，即x＝1，y＝时等号成立． 4．A　解析：作出可行域

13、如图所示． 目标函数z＝3x－y可转化为y＝3x－z，作l0：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值－，在B点处z取最大值6，故选A． 5．(－3,2)∪(3，＋∞)　解析：不等式＞0可化为(x－2)(x－3)(x＋3)＞0， 由穿根法(如图)得， 所求不等式的解集为(－3,2)∪(3，＋∞)． 精要例析·聚焦热点 热点例析 【例1】(1)B　解析：由a＝＜＜＝b，排除A，D， 又∵＜＝b，排除C，选B． (2)B　解析：由题意得平均每件产品生产准备费用为元． 仓储费用为元，得费用和为＋≥2＝20(元)． 当＝时，即x＝80时等号成立． 【变式

14、训练1】18　解析：∵3a＞0,9b＝32b＞0， ∴根据基本不等式得3a＋9b≥2＝． ∵log2a＋log2b≥1，∴有a＞0，b＞0，log2 ab≥1，∴ab≥2． 再由基本不等式得a＋2b≥2＝2≥2＝4． 当且仅当a＝2b＝2，即a＝2，b＝1时等号成立． ∴≥2＝18． ∴当a＝2，b＝1时，3a＋9b取得最小值18． 【例2】解：(1)由题知1，b为方程ax2－3x＋2＝0的两根，即解得 (2)不等式等价于(x－c)(x－2)＞0，当c＞2时，解集为{x|x＞c或x＜2}，当c＜2时，解集为{x|x＞2或x＜c}，当c＝2时，解集为{x|x≠2，x∈R}． 【

15、变式训练2】B　解析：当x＞0时，f(x)＝＞－1， ∴－2x＋1＞－x2，即x2－2x＋1＞0，解得x＞0且x≠1． 当x＜0时，f(x)＝＞－1，即－x＞1，解得x＜－1． 故x∈(－∞，－1)∪(0,1)∪(1，＋∞)，选B． 【例3】(1)C　解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示． 由解得交点B(t，t＋2)． 在y＝x＋2中，令x＝0得y＝2，即直线y＝x＋2与y轴的交点为C(0,2)． 由平面区域的面积S＝＝，得t2＋4t－5＝0，解得t＝1或t＝－5(不合题意，舍去)，故选C． (2)C　解析：z＝·＝(x，y)·(，1)＝x＋y． 由 画出可

16、行域，如图阴影部分所示． 作直线l0：y＝－x，平移直线l0至l1的位置时，z取得最大值，此时l1过点(，2)，故zmax＝×＋2＝4． 【变式训练3】0或－　解析：如图，在平面直角坐标系中画出对应的平面区域，要使不等式组表示的区域是一个直角三角形，应使其中的两条边界直线垂直，当直线y＝kx＋1与直线x＝0垂直，即在图中l1的位置，围成的区域是直角三角形AOB，这时k＝0；当直线y＝kx＋1与直线y＝2x垂直时，即在图中l2的位置时，围成的区域是直角三角形ACO，此时k＝－，故k的值等于0或－． 创新模拟·预测演练 1．D　解析：方法一：令y＝|x－5|＋|x＋3|， 则函数

17、图象为： 令y＝10，即|x－5|＋|x＋3|＝10，得x＝－4或x＝6， 结合图象可知|x－5|＋|x＋3|≥10的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)． 方法二：将x＝6代入可知适合，故排除C；将x＝0代入可知不适合，故排除A，B． 2．A　解析：不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示， 当直线ax＋by＝z(a＞0，b＞0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时， 目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值12， 即4a＋6b＝12,2a＋3b＝6，所以＋＝·＝＋≥＋2＝，当且仅当a＝b时等号成立，故选A． 3．C　解析：由题意设派用甲

18、型、乙型卡车的数量分别为x，y， 则利润z＝450x＋350y，得约束条件 画出可行域可知目标函数在直线x＋y＝12和直线2x＋y＝19的交点(7,5)处取得最大值． 故最大利润为450×7＋350×5＝4 900元． 4．B　解析：平面区域M如图中阴影部分所示． 易得A(2,10)，C(3,8)，B(1,9)．要使函数y＝x的图象经过区域M，则必有＞1．当函数图象过点B时，1＝9，即＝9，当函数图象过点C时，3＝8，即＝2．故实数a的取值范围为．故选B． 5．　解析：设2x＋y＝m，则y＝m－2x，代入4x2＋y2＋xy＝1，得6x2－3mx＋m2－1＝0，由Δ＝9m2－24

19、(m2－1)≥0，得m2≤，所以－≤m≤，所以2x＋y的最大值为． 6．解：(1)∵f(0)＝0，∴d＝0． ∵f′(x)＝ax2－x＋c，f′(1)＝0， ∴a＋c＝． ∵f′(x)≥0在R上恒成立，即ax2－x＋c≥0恒成立， ∴ax2－x＋－a≥0恒成立． 显然当a＝0时，上式不恒成立． ∴a≠0． ∴ 即即 解得a＝，c＝． ∴a，c，d的值分别为，，0． (2)∵a＝c＝， ∴f′(x)＝x2－x＋． f′(x)＋h(x)＜0， 即x2－x＋＋x2－bx＋－＜0， 即x2－x＋＜0， 即(x－b)＜0， 当b＞时，解集为； 当b＜时，解集为； 当b＝时，解集为．