广东省2013年高考数学第二轮复习 专题升级训练27 解答题专项训练(三角函数及解三角形) 理

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1、专题升级训练27　解答题专项训练(三角函数及解三角形) 1．已知f(x)＝m·n，其中m＝(sin ωx＋cos ωx，cos ωx)，n＝(cos ωx－sin ωx，2sin ωx)(ω＞0)，若f(x)图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于π. (1)求ω的取值范围； (2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a＝，S△ABC＝.当ω取最大值时，f(A)＝1，求b，c的值． 2．已知向量m＝，n＝.记f(x)＝m·n. (1)若f(x)＝，求cos的值； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，若f(A)

2、＝，试判断△ABC的形状． 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且sin Asin C＝. (1)求角B的大小； (2)若x∈[0，π)，求函数f(x)＝sin(x－B)＋sin x的值域． 4．已知锐角△ABC的三个内角为A，B，C，向量p＝(cos A－sin A,1＋sin A)，向量q＝(cos A＋sin A，2－2sin A)，且p⊥q. (1)求角A； (2)设AC＝，sin2A＋sin2B＝sin2C，求△ABC的面积． 5．已知A为锐角△ABC的一个内角，满足2sin2－cos 2A＝＋1. (1)求角A的大小．

3、 (2)若BC边上的中线长为3，求△ABC面积的最大值． 6．设函数f(x)＝sin＋2cos2－. (1)求f(x)的最小正周期． (2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈时，求函数y＝g(x)的最小值与相应自变量x的值． 7．已知函数f(x)＝(cos x＋sin x)(cos x－sin x)． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若0＜α＜，0＜β＜，且f＝，f＝，求sin(α－β)的值． 8．已知向量m＝(sin x，－1)，n＝(cos x,3)． (1)当m∥n时，求的值； (2)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B

4、，C的对边，c＝2asin(A＋B)，函数f(x)＝(m＋n)·m，求f的取值范围． 参考答案 1．解：(1)f(x)＝m·n＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin. ∵f(x)图象中相邻的对称轴间的距离不小于π， ∴≥π.∴≥π.∴0＜ω≤. (2)当ω＝时，f(x)＝2sin， ∴f(A)＝2sin＝1.∴sin＝. ∵0＜A＜π，∴＜A＋＜，A＝. 由S△ABC＝bcsin A＝，得bc＝2.① 又a2＝b2＋c2－2bccos A， ∴b2＋c2＋bc＝7.② 由①②，得b＝1，c＝2；或b＝2，c＝1. 2．解：(1)f(x)＝m·n＝sincos＋c

5、os2 ＝sin＋cos＋ ＝sin＋. ∵f(x)＝，∴sin＝1. ∴cos＝1－2sin2＝－1， cos＝－cos＝1. (2)∵(2a－c)cos B＝bcos C， 由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C. ∴2sin Acos B＝sin(B＋C)． ∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0. ∴cos B＝. 又∵B∈(0，π)，∴B＝. 由f(x)＝sin＋，且f(A)＝， ∴sin＝，＋＝或＋＝，A＝或A＝π(舍去)

6、， ∴A＝，C＝，∴△ABC为正三角形． 3．解：(1)因为a，b，c成等比数列，则b2＝ac. 由正弦定理得sin2B＝sin Asin C. 又sin Asin C＝，所以sin2B＝. 因为sin B＞0，则sin B＝. 因为B∈(0，π)，所以B＝或. 又b2＝ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，故B＝. (2)因为B＝，则f(x)＝sin＋sin x＝sin xcos－cos xsin＋sin x ＝sin x－cos x＝sin. 因为x∈[0，π)，则－≤x－＜， 所以sin∈. 故函数f(x)的值域是. 4．解：(1)∵p⊥q， ∴(

7、cos A＋sin A)(cos A－sin A)＋(2－2sin A)(1＋sin A)＝0， ∴sin2A＝. 而A为锐角，∴sin A＝A＝. (2)由正弦定理得a2＋b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，且C＝. ∴BC＝AC×tan＝×＝3. ∴S△ABC＝AC·BC＝××3＝. 5．解：(1)由2sin2－cos 2A＝1－cos－cos 2A ＝1＋2sin＝1＋， 所以sin＝. ∵A∈，2A－∈， ∴2A－＝，得A＝. (2)由题意得|＋|＝6， 设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c， 则b2＋c2＋2bccos A＝36. 又b2＋c

8、2≥2bc，∴bc≤12. ∴S△ABC＝bcsin A＝bc≤3，等号当b＝c＝2时取到． ∴△ABC面积的最大值为3. 6．解：(1)f(x)＝sin＋2cos2－ ＝sincos－cossin＋ ＝sin－cos＋cos ＝sin＋cos＝sin， ∴T＝＝＝12. (2)方法一：由题意知： g(x)＝f(2－x)＝sin ＝sin＝－sin. ∵x∈，∴－≤－≤. ∴g(x)min＝－，此时－＝，即x＝. 方法二：可以求x∈关于x＝1的对称区间x∈上函数f(x)的最值． 7．解：(1)∵f(x)＝(cos x＋sin x)(cos x－sin x) ＝co

9、s2x－sin2x＝cos 2x， ∴函数f(x)的最小正周期为T＝＝π. (2)由(1)得f(x)＝cos 2x. ∵f＝，f＝， ∴cos α＝，cos β＝. ∵0＜α＜，0＜β＜， ∴sin α＝＝，sin β＝＝. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝×－×＝. 8．解：(1)由m∥n，可得3sin x＝－cos x，于是tan x＝－. ∴＝＝＝－. (2)在△ABC中，A＋B＝π－C，于是sin(A＋B)＝sin C， 由正弦定理知：sin C＝2sin A·sin C， ∴sin A＝，可解得A＝. 又△ABC为锐角三角形，于是＜B＜. ∵f(x)＝(m＋n)·m＝(sin x＋cos x,2)·(sin x，－1) ＝sin2x＋sin xcos x－2＝＋sin 2x－2 ＝sin－， ∴f＝sin－＝sin 2B－. 由＜B＜，得＜2B＜π， ∴0＜sin 2B≤1，得－＜sin 2B－≤－， 即f∈.