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1、
锁定108分强化训练(五)
数学(理科)
注意事项:
1. 本卷选择题40分、填空题30分、解答题38分.总分:108分.
2. 答题前考生务必将学校、班级、姓名、学号写在密封线内.
一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.
1. 设i是虚数单位,z=1+i,为复数z的共轭复数,则z·+||-1等于( )
A. +1 B. +3 C. 2-1 D. 2+1
2. 已知全集U=R,集合A={x|00},那么A∩∁UB等于( )
A. {x|0
2、0
3、示的程序框图,若输入n的值为4,则输出的z的值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
(第6题) (第7题)
7. 某四棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该四棱锥的体积是( )
A. 27cm3 B. 9cm3 C. 3cm3 D. 3 cm3
8. 定义空间两个向量的一种运算:ab=|a|·|b|sin,现给出下列结论:①ab=ba;②λ(ab)=(λa)b;③(a+b)c=(ac)+(bc);④若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=.其中正确的是( )
A. ① B.
4、 ①④ C. ①②④ D. ①③
二、 填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,共30分.
(一) 必做题(11~13题)
9. 函数y=的定义域为 .
10.
11. 若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值和最小值之和为 .
12. 若双曲线-=1的渐近线方程是y=±x,则双曲线的离心率等于 .
13. 已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为 .
(二) 选做题(第14~15题,考生只能选做一题)
14. (坐标系与参数方
5、程选做题)已知曲线C的极坐标为ρ2=2(ρ>0,0≤θ<2π),设曲线C在点处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则在平面直角坐标方程中,直线l的方程为 .
15. (几何证明选讲选做题)如图,在正方形ABCD的边BC,CD上取点H,M,且==,AH与BM交于点P,若PH=,则AP= .
(第15题)
三、 解答题:本大题共3小题,共38分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分12分)在锐角三角形ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=5,b=2,△ABC的面积S△ABC=3.
(1)
6、求cos(A+B)的值;
(2) 设函数f(x)=sin,求f的值.
17. (本小题满分12分)甲、乙两名同学参加某种选拔测试,在相同测试条件下,两人5次测试的成绩(单位:分)如下表:
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
60
63
75
80
87
乙
55
66
77
78
89
(1) 请计算甲、乙两人成绩的平均数和方差,并据此判断选派谁参赛更好;
(2) 若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析,设抽到的两个成绩中,80分以上的个数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.
18. (本小题满分14分)如图,已知点C
7、是圆心为O,半径为1的半圆弧上从点A数起的第一个三等分点,AB是圆O的直径, CD=1,且CD⊥平面ABC,E是AD的中点.
(1) 求证:AC⊥BD;
(2) 求点C到平面ABD的距离;
(3) 求二面角O-EC-B的余弦值.
(第18题)
1. A 【解析】 z·+||-1=(1+i)(1-i)+-1=+1.
2. B 【解析】 因为B={x|x>2或x<-2},所以∁UB={x|-2≤x≤2}, 所以A∩∁UB={x|0
8、{an}中,S11====44.
5. A 【解析】 (a-b)a2<0Þa-b<0Þa,(λa)⊕b=|λa|·|b|·sin,当λ<0时,
9、λ(a⊕b)=(λa)⊕b不成立;
③当a,b,c不共面时,(a+b)⊕c=(a⊕c)+(b⊕c)不成立,例如取a,b,c为两两垂直的单位向量,易得(a+b)⊕c=,(a⊕c)+(b⊕c)=2;
④由a⊕b=|a|·|b|sin,a·b=|a|·|b|cos,可知(a⊕b)2+(a·b)2=|a|2·|b|2,(a⊕b)2=|a|2·|b|2-(a·b)2=(+)(+)-=,故a⊕b=|x1y2-x2y1|恒成立.
9. (-∞,1]∪[2,+∞) 【解析】 由题意得x2-3x+2≥0,解得x≤1或x≥2.
10. 24 【解析】
11. 6 【解析】 作图可知
10、,三个“角点”分别是A(1,0),B(2,0),C(1,1),可知zmax=4,zmin=2,zmax+zmin=6.
12. 【解析】 在双曲线中,e==,因为=,故所求的双曲线的离心率为 .
13. 33 【解析】 若从三个集合中选出的是不同的三个数,则可以组成5=30个不同的点,若在B,C中选取的元素相同都是1,则可以确定3个不同的点,故共有33个不同的点.
14. x+y=2 【解析】 曲线C的方程为x2+y2=2,其在点即处的切线为x+y=2.
15. 3 【解析】 在正方形ABCD中,因为==,所以==,所以==.又∠ABH=∠C=90°,所以△ABH∽△BCM,∠PBH
11、=∠BAH.又因为∠BAH+∠BHA=90°,所以∠PBH+∠BHP=90°,即BP⊥AH.在Rt△ABH中,设BH=k,则AB=3k, AH=k.所以AB2=AP·AH,BH2=PH·AH,所以===.所以AP=9PH,所以AP=3.
16. (1) 由S△ABC=3,得absin C=3,
即×5×2sin C=3,所以sin C=.
因为△ABC是锐角三角形,
所以cos C===.
又因为在△ABC中,A+B=π-C,
所以cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C=-.
(2) 由(1)知sin C=,cos C=,
所以sin 2C=2sin Ccos C=2
12、××=,
cos 2C=2cos2C-1=2×-1=.
所以f=sin=sincos 2C+cossin 2C
=×+×=.
17. (1) =×(60+63+75+80+87)=73,
=×(55+66+77+78+89)=73.
=×(132+102+22+72+142)=103.6,
=×(182+72+42+52+162)=134.
因为=,<,所以选派甲参赛更好.
(2) 随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)=·=,
P(ξ=1)=2··=,
P(ξ=2)=·=.
随机变量ξ的分布列如下表:
ξ
0
1
2
P
13、
所以E(ξ)=0×+1×+2×=.
18. (1) 因为CD⊥平面ABC,ACÌ平面ABC,
所以CD⊥AC.
因为点C在圆O上,AB是圆O的直径,所以AC⊥BC.
因为AC⊥CD,AC⊥BC,CD∩BC=C,
所以AC⊥平面BCD.
又因为BDÌ平面BCD,所以AC⊥BD.
(2) 因为点C是圆心为O,半径为1的半圆弧上从点A数起的第一个三等分点,所以∠AOC=60°.
又OA=OC=1,所以AC=1.
因为AB是圆O的直径,所以AC⊥BC.
于是BC===.
因为CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC,CD⊥BC.
所以AD===,
BD===2.
所以AB=BD
14、,
又因为点E是AD的中点,所以BE⊥AD.
因此BE===.
所以S△ABC=AC·BC=×1×=,
S△ABD=AD·BE=××=.
设点C到平面ABD的距离为h,
则有=,即S△ABD·h=S△ABC·CD,即h=×1,所以h=.
(第18题)
(3) 以点C为坐标原点,,,分别为x,y,z轴的正向,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,则A(1,0,0),B(0,,0),C(0,0,0),D(0,0,1),E,O,所以=(0,,0),=,=.
设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),
则即
取x=1,得n=(1,0,-1).
设平面OCE的法向量为m=(p,q,r),
则即
取p=1,得m=.
所以cos===.
因此二面角O-EC-B的余弦值为.
广东2015年高三理科二轮复习 锁定前三大题108分【强化训练五】
