2021-2022学年北师大新版八年级上册数学《第1章 勾股定理》单元测试卷【含答案】

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1、2021-2022学年北师大新版八年级上册数学《第1章 勾股定理》单元测试卷 一．选择题 1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　） A．2，4，5 B．6，8，11 C．5，12，12 D．1，1， 2．在下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边边长的是（　　） A．3，4，6 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 3．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处，这棵大树在折断前的高度为（　　）m． A．3 B．4 C．5 D．8 4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向

2、外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（　　） A．20 B．12 C．2 D．2 5．下列数据能作为直角三角形三边长的是（　　） A．6，7，8 B．1，，2 C．5，12，14 D．7，24，26 6．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．AB＝ B．∠BAC＝90° C．S△ABC＝10 D．点A到直线BC的距离是2 7．下面是证明勾股定理的四个图形，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，

3、此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（　　） A．14 B．13 C．14 D．14 9．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（　　） A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形 B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形 C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形 D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形 10．小明想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆上的绳子刚好垂到地面，当她把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端距离地面1米，则旗杆的高是（　　） A．8米

4、 B．10米 C．12米 D．13米 二．填空题 11．如图由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是　 　m． 12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝30cm2，则AB＝　 　． 13．附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41；… 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：　 　． 14．观察下列式子： 当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5 n＝3时，a＝2

5、×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10 n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17… 根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　． 15．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面　 　尺． 16．由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a﹣b）2与4个直角三角形的面积2

6、ab的和证明了勾股定理a2+b2＝c2，还可以用来证明结论：若a＞0、b＞0且a2+b2为定值，则当a　 　b时，ab取得最大值． 17．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若a+b＝，ab＝2，则小正方形的面积为　 　． 18．在△ABC中，AB＝20，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则△ABC的周长为　 　． 19．若8，a，17是一组勾股数，则a＝　 　． 20．如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC﹣∠DAE＝　 　°（点A，B，C，D，E是网格线交点）．

7、 三．解答题 21．如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷，若绳子的长度为5.5米，固定点C到帐篷支撑杆底部B的距离是4.5米，现有一根高为3.2米的竿，它能否做帐篷的支撑竿，请说明理由． 22．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2． （1）判断△ABC的形状并说明理由； （2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长． 23．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，

8、较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，所以4×ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）试用勾股定理解决以下问题： 如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为　 　． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段． 24．

9、如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km．要从B修一条公路BD直达AC．已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？ 25．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形． （1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形　 　常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为　 　（请按从小到大排列）； （3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90

10、°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积． 26．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所知道的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　； （2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE，连接AD、DC，若∠DCB＝30°，试证明；DC2+BC2＝AC2．（即四边形ABCD是勾股四边形） 27．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的

11、正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理． 探索研究： （1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了旋转，得到图3，请利用图3证明勾股定理； 数学思考： （2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）． 答案与试题解析 一．选择题 1．解：A、∵22+42＝20≠52，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵62+82＝100≠112，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵52+122＝169≠122，∴不能构成直角三角形，故本选项

12、不符合题意； D、∵12+12＝2＝（）2，∴能够构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．解：A、32+42≠62，故A符合题意； B、72+242＝252，故B不符合题意； C、62+82＝102，故C不符合题意； D、92+122＝152，故D不符合题意． 故选：A． 3．解：如图所示： ∵△ABC是直角三角形，AB＝3m，AC＝4m， ∴BC＝＝5（m）， ∴这棵树原高：3+5＝8（m）， 故选：D． 4．解：由勾股定理得，AC2＝AB2﹣BC2＝16﹣4＝12， 则S2＝AC2＝12， 故选：B． 5．解：A、62+72≠82，根据勾股定

13、理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意； B、12+（）2＝22，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意； C、122+52≠142，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意； D、72+242≠262，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意； 故选：B． 6．解：由题意可得， AB＝＝2，故选项A正确； AC＝＝， BC＝＝5， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，故选项B正确； ∴S△ABC＝＝5，故选项C错误； 作AD⊥BC于点D， 则＝5， 即＝5， 解得，AD＝2

14、， 即点A到直线BC的距离是2，故选项D正确； 故选：C． 7．解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 8．解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时， 小正方形的边长＝24﹣10＝14， ∴EF＝＝14． 故选：D． 9．解：A、∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确； B、c2＝b2﹣a2，即a2+c2＝b2，那么△ABC是直

15、角三角形且∠B＝90，说法正确； C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确； D、a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，但是32+42＝52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误． 故选：D． 10．解：如图，已知AB＝AC，CD⊥BD，CH⊥AB，CD＝1米，CH＝5米，设AB＝AC＝x米． 在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2， ∴x2＝52+（x﹣1）2， ∴x＝13， ∴AB＝13（米）， 故选：D． 二．填空题 11．解：由题意得BC＝8m，AC＝6m， 在直角三角形

16、ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝10（米）． 所以大树的高度是10+6＝16（米）． 故16． 12．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝AC•BC＝30cm2， ∴AC＝5cm， 根据勾股定理得：AB＝＝13cm． 故13cm． 13．解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2， 故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为一， 故设第二个数为x，则第三个数为x+1， 根据勾股定理得：112+x2＝（x+1）2， 解得x＝60， 则得第5组数是：11、60、61． 故11、60、61． 14．解：∵当n＝2时，a＝2×2

17、＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5 n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10 n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17… ∴勾股数a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1． 故2n，n2﹣1，n2+1． 15．解：设折断处离地面x尺，根据题意可得： x2+32＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.55， 答：折断处离地面4.55尺． 故4.55． 16．解：如图，作斜边c上高h， ∵（a﹣b）2≥0， ∴a2+b2﹣2ab≥0， 又∵a2+b2＝c2，a2+b2为定值， ∴ab≤， ∴ab最大值为， ∵a，b为直角

18、边的直角三角形面积＝a•b＝c•h， ∴＝c•h， ∴h＝， ∵等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半， ∴当a＝b时，h＝， 故＝． 17．解：观察图形可知，小正方形的边长＝a﹣b， ∵a+b＝，ab＝2， ∴小正方形的面积＝（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝15﹣8＝7． 故7． 18．解：如图1，△ABC中，AB＝20，AC＝13，BC边上高AD＝12， 在Rt△ABD中AB＝20，AD＝12， 由勾股定理得，BD＝＝16， 在Rt△ADC中AC＝13，AD＝12， 由勾股定理得，DC＝＝5， 则BC的长为BD+DC＝9+16＝21， △ABC的周长为：1

19、3+20+21＝54， 如图2，同（1）的作法相同，BC＝11， △ABC的周长为：13+20+11＝44， 故44或54． 19．解：①a为最长边，a＝＝，不是正整数，不符合题意； ②17为最长边，a＝＝15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意． 故15． 20．解：如图，连接CG、AG， 由勾股定理得：AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10， ∴AC2+AG2＝CG2， ∴∠CAG＝90°， ∴△CAG是等腰直角三角形， ∴∠ACG＝45°， ∵CF∥AB， ∴∠ACF＝∠BAC， 在△CFG和△ADE中， ∵， ∴△CFG≌

20、△ADE（SAS）， ∴∠FCG＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°， 故45． 三．解答题 21．解：∵△ABC中，AC＝5.5米，BC＝4.5米，AB＝3.2米； ∴AC2＝30.25，BC2＝20.25，AB2＝10.24； ∵30.25≠20.25+10.24， ∴不能做帐篷的支撑竿． 22．解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下： 连接CE，如图， ∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴CE＝BE， ∵BE2﹣EA2＝AC2， ∴CE2﹣EA2＝AC2， ∴EA2+AC2＝CE2， ∴△ACE是直角三角形，即∠A＝

21、90°， ∴△ABC是直角三角形； （2）∵DE⊥BC，DE＝3，BD＝4， ∴BE＝＝5＝CE， ∴AC2＝EC2﹣AE2＝25﹣EA2， ∵D是BC的中点，BD＝4， ∴BC＝2BD＝8， 在Rt△BAC中：BC2﹣BA2＝64﹣（5+EA）2＝AC2， ∴64﹣（5+AE）2＝25﹣EA2，解得AE＝． 23．解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2， 也利用表示为ab+c2+ab， ∴a2+ab+b2＝ab+c2+ab， 即a2+b2＝c2； （2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4， ∴斜边为5， ∵设斜边上的高为h，直角三角

22、形的面积为×3×4＝×5×h， ∴h＝， 故答案为； （3）∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2， ∴边长为a﹣2b， 由此可画出的图形为： 24．解：∵BC2+AB2＝122+52＝169， AC2＝132＝169， ∴BC2+AB2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， 当BD⊥AC时BD最短，造价最低 ∵S△ABC＝AB•BC＝AC•BD， ∴BD＝＝km ×26000＝元． 答：最低造价为元． 25．解：（1）∵22+42＝4×（）2＝20， ∴△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形． 故是； （2）∵Rt△ABC是常态三角

23、形， ∴设两直角边长为：a，b，斜边长为：c， 则a2+b2＝c2，a2+c2＝4b2， 则2a2＝3b2， 故a：b＝：， ∴设a＝x，b＝x， 则c＝x， ∴此三角形的三边长之比为：：：． 故：：； （3）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，△BCD是常态三角形， ∴当AD＝BD＝DC，CD2+BD2＝4×62时， 解得：BD＝DC＝6， 则AB＝12， 故AC＝＝6， 则△ABC的面积为：×6×6＝． 当AD＝BD＝DC，CD2+BC2＝4×BD2时， 解得：BD＝DC＝2， 则AB＝4， 故AC＝2， 则△ABC的面积为

24、：×6×2＝6． 故△ABC的面积为或6． 26．（1）解：∵直角梯形和矩形的角都为直角，所以它们一定为勾股四边形． （2）证明：连接CE，∵BC＝BE，∠CBE＝60° ∴△CBE为等边三角形， ∴∠BCE＝60° 又∵∠DCB＝30°∴∠DCE＝90° ∴△DCE为直角三角形 ∴DE2＝DC2+CE2 ∵AC＝DE，CE＝BC ∴DC2+BC2＝AC2 27．解：（1）如图3所示 ∵图形的面积表示为a2+b2+2×ab＝a2+b2+ab， 图形的面积也可表示为c2+2×ab＝c2+ab； ∴a2+b2+ab＝c2+ab， ∴a2+b2＝c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． （2））如图4所示： ∵大正方形的面积表示为（a+b）2； 大正方形的面积也可表示为c2+4×ab ∴（a+b）2＝c2+4×ab， a2+b2+2ab＝c2+2ab， ∴a2+b2＝c2； 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．