山东省2013年高考数学第二轮复习 专题二 函数与导数第1讲 函数图象与性质 文

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1、专题二　函数与导数第1讲　函数图象与性质 真题试做 1．(2012·山东高考，文3)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)． A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2] 2．(2012·天津高考，文6)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为(　　)． A．y＝cos 2x，x∈R B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0 C．y＝，x∈R D．y＝x3＋1，x∈R 3．(2012·山东高考，文10)函数y＝的图象大致为(　　)． 4．(2012·四川高考

2、，文4)函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　)． 5．(2012·湖北高考，文6)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)． 6．(2012·安徽高考，文13)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝__________. 考向分析 高考对函数图象与性质的考查主要体现在函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等方面．题型多以选择题、填空题为主，一般属中档题．函数图象考查比较灵活，涉及知识点较多，且每年均有创新，试题考查角度有两个方面，一是函数解析式与函数图象的对应

3、关系；二是利用图象研究函数性质、方程及不等式的解等，综合性较强，望同学们加强训练． 热点例析 热点一　函数及其表示 【例1】(1)函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是(　　)． A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) (2)已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于(　　)． A． B． C．2 D．0 规律方法 1．根据具体函数y＝f(x)求定义域时，只要构建使解析式有意义的不等式(组)求解即可．

4、 2．根据抽象函数求定义域时： (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 3．求f(g(x))类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．特别地，对具有周期性的函数求值要用好其周期性． 变式训练1 已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为__________． 热点二　函数图象及其应用 【例2】(1)函数y＝的图象与函数

5、y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　)． A．2 B．4 C．6 D．8 (2)若f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为(　　)． A．(1，＋∞) B．[4,8) C．(4,8) D．(1,8) 规律方法 (1)作函数图象的基本思想方法大致有三种：①通过函数图象变换利用已知函数图象作图；②对函数解析式进行恒等变换，转化成已知方程对应的曲线；③通过研究函数的性质明确函数图象的位置和形状． (2)已知函数解析式选择其对应的图象时，

6、一般是通过研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质以及图象经过的特殊点等来获得相应的图象特征，然后对照图象特征选择正确的图象． (3)研究两函数交点的横坐标或纵坐标之和，常利用函数的对称性，如中心对称或轴对称． 变式训练2 设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f(2 011)＋f(2 012)＝(　　)． A．3 B．2 C．1 D．0 热点三　函数性质的综合应用 【例3－1】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)． (1)求f(2 012)的值； (2)求证

7、：函数f(x)的图象关于直线x＝2对称； (3)若f(x)在区间[0,2]上是增函数，试比较f(－25)，f(11)，f(80)的大小； (4)若f(x)满足(3)中的条件，且f(2)＝1，求函数f(x)的值域． 【例3－2】已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 规律方法 (1)求解这类涉及函数性质的题目时，既要充分利用题目的已知条件进行直接的推理、判断，又要合理地运用函数性质之间的联系，结合已知的结论进行间接地判断，若能画出图象的简单草图，“看图说话”，往往起到引领思维方向的作用． (2)

8、判断函数的单调性的一般规律：对于选择、填空题，若能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式、三角函数式等较复杂的用导数法；对于抽象函数一般用定义法． 变式训练3 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，，则 ①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈[3,4]时，. 其中所有正确命题的序号是__________．

9、 思想渗透 数形结合思想在函数中的应用 数形结合思想能把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或利用数量关系来研究图形性质，是一种重要的数学方法． 数形结合思想在解决函数问题时常有以下几种类型： (1)利用函数图象求参数范围； (2)利用函数图象研究方程根的范围； (3)利用一些代数式的几何意义转化为求函数最值问题； (4)利用函数图象变化研究其性质，如单调性、奇偶性、最值、对称性等． 【典型例题】若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围． 解：原方程可化为－(x－2)2＋1＝m(0＜x＜3)， 设y1＝－(x

10、－2)2＋1(0＜x＜3)，y2＝m. 在同一坐标系中画出它们的图象(如图)． 由原方程在(0,3)内有唯一解，知y1与y2的图象只有一个公共点，可见m的取值范围是－3＜m≤0或m＝1. 又－x2＋3x－m＞0在x∈(0,3)内恒成立，∴m≤0. ∴m的取值范围为－3＜m≤0. 1．函数y＝的定义域是(　　)． A． B． C．(1，＋∞) D．∪(1，＋∞) 2．设函数若f(m)＞f(－m)，则m的取值范围是(　　)． A．(－1,0)∪(0,1)

11、 B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 3．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则g(x)＝ax＋b的图象是(　　)． 4．(2012·福建高考，文9)设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为(　　)． A．1 B．0 C．－1 D．π 5．对于函数f(x)＝acos x＋bx2＋c，其中a，b，c∈R，适当地选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果只可能是(　　)． A．4

12、和6 B．3和－3 C．2和4 D．1和1 6．若定义在R上的二次函数f(x)＝ax2－4ax＋b在区间[0,2]上是增函数，且f(m)≥f(0)，则实数m的取值范围是(　　)． A．0≤m≤4 B．0≤m≤2 C．m≤0 D．m≤0或m≥4 7．(2012·山东潍坊一模，16)已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题： ①f(2)＝0； ②直线x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴； ③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；

13、 ④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8. 以上命题中所有正确命题的序号为__________． 8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)＝ (1)分别求a，b，c，d的值； (2)画出f(x)的简图并写出其单调区间． 参考答案 命题调研·明晰考向 真题试做 1．B　解析：由得 所以定义域为(－1,0)∪(0,2]． 2．B　解析：对于A，y＝cos 2x是偶函数，但在区间内是减函数，在区间内是增函数，不满足题意． 对于B，log2|－x|＝log2|x|，是偶函数，当x∈(1,2)时，y＝log2x是增函数，满足题意．

14、 对于C，f(－x)＝＝＝－f(x)， ∴y＝是奇函数，不满足题意． 对于D，y＝x3＋1是非奇非偶函数，不满足题意． 3．D　解析：令f(x)＝，则f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而f(－x)＝＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数．又因为当x∈时，cos 6x＞0,2x－2－x＞0，即f(x)＞0，而f(x)＝0有无数个根，所以D正确． 4．C　解析：当a＞1时，y＝ax是增函数，－a＜－1，则函数y＝ax－a的图象与y轴的交点在x轴下方，故选项A不正确；y＝ax－a的图象与x轴的交点是(1,0)，故选项B不正确；当0＜a＜1时，y＝ax是减函数，y＝ax－a的图象与

15、x轴的交点是(1,0)，故选项C正确；若0＜a＜1，则－1＜－a＜0，y＝ax－a的图象与y轴的交点在x轴上方，故选项D不正确． 5．B　解析：y＝f(x)y＝f(－x)y＝f[－(x－2)]＝f(2－x)y＝－f(2－x)，故选B. 6．－6　解析：f(x)＝|2x＋a|＝ ∵函数f(x)的增区间是[3，＋∞)， ∴－＝3，即a＝－6. 精要例析·聚焦热点 热点例析 【例1】(1)C　解析：由得x＞－1且x≠1，故选C. (2)C　解析：f(x)＝ ∵0＜1，∴f(0)＝20＋1＝2. ∵f(0)＝2≥1，∴f(f(0))＝f(2)＝22＋2a＝4a， ∴a＝2，故选C

16、. 【变式训练1】－　解析：(1)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1， 由f(1－a)＝f(1＋a)得，2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a. 解得a＝－(舍去)． (2)当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1， 由f(1－a)＝f(1＋a)得，－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a， 解得a＝－. 【例2】(1)D　解析：函数y＝的图象关于点(1,0)对称，函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象也关于点(1,0)对称． 在同一个坐标系中，作出两函数图象． 如图： 由图知两函数在[－2,4]上共有8个交点，且这8个交点两两关于(1,0)对称，即x1＋x2＋x3＋x4＋x

17、5＋x6＋x7＋x8＝8. (2)B　解析：函数f(x)在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f(x)的图象在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点， 即解得a∈[4,8)，故选B. 【变式训练2】A　解析：因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 011)＋f(2 012)＝f(670×3＋1)＋f(671×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图象可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2 011)＋f(2 012)＝1＋2＝3. 【例3－1】(1)解：∵f(x－4)＝－f(x)， ∴f(x)＝－f(x－4)＝－{－f[(x－4)－4]}＝f

18、(x－8)， 知函数f(x)的周期为T＝8， ∴f(2 012)＝f(251×8＋4)＝f(4)＝－f(4－4)＝－f(0)． 又f(x)为定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0，故f(2 012)＝0. (2)证明：∵f(x)＝－f(x－4)， ∴f(x＋2)＝－f[(x＋2)－4]＝－f(x－2)＝f(2－x)， 知函数f(x)的图象关于直线x＝2对称． (3)解：由(1)知f(x)为以8为周期的周期函数， 所以f(－25)＝f[(－3)×8－1]＝f(－1)， f(11)＝f(8＋3)＝f(3)＝－f(3－4) ＝－f(－1)＝f(1)， f(80)＝f(10×8＋

19、0)＝f(0)． 又f(x)在[0,2]上是增函数，且f(x)在R上为奇函数， 所以f(x)在[－2,2]上为增函数，则有f(－1)＜f(0)＜f(1)． 即f(－25)＜f(80)＜f(11)． (4)解：由(3)知f(x)在[－2,2]上为增函数，当x∈[－2,2]时，f(－2)≤f(x)≤f(2)， 又f(2)＝1，f(－2)＝－f(2)＝－1，∴－1≤f(x)≤1， 而f(x)的图象关于直线x＝2对称， 故在[2,6]上的值域亦为[－1,1]，根据周期性知x∈R时－1≤f(x)≤1，故值域为[－1,1]． 【例3－2】解：(1)∵f(x)为奇函数，由f(－1)＝－f(1

20、)， 得(－1)2－m＝－(－12＋2)，∴m＝2. (2)∵f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增， ∴得1＜a≤3. 【变式训练3】①②④　解析：在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确； 由于f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(1－x)，结合f(x＋1)＝f(x－1)得f(1＋x)＝f(1－x)， 故f(x)的图象关于x＝1对称，而当x∈[0,1]时，f(x)＝＝2x－1单调递增，所以f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确； 由②知，f(x)在一个周期区间[0,2]上的最大值

21、为f(1)＝1，最小值为f(0)＝f(2)＝， 所以函数f(x)的最大值为1，最小值为，故③不正确； 设x∈[3,4]，则x－4∈[－1,0]，4－x∈[0,1]， 于是f(4－x)＝＝， 而由函数f(x)的周期为2和函数f(x)为偶函数知f(4－x)＝f(－x)＝f(x)， 从而当x∈[3,4]时，f(x)＝，故④正确． 创新模拟·预测演练 1．D　解析：由∴x＞且x≠1. 2．D　解析：当m＞0时，，∴＞m，∴0＜m＜1. 当m＜0时，log2(－m)＞，∴－＜－m，∴m＜－1. ∴m的取值范围是m＜－1或0＜m＜1. 3．A　解析：由题图知0＜a＜1，b＜－1，故选

22、A. 4．B　解析：∵g(π)＝0，∴f(g(π))＝f(0)＝0. 5．D　解析：∵f(1)＝acos 1＋b＋c，f(－1)＝acos 1＋b＋c， ∴f(1)＝f(－1)，只可能D正确． 6．A　解析：∵二次函数f(x)的对称轴方程是x＝2， 又∵二次函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，∴a＜0. 由f(m)≥f(0)，得|m－2|≤|2－0|， ∴0≤m≤4. 7．①②④　解析：(1)令x＝－2，则f(2)＝f(－2)＋f(2)， ∵函数f(x)为偶函数，∴f(2)＝0，①正确． (2)∵f(2)＝0，∴f(x＋4)＝f(x)，函数周期为T＝4. 又∵函数f(

23、x)为偶函数，有一条对称轴为x＝0， ∴x＝－4是函数f(x)的一条对称轴，②正确． (3)∵函数f(x)在[0,2]上单调递减，周期为4， ∴函数f(x)在区间[8,10]的单调性同区间[0,2]一样为单调递减，故③不正确． (4)函数f(x)有一条对称轴x＝－4，因在[－6，－2]有两根x1，x2，则x1＋x2＝－8，故④正确． 故为①②④. 8．解：(1)y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，得a＝0， 设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)－3＝x2＋2x－3. 而f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)． 所以当x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋3， 故b＝－1，c＝－2，d＝3. (2)简图如下： 由图象可得：f(x)的单调减区间为(－1,1)，单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．