山东省2013年高考数学第二轮复习 专题七 概率与统计第2讲 概率、统计与统计案例 理

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1、专题七　概率与统计第2讲　概率、统计与统计案例 真题试做 1．(2012·山东高考，理4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为(　　)． A．7 B．9 C．10 D．15 2．(2012·陕西高考，理6)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙

2、两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则(　　)． A．＜，m甲＞m乙 B．＜，m甲＜m乙 C．＞，m甲＞m乙 D．＞，m甲＜m乙 3．(2012·广东高考，理7)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是(　　)． A． B． C． D． 4．(2012·湖北高考，理20)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表： 降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于3

3、00,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求： (1)工期延误天数Y的均值与方差； (2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率． 考向分析 概率部分主要考查了概率的概念、条件概率、互斥事件的概率加法公式、对立事件的求法，以及古典概型与几何概型的计算，均属容易题．统计部分选择、填空都是独立考查本节知识，解答题均与概率的分布列综合．预测下一步概率部分会更加注重实际问题背景，考查分析、推理能力，统计部分在直方图、茎叶图、相关性部分都可单独命题，且多为一个小题，解答题仍会与分布列结合． 热点例析 热点一　随机事件的概率 【例1】(2012·江西高考，

4、理18)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)． (1)求V＝0的概率； (2)求V的分布列及数学期望E(V)． 规律方法 高考中，概率解答题一般有两大方向．一、以频率分布直方图为载体，考查统计学中常见的数据特征：如平均数、中位数、频数、频率等或古典概型；二、以应用题为载体，考查条件概率、独立事件的概率、随机变量的期望与方差等．需要

5、注意第一种方向的考查． 变式训练1 (2012·北京昌平二模，理16)某游乐场将要举行狙击移动靶比赛．比赛规则是：每位选手可以选择在A区射击3次或选择在B区射击2次，在A区每射中一次得3分，射不中得0分；在B区每射中一次得2分，射不中得0分．已知参赛选手甲在A区和B区每次射中移动靶的概率分别是和p(0＜p＜1)． (1)若选手甲在A区射击，求选手甲至少得3分的概率； (2)我们把在A、B两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B区射击，求p的取值范围． 热点二　古典概型与几何概型 【例2】(2012·北京高考，理2)设不等式组表示的平面区域为D.在区域

6、D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(　　)． A．　　　B．　　　C．　　　D． 规律方法 较为简单的问题可以直接使用古典概型公式计算，较为复杂的概率问题的处理方法：一是转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式进行求解；二是采用间接解法，先求事件A的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求事件A的概率． 变式训练2 (1)在长为18 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为(　　)． A． B． C． D． (2)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面

7、分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为X，Y，则log2XY＝1的概率为(　　)． A． B． C． D． 热点三　线性相关 【例3】设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　)． A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(，) C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为

8、58.79 kg 规律方法 线性回归的基本思想及应用主要按以下步骤完成：①画散点图，检验是否线性相关；②数据计算，求回归方程；③利用回归方程，进行科学预测． 变式训练3 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料： 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知y对x呈线性相关关系． 试求：(1)线性回归方程＝x＋的回归系数，； (2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ 热点四　独立性检验 【例4】为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班

9、各抽取20名同学参加环保知识测试．两个班同学的成绩(百分制)的茎叶图如图所示： 按照大于或等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩． (1)根据以上数据完成下面的2×2列联表： 成绩与专业列联表 优秀 非优秀 总计 A班 20 B班 20 总计 40 (2)能否有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关？ 附：χ2＝ P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 规律方法 独立性检验是指利用2×2列联表，通过计算随机变量χ2来确定在多大程度上两个分类变量有关系的

10、方法．χ2值越大，说明两个分类变量X与Y有关系的可能性越大．要会用临界值表判断X与Y有关系的可信程度． 变式训练4为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ 附： P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 χ2＝. 思想渗透 数形结合思想——解答统计问题 用数形结合思想解答的统计问题主要有： (1)通过频率分布

11、直方图研究数据分布的总体趋势． (2)根据样本数据散点图确定两个变量是否存在相关关系． 求解时注意的问题： (1)频率分布直方图中纵轴表示，每个小长方形的面积等于这一组的频率． (2)在频率分布直方图中，组距是一个固定值，故各小长方形高的比就是频率之比． 【典型例题】下表给出了某校120名12岁男孩的身高资料．(单位：cm) 区间 界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) 人数 5 8 10 22 33 区间 界限 [142,146) [146,150) [150,154) [154

12、,158) 人数 20 11 6 5 (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)根据样本的频率分布图，估计身高小于134 cm的人数约占总人数的百分比． 解：(1)频率分布表如下： 区间人数 频数 频率 [122,126) 5 [126,130) 8 [130,134) 10 [134,138) 22 [138,142) 33 [142,146) 20 [146,150) 11 [150,154) 6 [154,158) 5 (2)频率分布直方图如图： (3)由

13、图估计，身高小于134 cm的学生数约占总数的19%. 1．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取各职称的人数分别为(　　)． A．5,10,15 B．3,9,18 C．3,10,17 D．5,9,16 2．(2012·江西高考，理9)样本(x1，x2，…，xn)的平均数为，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为(≠)．若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数＝α＋(1－α)，其中0＜α＜，则n，m的大小关系为(　　)． A．n＜m B．n＞m C．

14、n＝m D．不能确定 3．(2012·安徽高考，理5)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　)． A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 4．(2012·福建高考，理6)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(　　)． A． B． C． D． 5．在抽查某产品的尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b]是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频

15、率是m，该组在频率分布直方图上的高为h，则|a－b|等于(　　)． A．h·m B． C． D．与m，h无关 6．(原创题)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，则a的值为(　　)． A． B． C．5 D．3 7．有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排列组成． 第一排 明文字符 A B C D

16、 密码字符 11 12 13 14 第二排 明文字符 E F G H 密码字符 21 22 23 24 第三排 明文字符 M N P Q 密码字符 1 2 3 4 设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数． (1)求P(ξ＝2)； (2)求随机变量ξ的分布列和数学期望． 参考答案 命题调研·明晰考向 真题试做 1．C　解析：由题意可得，抽样间隔为30，区间[451,750]恰好为10个完整的组，所以做问卷B的有10人，故选C. 2．B　解析：由题图可得＝＝21.562 5，m甲＝20， ＝＝28.562 5，m乙＝29， 所

17、以＜，m甲＜m乙． 故选B. 3．D　解析：在个位数与十位数之和为奇数的两位数中： (1)当个位数是偶数时，由分步计数乘法原理知，共有5×5＝25个； (2)当个位数是奇数时，由分步计数乘法原理知，共有4×5＝20个． 综上可知，基本事件总数共有25＋20＝45(个)， 满足条件的基本事件有5×1＝5(个)， ∴概率P＝＝. 4．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有： P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P

18、(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y的分布列为： Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3； D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8. (2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X＜300)＝0.7， 又P(300≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)

19、＝P(X＜900|X≥300)＝＝＝. 故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是. 精要例析·聚焦热点 热点例析 【例1】解：(1)从6个点中随机选取3个点总共有种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有种，因此V＝0的概率为P(V＝0)＝＝. (2)V的所有可能取值为0，，，，，因此V的分布列为 V 0 P 由V的分布列可得 E(V)＝0×＋×＋×＋×＋×＝. 【变式训练1】解：(1)设“选手甲在A区射击得0分”为事件M，“选手甲在A区射击至少得3分”为事件N，则事件M与事件N为对立事件，P(M)＝·0

20、·3＝， P(N)＝1－P(M)＝1－＝. (2)设选手甲在A区射击的得分为ξ，则ξ的可能取值为0,3,6,9. P(ξ＝0)＝3＝；P(ξ＝3)＝··2＝； P(ξ＝6)＝·2·＝； P(ξ＝9)＝3＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 3 6 9 P ∴E(ξ)＝0×＋3×＋6×＋9×＝. 设选手甲在B区射击的得分为η，则η的可能取值为0,2,4. P(η＝0)＝(1－p)2；P(η＝2)＝·p·(1－p)＝2p(1－p)；P(η＝4)＝p2. 所以η的分布列为 η 0 2 4 P (1－p)2 2p(1－p) p2 ∴E(η)＝

21、0×(1－p)2＋2·2p(1－p)＋4·p2＝4p. 根据题意，有E(η)＞E(ξ)， ∴4p＞，∴＜p＜1. 【例2】D 解析：由题意知此概型为几何概型，设所求事件为A，如图所示，边长为2的正方形区域为总度量μΩ，满足事件A的是阴影部分区域μA，故由几何概型的概率公式得：. 【变式训练2】(1)D　解析：AM的长介于6～9 cm之间，这是一个几何概型，p＝＝. (2)C　解析：总事件数为36种，而满足条件的(X，Y)为(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种情形．p＝＝. 【例3】D　解析：D选项中，若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重约为：0.85×170

22、－85.71＝58.79(kg)． 故D不正确． 【变式训练3】解：(1)制表如下： i 1 2 3 4 5 合计 xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 ＝4，＝5， i2＝90，i2＝140.78，iyi＝112.3 于是有＝＝＝1.23； ＝－＝5－1.23×4＝0.08. (2)回归直线方程为 ＝1.23x＋0.08， 当x＝10年时， ＝1.23×10＋0.08＝12.3＋0.08＝12.38(万

23、元)，即估计使用10年时，维修费用是12.38万元． 【例4】解：(1)成绩与专业列联表 优秀 非优秀 总计 A班 14 6 20 B班 7 13 20 总计 21 19 40 (2)根据列联表中的数据，得到 χ2＝≈4.912＞3.841. 所以有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关． 【变式训练4】解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为14%. (2)χ2＝ ≈9.967. 由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．

24、 创新模拟·预测演练 1．B　解析：高级、中级、初级职称的人数所占比例分别为＝0.1，＝0.3，＝0.6.故选B. 2．A　解析：由已知，得x1＋x2＋…＋xn＝n，y1＋y2＋…＋ym＝m， ＝＝＝α＋(1－α)， 整理，得(－)[αm＋(α－1)n]＝0， ∵≠， ∴αm＋(α－1)n＝0，即＝. 又0＜α＜，∴0＜＜1， ∴0＜＜1. 又n，m∈N＋，∴n＜m. 3．C　解析：由图可得，甲＝＝6，乙＝＝6，故A错；而甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B错； s甲2＝＝2， s乙2＝＝2.4，故C正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，故D错．

25、 4．C　解析：∵由图象知阴影部分的面积是 ，∴所求概率为＝. 5．C　解析：频率分布直方图中，＝高度，所以|a－b|＝，故选C. 6．A　解析：∵ξ～N(3,4)，P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，∴2a－3与a＋2关于μ＝3对称， ∴＝3，解得a＝. 7．解：(1)密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1,2列分别总是1,2，即只能取表格第1,2列中的数字作为密码． ∴P(ξ＝2)＝＝. (2)由题意可知ξ的取值为2,3,4三种情形． 若ξ＝3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2，则密码中只可能取数字1,2,3或1,2,4. ∴P(ξ＝3)＝＝. 若ξ＝4，则或P(ξ＝4)＝1－－＝， ∴ξ的分布列为： ξ 2 3 4 P ∴E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.