全国各地名校2013年中考数学5月试卷分类汇编 开放探究型问题

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1、 开放探究型问题 一、选择题 1、（2013浙江省宁波模拟题）课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课小组成员把他们分别标号为，，）的生长情况进行观察记录．这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分别被标号为，，，，，），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形 进行形象的记录）．那么标号为的微生物会出现在（ ） A．第天 B．第天 C．第天 D．第天 1 12 111 101 21 20 19 18 17 16 15 14 13 5 4 9 8 7 6 2

2、 3 （第12题图） 答案：C A E B C D F 2、（2013山东德州特长展示）如图，在△ABC中，点E 、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥AC，DF∥AB．下列说法中错误的是( ) A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC=90 º，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是正方形 D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 二、填空题 1、（2013河南沁阳市九年级第一次质量检测）如图，Rt△ABC中，在AC边上取点O画圆使⊙O经过A、B两点，

3、下列结论中：①；②；③以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；④延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点．正确的序号是 (多填或错填不给分)．①③④ 2、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P为对角线AC上一点，过P作BP的垂线交直线AD于点Q，若△APQ为等腰三角形，则AP的长度为 或 . 3.6或1 三、解答题 第1题图 1．（2013年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，在中，AC=6，BC=8，AB=10，点D

4、、E分别在AB、AC上，且DE将的周长分成相等的两部分，设AE=，AD=，的面积为S. （1）求出与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）求出S关于的函数关系式，并判断S是否有最大的值，若有，则求出其最大值，并指出此时的形状；若没有，请说明理由. 答案：（1）∵DE平分△ABC的周长，∴，即y＋x＝12 ． ∴y关于x的函数关系式为：y＝12－x（2≤x≤6）． （2）过点D作DF⊥AC，垂足为F F ∵，即，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90° ． ∴，即．∴． ∴

5、 ． 故当x＝6时，S取得最大值 ． 此时，y＝12－6＝6，即AE＝AD．因此，△ADE是等腰三角形． 2. （2013年北京房山区一模）已知，抛物线，当1＜x＜5时，y值为正；当x＜1或x＞5时，y值为负. （1）求抛物线的解析式. （2）若直线（k≠0）与抛物线交于点A（，m）和B（4，n），求直线的解析式. （3）设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交二次函数于H、G. ①求t的取值范围 ②是否存在适当的t值，使得EFGH是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由. 答案：解：（1）根据题意，抛物线与x轴交点为（1,0）和（5,0）

6、----1分 ∴，解得. ∴抛物线的解析式为. --------------------2分 （2）∵的图象过A（，m）和B（4，n）两点 ∴ m=，n=3 ， ∴A（，）和B（4，3） ------------ 3分 ∵直线（k≠0）过A（，）和B（4，3）两点 ∴，解得. ∴直线的解析式为. -------------------4分 （3）①根据题意，解得t2 -------------------5分 ②根据题意E（t，），F（t+2，） H（t，），G（t+2，）， ∴

7、EH=，FG=. 若EFGH是平行四边形，则EH=FG，即= 解得t=， - ---------------------6分 ∵t=满足t2. ∴存在适当的t值，且t=使得EFGH是平行四边形.----------7分 3. （2013年北京龙文教育一模） 如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点, 顶点为. (1) 求此二次函数解析式； (2) 点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交BD于

8、点E，过点作直线∥交直线于点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 在（2）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、、，求和的最小值. 第3题图 答案：解:(1) ∵ 点A、B的坐标分别为（-1,0）、（3,0）， ∴ 解得 ∴ 二次函数解析式为. ……………2分 （2）可求点C的坐标为（1，） ∴ 点D的坐标为（1，）. 可求 直线AD的解析式为

9、 . 由题意可求 直线BK的解析式为. ∵ 直线的解析式为, ∴ 可求出点K的坐标为(5,).易求 . ∴ 四边形ABKD是菱形. ∵ 菱形的中心到四边的距离相等， ∴ 点P与点E重合时，即是满足题意的点，坐标为（2， ） . ……………5分 (3) ∵ 点D、B关于直线AK对称, ∴ 的最小值是. 过K作KF⊥x轴于F点. 过点K作直线AD的对称点P,连接KP,交直线AD于点Q, ∴ KP⊥AD. ∵ AK是∠DAB的角平分线, ∴ . ∴的最小值是.即BP的长是的最小值. ∵ BK

10、∥AD, ∴ . 在Rt△BKP中,由勾股定理得BP=8. ∴的最小值为8. ……………8分 4．（2013年北京顺义区一模）如图，已知抛物线与轴交于点，且经过两点，点是抛物线顶点，是对称轴与直线的交点，与关于点对称． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使与相似．若有，请求出所有符合条件的点的坐标；若没有，请说明理由． 第4题图 答案：解：（1）将点代入得 ……………………1分 解之得， 所以抛物线的解析式为 ………2分 （2）由（

11、1）可得抛物线顶点 …… 3分 直线的解析式为 由是对称轴与直线的交点，则 由与关于点对称 ，则………4分 证法一： 从点分别向对称轴作垂线，交对称轴于 在和中 ， 所以∽ 所以 …………………………………5分 证法二：直线的解析式为 点 关于对称轴的对称点是 将点代入可知点在直线 所以 （3）在中，三内角不等，且为钝角 ① 若点在点下方时， 在中，为钝角 因为， 所以和不相等 所以，点在点下方时，两三角形不能相似 …………………… 6分 ② 若点在点上方时， 由，要使与相似 只需（点在之间）或（点在的

12、延长线上） 解得点的坐标为或 ………………………………………8分 第1题图 5．（2013年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，在中，AC=6，BC=8，AB=10，点D、E分别在AB、AC上，且DE将的周长分成相等的两部分，设AE=，AD=，的面积为S. （1）求出与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）求出S关于的函数关系式，并判断S是否有最大的值，若有，则求出其最大值，并指出此时的形状；若没有，请说明理由. 答案：（1）∵DE平分△ABC的周长，∴，即y＋x＝12 ． ∴y关

13、于x的函数关系式为：y＝12－x（2≤x≤6）． （2）过点D作DF⊥AC，垂足为F F ∵，即，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90° ． ∴，即．∴． ∴ ． 故当x＝6时，S取得最大值 ． 此时，y＝12－6＝6，即AE＝AD．因此，△ADE是等腰三角形． 6. （2013年北京房山区一模）已知，抛物线，当1＜x＜5时，y值为正；当x＜1或x＞5时，y值为负. （1）求抛物线的解析式. （2）若直线（k≠0）与抛物线交于点A（，m）和B（4，n），求直线的解析式. （3）设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交二次函数于H、G.

14、 ①求t的取值范围 ②是否存在适当的t值，使得EFGH是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由. 答案：解：（1）根据题意，抛物线与x轴交点为（1,0）和（5,0）----1分 ∴，解得. ∴抛物线的解析式为. --------------------2分 （2）∵的图象过A（，m）和B（4，n）两点 ∴ m=，n=3 ， ∴A（，）和B（4，3） ------------ 3分 ∵直线（k≠0）过A（，）和B（4，3）两点 ∴，解得. ∴直线的解析式为. -------------------4分 （

15、3）①根据题意，解得t2 -------------------5分 ②根据题意E（t，），F（t+2，） H（t，），G（t+2，）， ∴EH=，FG=. 若EFGH是平行四边形，则EH=FG，即= 解得t=， - ---------------------6分 ∵t=满足t2. ∴存在适当的t值，且t=使得EFGH是平行四边形.----------7分 7. （2013年北京龙文教育一模） 如图

16、，在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点, 顶点为. (1) 求此二次函数解析式； (2) 点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交BD于点E，过点作直线∥交直线于点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 在（2）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、、，求和的最小值. 第3题图 答案：解:(1) ∵ 点A、B的坐标分别为（-1,0）、（3,0）， ∴ 解得 ∴ 二次函数解析式为.

17、 ……………2分 （2）可求点C的坐标为（1，） ∴ 点D的坐标为（1，）. 可求 直线AD的解析式为 . 由题意可求 直线BK的解析式为. ∵ 直线的解析式为, ∴ 可求出点K的坐标为(5,).易求 . ∴ 四边形ABKD是菱形. ∵ 菱形的中心到四边的距离相等， ∴ 点P与点E重合时，即是满足题意的点，坐标为（2， ） . ……………5分 (3) ∵ 点D、B关于直线AK对称, ∴ 的最小值是. 过K作KF⊥x轴于F点. 过点K作直线AD的对称点P,连接KP,交直线AD

18、于点Q, ∴ KP⊥AD. ∵ AK是∠DAB的角平分线, ∴ . ∴的最小值是.即BP的长是的最小值. ∵ BK∥AD, ∴ . 在Rt△BKP中,由勾股定理得BP=8. ∴的最小值为8. ……………8分 8．（2013年北京顺义区一模）如图，已知抛物线与轴交于点，且经过两点，点是抛物线顶点，是对称轴与直线的交点，与关于点对称． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使与相似．若有，请求出所

19、有符合条件的点的坐标；若没有，请说明理由． 第4题图 答案：解：（1）将点代入得 ……………………1分 解之得， 所以抛物线的解析式为 ………2分 （2）由（1）可得抛物线顶点 …… 3分 直线的解析式为 由是对称轴与直线的交点，则 由与关于点对称 ，则………4分 证法一： 从点分别向对称轴作垂线，交对称轴于 在和中 ， 所以∽ 所以 …………………………………5分 证法二：直线的解析式为 点 关于对称轴的对称点是 将点代入可知点在直线 所以 （3）在中，三内角不等，且为钝角 ① 若点在点下方时，

20、 在中，为钝角 因为， 所以和不相等 所以，点在点下方时，两三角形不能相似 …………………… 6分 ② 若点在点上方时， 由，要使与相似 只需（点在之间）或（点在的延长线上） 解得点的坐标为或 ………………………………………8分 9、(本题满分15分)如图（1），P为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点． (1).如点P为锐角的费马点．且∠ABC＝60°，PA=3，PC=4，求PB的长。(4分) (2).如图（2），在锐角外侧作等边′连结′． 求证：′过的费马点，且′＝．(6分) (3).已知锐角，∠ACB＝60°，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD,B

21、CE,ACF,请找出的费马点，并探究S△ABC与S△ABD的和,S△BCE与S△ACF的和是否相等。(1+4分) A C B 图（1） 图（2） 解：⑴由△ABP与△BPC相似,得PB2=PA×PC,PB=2 ； （2）在BB'上取点P，使∠BPC=120°，连接AP，再在PB'上截取PE=PC，连接CE， ∵∠BPC=120°,∴∠EPC=60°，∴△PCE是正三角形。 A C B 图（1） 图（2） ∴PC=CE,∠PCE=60°,∠CEB'=120°. ∵△ACB'是正三角形, ∴AC=CB',∠ACB'=60°

22、. ∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB'=60°, ∴∠PCA=∠ECB',∴△ACP≌△B'CE, ∴∠APC=∠B'EC=120°,PA=EB', ∴,P为锐角的费马点. ∴BB'过的费马点P,且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC. （3） 连接DC,BF交与点P，则P为锐角的费马点. 在△DAC与△BAF中,DA=BA,∠DAC=∠BAF,AC=AF, ∴△DAC≌△BAF.∴S△DAC=S△BAF, ∵∠ACB=∠CAF=60°,∴AF∥BC. ∴S△BAF=S△CAF, ∴S△DAC=S△CAF. 同理可证S△DBC=S△BEC,

23、 ∴.S△ACF+S△BCE=S△DAC+S△DBC=S△ABC+S△ABD 10. 如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1． （1）求证：△ABE≌△BCF； （2）试求△ABE和△BCF重叠部分的面积； （3）如图2，将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB＇E＇，点E落在CD边上的点E＇处，则△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由． （1）证明：∵正方形ABCD中，∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC， ∴∠ABF+∠CBF=900，

24、∵AE⊥BF， ∴∠ABF+∠BAE=900， ∴∠BAE=∠CBF， ………………………2分 ∴△ABE≌△BCF. ………………………3分 （2）∵正方形面积为3，∴AB=. 又∵BE=1，∴tan∠BAE= ∴∠BAE=30°，∴∠CBF=30° ………………………5分 ∴GE=，GB= ∴×=. ………………………6分

25、 （3）没有变化. ………………………7分 由（2）可知∠BAE=30°. ∵AB’=AD, ∠AB’E’= ∠ADE’=90°,AE’公共， ∴Rt△ABE≌Rt△AB’E’ ≌Rt△ADE’ ∴∠DAE’=∠B’AE’=∠BAE=30° ∴AB’与AE在同一直线上，即G点就是AB’与BF的交点，如图所示. 设BF与AE’的交点为H， ∴Rt△BAG≌Rt△HAG. ………………11分 ∴S四边形HGB’E’= S△BGE 即△

26、ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有发生变化. 11. （黑龙江2013）(本题10分)如图，平面直角坐标系中O为坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C为OA中点； （1）求直线BC解析式； （2）动点P从O出发以每秒2个单位长度的速度沿线段OA向终点A运动，同时动点Q从C出发沿线段CB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点Q作QM∥AB交x轴于点M，若线段PM的长为y，点P运动时间为t( )，求y于t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，以PC为直径作⊙N，求t为何值时直线QM与⊙N相切. 解：（1）∵ ∴x=0时，y=6；y=0时，x=﹣8

27、， ∴B（0,6） A(﹣8，0) ∵C为OA中点，∴C（﹣4,0） （1分） 设BC：∴﹣4k+b=0， b=6，∴k= ∴y=x+6 （1分） （2）∵QM∥AB ∴ ∴ （1分） ∴CM=t，∴，∴，∵ （1分） ∴0＜t＜4＜时，PM= ∴（0＜t＜4）（1分） （3）过N点作NH⊥MQ交直线MQ于H点． ∵N为PC的中点，∴，MN=（1分） ∵MQ∥AB ∴∠QMC=∠BAO ∴sin∠QMC=sin∠BAO= ∴NH=2×=（1分） ∵PC=（1分） ∴

28、=2×=，解得，或（1分） 综上，或时，直线QM与⊙N相切．第27题图 12、（2013山东德州特长展示）（本小题满分12分） 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3 ，tan∠BAC=，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 （1）求过A、B、O三点的抛物线解析式； （2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d有无最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由． （3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上

29、有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标． B A C O H x y 解：（1）在Rt△ABC 中，∵BC=3 ，tan∠BAC=， ∴AC=4． ∴AB=． 设OC=m，连接OH，如图，由对称性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°， ∴AH=AB－BH=2，OA=4－m． ∴在Rt△AOH 中， OH2+AH2=OA2，即m2+22=(4－m)2，得 m=． ∴OC=，OA=AC－OC=， ∴O（0，0） A（，0），B（－，3）．…………………………………………2分 设过A、B、O三点的

30、抛物线的解析式为：y=ax（x－）． 把x=，y=3代入解析式，得a=． ∴y=x（x－）=． 即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=．…………………………4分 （2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意得： － 解之得 k= －，b=． ∴直线AB的解析式为y=．………………………………………………6分 设动点P（t，），则M（t，）．………………………………7分 ∴d=（）—（）=—= ∴当t=时，d有最大值，最大值为2．………………………………………………8分 y B A

31、 C O H x E2 E1 E3 D (3)设抛物线y=的顶点为D． ∵y==， ∴抛物线的对称轴x=，顶点D（，－）． 根据抛物线的对称性，A、O两点关于对称轴对称． ① 当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形．这时点D即为点E，所以E点坐标为（）．……………………………………………………………………………10分 ② 当AO为平行四边形的边时，由OA=，知抛物线存在点E的横坐标为或，即或，分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中，得点 E（，）或E（－，）． 所以在抛物线上存在三个点：E

32、1（，－），E2（，），E3（－，），使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形．……………………………………………12分 13、(2013年福州市初中毕业班质量检查) (12分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，DE＝2，线段DE在AC边上运动(端点D从点A开始)，速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时运动停止．F为DE中点，MF⊥DE交AB于点M，MN∥AC交BC于点N，连接DM、ME、EN．设运动时间为t秒． (1) 求证：四边形MFCN是矩形； (2) 设四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大值时，求t的值； (

33、3) 在运动过程中，若以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似，求t的值． A B C D E M F N 第21题图 备用图 (1) 证明：∵MF⊥AC，∴∠MFC＝90°． …………1分 ∵MN∥AC，∴∠MFC＋∠FMN＝180°． ∴∠FMN＝90°． …………2分 ∵∠C＝90°，∴四边形MFCN是矩形． …………3分 (若先证明四边形MFCN是平行四边形，得2分，再证明它是矩形，得3分) (2) 解：当运动时间为t秒时，AD＝t

34、， ∵F为DE的中点，DE＝2，∴DF＝EF＝DE＝1． ∴AF＝t＋1，FC＝8－(t＋1)＝7－t． A B C D E M F N ∵四边形MFCN是矩形，∴MN＝FC＝7－t． …………4分 又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A＝45°． ∴在Rt△AMF中，MF＝AF＝t＋1， …………5分 ∴S＝S△MDE＋ S△MNE ＝DE·MF＋MN·MF ＝×2(t＋1)＋ (7－t)(t＋1)＝－t2＋4t＋ …………6分 ∵S＝－t2＋4t＋＝－(t－4)2＋ ∴当t＝4时，S有最大值．

35、 …………7分 (若面积S用梯形面积公式求不扣分) (3) 解：∵MN∥AC，∴∠NME＝∠DEM． …………8分 ① 当△NME∽△DEM时，∴＝ ． …………9分 ∴＝1，解得：t＝5． …………10分 ② 当△EMN∽△DEM时，∴＝ ． …………11分 ∴EM2＝NM·DE． 在Rt△MEF中，ME2＝EF2＋MF2＝1＋(t＋1)2，∴1＋(t＋1)2＝2(7－t)． 解得：t1＝2，t2＝－6(不合题意，舍去) 综上所述，当t为2秒或5秒

36、时，以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似． ……12分 14、（2013河南沁阳市九年级第一次质量检测）（10分）某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元， 请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢利市场，该店应按原售价的几折出售？ 15、（2013河南沁阳市九年级第一次质量检测）（11分）以原点为圆心,为半

37、径的圆分别交、轴的正半轴于A、B两点,点P的坐标为. (1)如图一，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周,设经过的时间为t秒，当时，直线PQ恰好与⊙O第一次相切，连接OQ.求此时点Q的运动速度（结果保留）； (2)若点Q按照⑴中的方向和速度继续运动， ①为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形； ②在①的条件下，如果直线PQ与⊙O相交，请求出直线PQ被⊙O所截的弦长. （补充说明：直角三角形中，如果一条直角边长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.） 解：（1）连接OQ，则OQ⊥PQ OQ=1，OP=2，所以

38、，可得 所以点Q的运动速度为/秒. 3分 (2)由（1）可知，当t=1时， △OPQ为直角三角形 所以，当Q’与Q关于x轴对称时，△OPQ’为直角三角形 此时 ， 当Q’(0，-1)或Q’(0，1)时，， 此时或 即当，或时，△OPQ是直角三角形. 7分 当或时，直线PQ与⊙O相交. 作OM⊥PQ，根据等面积法可知： PQ×OM=OQ×OP PQ=

39、 QM 弦长. 11分 16、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分6分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BE⊥AC于点E，点F在线段BE上，∠1=∠2，点D在线段EC上，给出两个条件：①DF∥BC；②BF=DF.请你从中选择一个作为条件，证明：△AFD≌△AFB． 解：选①DF//BC.证明略 17、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）(本题满分10分) 如图1，在长方形纸片ABCD中，，其中≥1，将它沿EF折叠（点

40、E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.设，其中0＜n≤1． (1) 如图2，当（即M点与D点重合），=2时，则= ； （2）如图3，当（M为AD的中点），的值发生变化时，求证：EP=AE+DP； (3) 如图1，当（AB=2AD），的值发生变化时，的值是否发生变化？说明理由． 解：⑴ ⑵延长PM交EA延长线于G，则△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG.∴EP=EG=EA+AG=EA+DP. ⑶设AD=1,AB=2,过E作EH

41、⊥CD于H,∵∠EFP=∠FPN=∠MPD=∠EMA.∴△EFH∽ΔEMA ∴ ∵AE的长度发生变化,∴的值将发生变化. 18、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分12分）如图1，抛物线：与直线AB：交于x轴上的一点A，和另一点B(3，n)． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值； (3)如图2，将抛物线绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线

42、，已知抛物线的顶点E在第四象限的抛物线上，且抛物线与抛物线交于点D，过D点作轴的平行线交抛物线于点F，过E点作轴的平行线交抛物线于点G，是否存在这样的抛物线，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由． 、 解：⑴由题意得：A(-1,0)、B(3,2) ∴ 解得:∴抛物线的解析式为y=-x+x+2 ⑵设AB交y轴于D，则D（0，），∴OA=1，OD=，AD=，∴=， ∵PN∥y轴, ∴∠PNM=∠CDN=∠ADO, ∴Rt△ADO∽Rt△PNM. ∴.∴=×P

43、N=PN. ∴当PN取最大值时, 取最大值. 设P(m, -m+m+2) N(m, m+).则PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+. ∵-1﹤m﹤3. ∴当m=1时,PN取最大值. ∴△PNM周长的最大值为×2=.此时P(1,3). ⑶设E(n,t),由题意得:抛物线为：y=-(x-)+,为：y=(x-n) +t. ∵E在抛物线上，∴t=-(n-)+.∵四边形DFEG为菱形. ∴DF=FE=EG=DG 连ED,由抛物线的对称性可知,ED=EF.∴△DEG与△DEF均为正三角形.∴D为抛物线的顶点.∴D(,).∵DF∥x轴,且D、F关于直线x=n对称.

44、∴DF=2（n-）. ∵DEF为正三角形.∴-=×2(n-).解得：n=. ∴t=-.∴存在点E，坐标为E(,-). 19、（2013凤阳县县直义教教研中心）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立. （1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. （2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G. ① 求证：BD⊥CF； ② 当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长.

45、图1 图2 图3 解（1）BD＝CF成立. 理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形， ∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°, ∵∠BAD=，∠CAF=， ∴∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF. ∴BD＝CF.……………………………………………………………………（4分） （2）①证明：设BG交AC于点M. ∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM＝∠GCM. ∵∠BMA ＝∠CMG ，∴△BMA ∽△CMG. ∴∠BGC＝∠

46、BAC ＝90°.∴BD⊥CF.……………………………………（7分） ②过点F作FN⊥AC于点N. ∵在正方形ADEF中，AD＝， ∴AN＝FN＝. ∵在等腰直角△ABC 中，AB＝4， ∴CN＝AC－AN＝3，BC＝. Rt△FCN∽Rt△ABM，∴ ∴AM＝. ∴CM＝AC－AM＝4－＝， .…… （9分） ∵△BMA ∽△CMG，∴. ∴. ∴CG＝.…………………………………… （11分） ∴在Rt△BGC中，. …………………….. （12分） 20、（2013凤阳县县直义教教研中心）如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2

47、+bx+c经过A、B、C（1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3） ∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组 解得： ∴抛物线的解析式为 …………………………… （4分）

48、 （2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示， 若△ABO∽△AP1D，则 ∴DP1=AD=4 , ∴P1 若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4, ∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2） ……………………（8分） （3）如图设点E ，则 ①当P1(-1,4)时， S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE = ∴ ∴ ∵点E在x轴下方 ∴ 代入得： ,即 ∵△=

49、(-4)2-4×7=-12<0 ∴此方程无解 ②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE = ∴ ∴ ∵点E在x轴下方 ∴ 代入得： 即 ，∵△=(-4)2-4×5=-4<0 ∴此方程无解 综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。………………………………（14分） 21．（2013郑州外国语预测卷）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 如图1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的

50、直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E． （1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论； （2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决： 小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）； 小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）； 请你从中任选一种方法进行证明； （3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45°＜α＜1

51、35°且α≠90°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立，先请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 答案： 解：（1）证明：∵∠BAC＝90º，∠DAE＝∠DAM＋∠MAE＝45º，∴∠BAD＋∠EAC＝45º。 又∵AD平分∠MAB，∴∠BAD＝∠DAM。∴∠MAE＝∠EAC。 ∴AE平分∠MAC。 （2）证明小颖的方法： ∵将△AB

52、D沿AD所在的直线对折得到△ADF， ∴AF＝AB，∠AFD＝∠B＝45º，∠BAD＝∠FAD。 又∵AC=AB，∴AF＝AC。 由（1）知，∠FAE＝∠CAE。 在△AEF和△AEC中，∵AF＝ AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE， ∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。 ∴∠DFE＝∠AFD ＋∠AFE＝90º。

53、 在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。 （3）当135º＜＜180º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。证明如下： 如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。 ∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF， ∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABC＝45º，∠BAD＝∠FAD。 又∵AC=AB，∴AF＝AC。 又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45º－∠BAD）＝45º＋∠BAD＝45º＋∠FAD ＝∠FAE。 在△AEF和△AEC中，∵AF＝ AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE， ∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。 又∵在△AGF和△BGE中，∠ABC＝∠AFE＝45º，∠AGF＝∠BGE， ∴∠FAG＝∠BEG。 又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝（∠ADB＋∠DAB）＝∠ABC＝90º。 ∴∠DFE＝90º。 在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。 27