1. 因式分解1

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1、4.1 因式分解 设计:郑州大学第一附属中学 师英 一、学生起点分析：学生已经熟悉乘法对加法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，熟悉平方差公式以及完全平方公式。因此，对于这节课的学习，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础． 二、教学任务分析：以因数分解的引入，类比得到因式分解，学生在重点理解因式分解概念的基础上，有意识地培养学生知识迁移的数学能力，如：类比思想，逆向思维能力等；让学生充分的体会到因式分解与整式乘法的互逆关系，感受到因式分解再解决相关问题中的简便作用 三、教学目标： 1、理解因式分解的概念，体会因式分解与整式乘法的互逆关系，并

2、会辨别哪些变形是因式分解。 2、会用因式分解（或因数分解）解决相关问题,感受因式分解在解决相关问题中的简便作用。 3、通过本节课的学习，感受类比方法、发展几何直观、感受逆向思维作用与价值 四、教学过程： [环节一]巩固导入 活动内容： 1、993-99能被100整除吗? 给学生独立思考的时间，然后给出李雷和韩梅梅的做法： 李雷是这样做的：解：993-99 =970299-99 =970200

3、 =9702×100 所以，993-99能被100整除 韩梅梅是这样做的：解：993-99 =99×992-99×1 =99(992-1) =99(99+1)(99-1) =98×99×100 所以，993-99能被100整除 针对这两种做法提出问

4、题： （1） 谁的方法更具有研究价值？ （2） 993-99=99（99²-1），99²-1=（99+1）（99-1）这两步的依据？请用公式表示出该依据。 （3） 993-99能被100整除,还能被哪些正整数整除？ （4） 解决“整除”问题的关键是？ 解决“整除”问题的关键是把一个数化成几个数的_积_的形式 活动目的： 观察实例，分析共同属性：解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式，使学生熟悉用简便方法计算．引入这一步的目的旨在设计问题情景，复习知识点与计算，让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法，通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而

5、为因式分解的掌握和理解打一个台阶。 [环节二]比较探究 活动内容： 2、类比韩梅梅的方法，请尝试把a3-a化成几个整式的积的形式. a3-a =a×a²-a×1 = a(a²-1）① =a(a+1)(a-1)② ①依据是？②的依据是？ 活动目的： 以一连串的知识性问题引入，在学生已有的认识基础上，先让学生解决一些具体的数的运算问题，通过简便运算把一个式子化成几个数乘积的形式，并且问题的设置由浅入深，逐步让学生体会分解因数的过程和意义。这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大帮助，体现了知识螺旋上升的思想。 3、观察下面拼图过程，写出相应的关系式

6、 __________=___________ __________=___________ 活动目的： 从知识性的问题过度到思考性的问题，巧妙设问：“类比韩梅梅的方法，请尝试把a3-a化成几个整式的积的形式”.引导学生得出，这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃，是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识，是对学生思维能力水平的一次提高，同时很自然的从分解因数过度到分解因式，初步树立起学生对因式分解概念的直观认识；紧接着由图写式，发展学生的几何直观。这整个过程让学生经历从分解因数到分解因式的类比过程，探究概念本质属性。 [环节

7、三] 引出概念： 活动内容： 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。 练习： 下列等式从左到右的变形是否为因式分解？ 活动目的: 通过这道题总结出因式分解要注意以下几点： 1、分解的对象必须是多项式 2、分解的结果要以积的形式表示 3、分解结果每个因式必须是整式 4、分解到不能分解为止 [环节四]：类比练习 活动内容： 1、 计算下列式子： （1）3x(x-1)= ； （2）m(a+b-1)= ； （3）（m+4）(m-4)= ； （4）（y-3）2=

8、 ； 2、 根据上面的算式填空： （1）3x2-3x= ； （2）ma+mb-m= ; （3）m2-16= ； （4）y2-6y+9= ． 思考：因式分解与整式乘法有什么关系？多项式的因式分解和整式乘法互为逆变形过程 活动目的： 通过两组互逆关系的练习，类比两种不同的逆运算，进一步让学生体会什么是分解因式，这个时候，分解因式的概念已基本在学生头脑中确立。由整式乘法的逆运算逐步过渡

9、到因式分解，发展学生的逆向思维能力． [环节五] 反馈练习 活动内容： 1、 看谁连得准 x2-y2 . (x+3)2 9-25 x 2 y(x -y) +6x+9 (3-5 x)(3+5 x) xy-y2 (x+y)(x-y) 2、 下列哪些变形是因式分解，为什么？ （1）（a+3）(a -3)= a 2-9 （2）m 2-4=( m+2)( m-2) （3）a 2-b2+1=( a +b)( a -b)+1 （4）2πR+2πr=2π

10、（R+r） 活动目的： 通过学生独立思考和讨论探究，从具体实例中进一步理解概念，抽象出新概念的本质属性加深对新概念的掌握。 3、1999²+1999能被1999整除吗？能被2000整除吗？如果能请说明理由。 活动目的： 感受因式分解在解决相关问题中的简便作用。 [环节六]课堂小结 活动内容： 1、今天你学到了什么？ 因式分解 对象 结果 作用 2、多项式的因式分解与整式乘法的关系？ 把照片倒过来看看吧！ 有时候把事情倒过来想就不一样了！你会发现很快乐！遇到困难学会逆向思维，也许会柳暗花明! 活动目的：回顾、总结、提高知识的系统性；

11、让学生体会逆向思维看待问题的好处。 [环节七]作业： 课本94页1、2、4、5 五、教学反思： 关于如何上好数学概念课一直是数学教学中热点讨论的话题，也是难题，而真正有效的数学概念课教学是要让学生从根本上理解概念的意义，并学会灵活运用。本节课以学生的思维进程发展为主线，采用逐步渗透，螺旋式类比方法，在概念引入时，从分解因数到分解因式的类比，到概念强化阶段，又以整式乘法与分解因式的过程类比，因式分解过程中正反两例的类比，逐渐加深学生的认识，主要体现在从一开始一连串的知识性问题引入，到后来环节中多次提出思考性的问题，启发、引导学生做进一步的猜想、探究，这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识。