安徽省2013年高考数学第二轮复习 专题七概率与统计第1讲 计数原理、二项式定理 理

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1、专题七 概率与统计第1讲 计数原理、二项式定理 真题试做 1．(2012·浙江高考，理6)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )． A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 2．(2012·重庆高考，理4)8的展开式中常数项为( )． A. B. C. D．105 3．(2012·安徽高考，理7)(x2＋2)5的展开式的常数项是( )． A．－3 B．－2 C．2 D．3 4．(2012·浙江高考，理14)若将函数f(x)

2、＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝__________. 5．(2012·广东高考，理10)6的展开式中x3的系数为__________．(用数字作答) 考向分析 高考中对本节注重基础知识和基本解题方法、规律的考查，伴随运算能力的考查，基本都为中等难度试题．预测下一步对排列组合会更加注重分类、分步计算原理的考查，注重与概率的联系，更要加强对本节知识的理解深度；二项式定理的应用可能会对x的n次多项式(1＋ax)n的考查升温，尤其是利用(1＋ax)n的展开式考查赋值思想． 热点例析 热点一

3、 分类加法和分步乘法计数原理 【例1】方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同．在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )． A．60条 B．62条 C．71条 D．80条 规律方法“分类”与“分步”的区别：关键是看事件的完成情况，如果每种方法都能将事件完成是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成是分步，分类要用分类加法计数原理将种数相加；分步要用分步乘法计数原理将种数相乘． 变式训练1(2012·安徽高考，理10)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位

4、同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )． A．1或3 B．1或4 C．2或3 D．2或4 热点二 求展开式中的指定项 【例2】在6的二项展开式中，常数项等于__________． 规律方法运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Can－rbr，其中nN*，rN，r≤n.注意与(b＋a)n的展开式虽然相同，但其展开式中的某一项是不相同的，所以一定要注意顺序问题． 变式训练2若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为__________． 热点三 求展开式中的各项系数的和 若(2x

5、＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为( )． A．1 B．－1 C．0 D．2 规律方法求展开式中系数和问题，往往根据展开式的特点赋值． 变式训练3若(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝__________. 思想渗透 分类讨论思想在排列组合中的应用 由实际意义引起的分类讨论在排列组合问题中比较常见，这是因为分类、分步是解决排列组合问题的两个指导思想．一般采取先分类再分步的策略，分类时要先确定分类标准，是根据特殊元素来分

6、类还是根据特殊位置来分类，然后再解决每一类中的分步问题，最后汇总．在分类时注意标准的选取，做到不重不漏． 将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有________种． 解析：分三类：第一格填2，则第二格有A种填法，第三、四格自动对号入座，不能自由排列； 第一格填3，则第三格有A种填法，第二、四格自动对号入座，不能自由排列； 第一格填4，则第四格有A种填法，第二、三格自动对号入座，不能自由排列； 共计有3A＝9种填法． 答案：9 1．(2012·天津高考，理5)在5的二项展开式中，x的系数为( )

7、． A．10 B．－10 C．40 D．－40 2．(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )． A．42 B．35 C．28 D．21 3．(2012·陕西高考，理8)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )． A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 4．(2012·山东高考，理11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取

8、法的种数为( )． A．232 B．252 C．472 D．484 5．(2012·辽宁高考，理5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )． A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! 6．设aZ，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( )． A．0 B．1 C．11 D．12 7．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )． A．12种 B

9、．18种 C．24种 D．36种 8．一袋中有除颜色外其他均相同的6个球，其中3个黑球，红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？ 参考答案 命题调研·明晰考向 真题试做 1．D 解析：和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C44＝1(种)，取2奇数2偶数的取法有C42·C52＝60(种)，取4个数均为奇数的取法有C54＝5(种)，故不同的取法共有1＋60＋5＝66(种)． 2．B 解析：二项式8的通项为Tr＋1＝C8r()8－r(2)－r＝2－rC8rx，令＝0得r＝4，所以二项展开式的常数项为T5＝2－4C＝，故选B. 3．D

10、解析：5的通项为Tr＋1＝C5r5－r(－1)r＝(－1)rC5r.要使(x2＋2)5的展开式为常数，须令10－2r＝2或0，此时r＝4或5.故(x2＋2)5的展开式的常数项是(－1)4×C54＋2×(－1)5×C55＝3. 4．10 解析：由x5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5可得， 可解得 5．20 解析：Tr＋1＝C6r(x2)r·6－r＝C6rx3r－6，∴要求展开式中x3的系数，即3r－6＝3，∴r＝3，即T4＝C63·x3＝20x3， ∴x3的系数为20. 精要例析·聚焦热点 热点例析 【例1】 B 解析：因为a，b不能为0，先确定a

11、，b的值有A52种，则c有C41种，即所形成的抛物线有A52C41＝80条．当b＝±2时，b2的值相同，重复的抛物线有C31C31＝9条；当b＝±3时，b2的值相同，重复的抛物线有C31C31＝9条，所以不同的抛物线共有A52C41－2 C31C31＝62条． 【变式训练1】 D 解析：6人之间互相交换，总共有C62＝15种，而实际只交换了13次，故有2次未交换．不妨设为甲与乙、丙与丁之间未交换或甲与乙、甲与丙之间未交换，当甲与乙、丙与丁之间未交换时，甲、乙、丙、丁4人都收到4份礼物；当甲与乙、甲与丙之间未交换时，只有乙、丙两人收到4份礼物，故选D. 【例2】 －160 解析：6的二项展开

12、式中的常数项为C63·(x)3·3＝－160. 【变式训练2】 56 解析：∵Cn2＝Cn6，∴n＝8. Tr＋1＝C8rx8－rr＝C8rx8－2r， 当8－2r＝－2时，r＝5. ∴系数为C85＝56. 【例3】 A 解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋)4·(2－)4＝1. 【变式训练3】 1 创新模拟·预测演练 1．D 解析：Tr＋1＝C5r(2x2)5－rr＝(－1)r25－r C5rx10－3r， ∴当10－3r＝1时，r＝3. ∴(－1)325－3C53＝－40. 2．D 解

13、析：含x2的项是展开式中的第三项T3＝C72x2＝21x2，所以x2的系数是21. 3．C 解析：甲获胜有三种情况，第一种共打三局，甲全胜，此时，有一种情形；第二种共打四局，甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜，此时，共有C32＝3种情形；第三种共打五局，甲第五局获胜且前四局只有两局获胜，此时，共有C42＝6种情形，所以甲赢共有10种情况，同理乙赢也有10种情形，故选C. 4．C 解析：完成这件事可分为两类，第一类3张卡片颜色各不相同共有C43C41C41C41＝256种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有C31C42C31C41＝216种，由分类加法计数原理得共有472种，故选C.

14、 5．C 解析：完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有A33种排法；第二步排列每个家庭中的三个成员，共有A33A33A33种排法．由乘法原理可得不同的坐法种数有A33A33A33 A33，故选C. 6．D 解析：∵52能被13整除， ∴512 012可化为(52－1)2 012，其二项式系数为Tr＋1＝C2 012r522 012－r·(－1)r. 故(52－1)2 012被13除余数为C2 0122 012·(－1)2 012＝1，则当a＝12时，512 012＋12被13整除． 7．A 解析：当第一行为a b时，有和两种情况， ∴当第一行为a，b时，共有4种情况． 同理当第一行为a，c时，共有4种情况； 当第一行为b，c时，共有4种情况； ∴不同的排列方法共有12种． 8．解：分三类：若取1个黑球，和另三个球排4个位置，有A44＝24种不同的排法； 若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有C32A42＝36种不同的排法； 若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有C31A41＝12种不同的排法； 所以有24＋36＋12＝72种不同的排法．