2023届大一轮复习 第24练 构件几何体的结构体积含解析

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1、2023届大一轮复习 第24练 构件几何体的结构，体积 一、选择题（共24小题） 1. 下面的描述中，不正确的是    A. 三棱锥有四个面是三角形 B. 棱锥都有两个面是互相平行的多边形 C. 棱锥的侧面都是三角形 D. 锥的侧棱交于一点 2. 半径为 2 的球的表面积为    A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π 3. 如图，下列几何体是棱台的是    A. ①② B. ③④ C. ④ D. ②③ 4. 如图，模块①-⑤均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成，模块⑥由 15 个棱长为 1 的小正方

2、体构成．现从模块①-⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为 3 的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为    A. 模块①，②，⑤ B. 模块①，③，⑤ C. 模块②，④，⑤ D. 模块③，④，⑤ 5. 若一个圆台的上、下底面半径和高的比为 1:4:4，圆台的侧面积为 400π，则该圆台的母线长为    A. 10 B. 20 C. 12 D. 24 6. 图甲是由下列哪个平面图形绕轴 OʹO 旋转而成的组合体? A. B. C. D. 7. 在半径为 6 cm 的球的内部有一点，该点到球心的距离为 4 c

3、m，过该点作球的截面，则截面面积的最小值是    A. 11π cm2 B. 20π cm2 C. 32π cm2 D. 27π cm2 8. 若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为    A. 1:2 B. 1:3 C. 1:5 D. 3:2 9. 下列说法不正确的是    A. 圆柱的侧面展开图是矩形 B. 球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转 180∘ 所形成的曲面 C. 直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆台 D. 圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面 10. 如果两个球的体

4、积之比为 8:27 ，那么两个球的表面积之比为    A. 2:3 B. 2:9 C. 4:9 D. 8:27 11. 已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为    A. 4π B. π4 C. π2 D. 2π 12. 棱台上、下底面面积之比为 1∶9，则棱台的中截面分棱台成上、下两部分的体积之比是    A. 1∶7 B. 2∶7 C. 7∶19 D. 5∶16 13. 用半径为 15 cm，圆心角为 216∘ 的扇形围成圆锥的侧面，则该圆锥的高是    A. 14 cm B. 12 cm C. 10 cm

5、 D. 8 cm 14. 一个圆锥的表面积为 π，它的侧面展开图是圆心角为 120∘ 的扇形，则该圆锥的高为    A. 1 B. 2 C. 2 D. 22 15. 设 A，B 为球面上相异两点，则通过 A，B 可作大圆    A. 1 个 B. 无数个 C. 可能没有，也可能 1 个 D. 1 个或无数个 16. 下列三个命题，其中正确的是    ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A. 0 个 B

6、. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 17. 一个圆锥 SC 的高和底面直径相等，且这个圆锥 SC 和圆柱 OM 的底面半径及体积也都相等，则圆锥 SC 和圆柱 OM 的侧面积的比值为    A. 322 B. 23 C. 354 D. 4515 18. 正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，则正四面体 D−A1BC1 的表面积与正方体的表面积之比是    A. 22 B. 33 C. 3 D. 2 19. 已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为 V1 和 V2，则 V1:V2 是    A. 1:3 B. 1:1 C. 2:1 D

7、. 3:1 20. 若一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为    A. 120∘ B. 150∘ C. 180∘ D. 240∘ 21. 若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于    A. 12 B. 1 C. 2 D. 3 22. 已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，⊙O1 为 △ABC 的外接圆，若 ⊙O1 的面积为 4π，AB=BC=AC=OO1，则球 O 的表面积为    A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π 23. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为

8、 a，点 B1 到平面 ACD1 的距离是    A. 2a3 B. 233a C. a3 D. 33a 24. 已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，⊙O1 为 △ABC 的外接圆，若 ⊙O1 的面积为 4π，AB=BC=AC=OO1，则球 O 的表面积为    A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π 二、选择题（共4小题） 25. 已知 △ABC 的三边长分别是 AC=3，BC=4，AB=5．则下列说法正确的是    A. 以 BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 15π B. 以 AB

9、所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 48π5 C. 以 AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的全面积为 25π D. 以 AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 16π 26. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 2R 相等，下列结论正确的是    A. 圆柱的侧面积为 2πR2 B. 圆锥的侧面积为 2πR2 C. 圆柱的侧面积与球面面积相等 D. 圆锥的表面积最小 27. 已知四棱台 ABCD−A1B1C1D1 的上下底面均为正方形，其中 AB=22，A1B1=2

10、，AA1=BB1=CC1=2，则下述正确的是    A. 该四棱台的高为 3 B. AA1⊥CC1 C. 该四棱台的表面积为 26 D. 该四棱台外接球的表面积为 16π 28. 等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为    A. 2π B. 1+2π C. 22π D. 2+2π 三、填空题（共10小题） 29. 在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，E，F 分别为棱 BB1，CC1 上的点，且 BE=C1F，则四棱锥 A−BCEF 的体积与三棱柱 ABC−A1B1C1 的体积之比为

11、  ． 30. 圆锥的底面半径为 1，高为 2，则圆锥的侧面积等于  ． 31. 平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离为 2，则此球的体积为  ． 32. 若过圆锥顶点的截面中面积最大的是轴截面，则圆锥侧面展开图中圆心角 α 的取值范围为  ． 33. 长方体由一个顶点出发的三个侧面面积分别为 S1，S2，S3，则长方体的体积为  ． 34. 设一个正方体与底面边长为 23，侧棱长

12、为 10 的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为  ． 35. 已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为 2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是  ． 36. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半径为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是   cm3． 37. 如图，在三棱锥 P−ABC 的平面展开图中，AC=1，AB=AD=3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=3

13、0∘，则 cos∠FCB=  ． 38. 已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为  ． 答案 1. B 【解析】棱锥的的所有侧面交于一点，不可能平行，而底面也不可能与它们平行，所有B错误. 2. D 【解析】因为球的半径为 r=2， 所以该球的表面积为 S=4πr2=16π． 3. B 【解析】③④符合棱台的定义． 4. A 【解析】先将⑤放入⑥中的空缺部分，然后在上层放入①②，可得正方体，而可验证其余不合题意． 5. B 【解析】设圆台上底面的半

14、径为 r，则下底面的半径、高分别为 4r，4r， 于是其母线 l=4r2+4r−r2=5r， 又侧面积为 400π， 所以 πr+4r⋅5r=400π，解得 r=4， 于是圆台的母线长为 20． 6. A 7. B 8. C 【解析】设圆锥底面半径为 r，则高 h=2r， 所以其母线长 l=5r， 所以 S侧=πrl=5πr2，S底=πr2，\（S_{底}\mathbin{：}S_{侧}=1\mathbin{：}\sqrt 5\）． 9. C 10. C 11. B 【解析】设正方体的棱长为 a，则圆柱的高为 a，设圆柱的底面半径为 R， 则正方体的侧

15、面积为 4a2，圆柱的侧面积为 2πR⋅a， 所以 4a2=2πRa，所以 R=2aπ， 所以正方体和圆柱的体积之比为 a3πR2⋅a=a3πa⋅2aπ2=π4． 12. C 13. B 14. B 【解析】设圆锥的底面半径为 r， 因为它的侧面展开图是圆心角为 120∘ 的扇形， 所以圆锥的母线长为 3r， 又圆锥的表面积为 π， 所以 πrr+3r=π， 解得：r=12，l=32， 故圆锥的高 h=12−r2=2， 15. D 16. A 【解析】对①，如图（1），当截面不平行于底面时棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．对②③如图（2）中 AA1，DD

16、1 交于一点，而 BB1，CC1 交于另一点，此几何体不能还原成四棱锥，故不是棱台． 17. C 18. B 19. D 【解析】根据圆柱、圆锥的体积公式可知体积之比为 3:1． 20. C 【解析】因为圆锥的侧面积为：πrl，圆锥的底面面积为：πr2， 所以若一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则圆锥的母线 l 是底面半径 r 的 2 倍，即 l=2r，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 α，则 α360∘2πl=2πr，即 α=180∘． 21. D 【解析】设球的半径为 r，则由题意得 43πr2=4πr2 解得 r=3． 22. A 【解析】设圆 O

17、1 半径为 r，球的半径为 R，依题意，得 πr2=4π，所以 r=2， 由正弦定理可得 AB=2rsin60∘=23， 所以 OO1=AB=23，根据圆截面性质 OO1⊥平面ABC， 所以 OO1⊥O1A，R=OA=OO12+O1A2=OO12+r2=4， 所以球 O 的表面积 S=4πR2=64π． 23. B 24. A 【解析】设圆 O1 半径为 r，球的半径为 R，依题意， 得 πr2=4π， 所以 r=2， 由正弦定理可得 AB=2rsin60∘=23， 所以 OO1=AB=23，根据圆截面性质 OO1⊥平面ABC， 所以 OO1⊥O1A，R=O

18、A=OO12+O1A2=OO12+r2=4， 所以球 O 的表面积 S=4πR2=64π． 故选：A． 25. A， B， D 【解析】以 BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为 3，母线长为 5，高为 4 的圆锥，其侧面积为 π×3×5=15π，故A正确； 以 AB 所在直线为旋转轴，所得旋转体是具有同底的两个圆锥体的组合体，其半径为 3×45，故所得旋转体的体积：V=13π×1252×5=48π5，故B正确； 以 AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为 4，母线长为 5，高为 3 的圆锥，侧面积为 π×4×5=20π，体积为 13×π×42×3=1

19、6π，故C错误，D正确． 故选：ABD． 26. C， D 【解析】由题意可得，圆柱、圆锥的底面半径均为 R，高均为 2R，球的半径为 R． 则圆柱的侧面积为 2πR×2R=4πR2，故A错误． 圆锥的侧面积为 12×2πR×R=πR2，故B错误． 球的表面积为 4πR2， 所以圆柱的侧面积与球面面积相等，故C正确． 圆锥的表面积为 S侧+S底=πR2+πR2=2πR2， 圆柱的表面积为 S侧+2S底=4πR2+2πR2=6πR2， 球的表面积为 4πR2， 所以圆锥的表面积最小，故D正确 27. A， D 【解析】由棱台性质，画出切割前的四棱锥， 由于 A

20、B=22，A1B1=2，可知 △SA1B1 与 △SAB 相似比为 1:2， 则 SA=2AA1=4，AO=2，则 SO=23，则 OO1=3， 该四棱台的高为 3，A对； 因为 SA=SC=AC=4，则 AA1 与 CC1 夹角为 60∘，不垂直，B错； 该四棱台的表面积为 S=S上底+S下底+S侧=8+2+4×2+222×142=10+67，C错； 由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在 OO1 上， 在平面 B1BOO1 上中，由于 OO1=3，B1O1=1， 则 OB1=2=OB，即点 O 到点 B 与点 B1 的距离相等， 则 r=OB=2，该四棱台外接球的表面积为

21、 16π，D对． 28. A， B 【解析】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为 1，高为 1，母线就是直角三角形的斜边 2， 所以所形成的几何体的表面积是 S=πrl+πr2=π×1×2+π×12=2+1π． 如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高 22，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是 1， 所以写成的几何体的表面积 S=2×πrl=2×π×22×1=2π． 综上可知形成几何体的表面积是 2+1π 或 2π． 29. 1:3 30. 5π 31. 43π 32. 0,2π 33. S1S2S3

22、34. 2 35. 1 cm 【解析】因为圆锥侧面展开图是半圆，面积为 2π cm2， 设圆锥的母线长为 a cm，则 12×a2π=2π，所以 a=2 cm， 所以侧面展开扇形的弧长为 2π cm， 设圆锥的底面半径 OC=r cm，则 2πr=2π，解得 r=1 cm． 36. 123−π2 【解析】六棱柱的体积为：6×12×2×2×sin60∘×2=123， 圆柱的体积为：π×0.52×2=π2， 所以此六角螺帽毛坯的体积是：123−π2cm3． 37. −14 【解析】由已知得 BD=2AB=6，BC=2， 因为 D，E，F 三点重合， 所以 AE

23、=AD=3，BF=BD=2AB=6， 则在 △ACE 中，由余弦定理可得 CE2=AC2+AE2−2AC⋅AE⋅cos∠CAE=1+3−23×32=1, 所以 CE=CF=1，则在 △BCF 中，由余弦定理得 cos∠FCB=BC2+CF2−BF22BC⋅CF=1+4−62×1×2=−14. 38. 23π 【解析】因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球， 如图， 圆锥母线 BS=3，底面半径 BC=1，则其高 SC=BS2−BC2=22， 不妨设该内切球与母线 BS 切于点 D， 令 OD=OC=r，由 △SOD∽△SBC，则 ODOS=BCBS， 即 r22−r=13，解得 r=22， V=43πr3=23π， 故答案为：23π． 第11页（共11 页）