3．4 基本不等式2

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1、基本不等式 金陵中学 曹茂宏 教学目标 1．掌握基本不等式； 2．理解基本不等式的证明过程； 3．了解分析法与综合法． 教学过程 一、数学情境 情境：周末采摘草莓，顺便买一些回来，通过仔细观察，发现老板用的天平不等臂． 说明：为了突出不等臂，示意图花的夸张一些． 问题1：如果你是买家，你愿意把草莓放长臂的盘子里？还是短臂的盘子里？为什么？ 老板提出一个方案：先放在天平的长臂的盘子里，测得的质量为a；再放在天平的短臂的盘子里，测得的质量为b，于是用来作为草莓的质量． 问题2：你觉得合理吗？ 问题3：草莓的实际质量是多少？ 说明：由杠杆原理，推导． 二、

2、数学建构 问题4：如何比较与？ 说明：这里方法很多，让学生自由发挥，主要会有作差法，分析法和综合法． 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 a b 说明：由特殊的数据，猜想一般结论，可以借助Excel． 1．猜想：如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 下面是证明猜想． 证明：法1(作差法) －＝[(a＋b－2)] ＝[(2＋2－2)] ＝(－)2 当且仅当＝时，即a＝b时，取等号． 法2(分析法) 要证≥， 只要证a＋b≥2＞0， 只要

3、证(a＋b)2≥4ab， 即证(a－b)2≥0， 当且仅当a＝b时，取等号． 法3(综合法) 因为(a－b)2≥0， 所以(a＋b)2≥4ab＞0， 所以a＋b≥2， 所以≥． 当且仅当a＝b时，取等号． 说明：(1)教学过程中，说明分析法与综合法的区别．分析法是从要证明的结论出发，不断寻求结论成立的条件．综合法是从已知条件、定理或性质出发证明要证的结论． (2)在作差法的过程中，详细说明“当且仅当”，两层意思：当a＝b时，取等号；取等号，仅当a＝b时． 2．结论的不同表征 概念：也是正数a，b的一种平均方式．称为两个正数a，b的算术平均数，称为两个正数a，b的

4、几何平均数． 自然语言：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数． 数列的语言：两个正数的等差中项大于等于它们的等比中项． 三、数学应用 例1 证明下列不等式． (1)≥2(a＞0，b＞0) 分析：主要回顾证明不等式的一般方法，另外强调基本不等式的应用． 法1：因为a＞0，b＞0，所以＞0， 要证≥2， 只要证a＋b≥2， 只要证(－)2≥0， 因为(－)2≥0成立，所以原不等式成立． 法2：＝＋＝＋≥2， 当且仅当＝时，即a＝b时，等号成立． 说明：练习为了巩固不等式证明的一般方法，更强调基本不等式的“基本”． 四、课堂小结 基本不等式：≥(当且仅当a＝b时，取等号) 证明不等式的一般方法：作差法，分析法，综合法 五、作业布置 必修五P98 ex1，2，3 教学反思 (1)情境的选择还可以更加贴切，因为称草莓一般不会用天平．但是，另一方面只有天平可以引出，其他情境很难引入． (2)比较与时，尽量让学生自由发挥，由学生想想比较两数之间大小的一般方法，把课堂交给学生． (3)原先设计的练习题比较多，但是实际教学过程中，发现效果不是很好，而且有点冲淡本节课的主题，所以最后修改为一题，把一题讲透，讲清．不要贪多嚼不烂．