【世纪金榜】2016届高三数学总复习 单元评估检测(四)平面向量、数系的扩充与复数 文 新人教A版

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1、 【世纪金榜】2016届高三数学总复习 单元评估检测(四)平面向量、数系的扩充与复数 文 新人教A版 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2015·长春模拟)已知=1-yi,其中x,y是实数,i是虚数单位,则x+yi的共轭复数为　(　　) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 【解析】选D.由==1-yi得 故x+yi的共轭复数为2-i. 【加固训练】在复平面内复数(1-i)4的对应点位于(　　) A.第一象限 B.实轴 C.虚轴 D.第四象

2、限 【解析】选B.由(1-i)4=(-2i)2=-4,故位于实轴上. 2.已知向量a=(2,1),b=(-1,2),且m=ta+b,n=a-kb(t,k∈R),则m⊥n的充要条件是(　　) A.t+k=1 B.t-k=1 C.t·k=1 D.t-k=0 【解题提示】写出m,n坐标后利用m·n=0可求. 【解析】选D.由已知得m=t(2,1)+(-1,2)=(2t-1,t+2), n=(2,1)-k(-1,2)=(k+2,1-2k). 又m⊥n,故m·n=0即(2t-1)(k+2)+(t+2)(1-2k)=0,整理得t-k=0. 3.(2015·重庆模拟)已

3、知向量|a|=2,|b|=,且a·b=3,则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D.以上都不对 【解析】选A.设a与b的夹角为θ, 则cosθ= ==. 又因为0≤θ≤π,所以θ=. 4.(2015·日照模拟)在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点P,Q满足= λ,=(1-λ),λ∈R.若·=-2,则λ=　(　　) A. B. C. D.2 【解析】选B.如图,以A点为原点,以AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建系. 则B(1,0),C(0,2),A(0,0), 由=λ得P(λ,0). 由=(1-λ)

4、得Q(0,2-2λ), 故=(-1,2-2λ),=(λ,-2). 故·=-λ-2(2-2λ)=3λ-4=-2. 解得λ=. 5.(2015·贵阳模拟)已知△ABC中,=a,=b,a·b<0,S△ABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角为(　　) A.30° B.120° C.150° D.30°或150° 【解析】选C.S△ABC=||||sinA =|a||b|sinA=×3×5sinA=, 所以sinA=. 又a·b<0,所以A为钝角,所以A=150°. 6.(2015·六盘水模拟)定义运算=ad-bc,则符合条件 =0的复数z对应的点在(　　

5、) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 【解题提示】运用所给新运算把复数化为代数形式再判断其对应点所在象限. 【解析】选D.由=0得z(1-i)-(1-2i)(1+2i)=0,所以z(1-i)=5, 设z=x+yi(x,y∈R),所以z(1-i)=(x+yi)(1-i)=5, (x+y)+(y-x)i=5,解得 因为x=y=>0,所以复数z对应的点在第一象限. 7.(2015·南宁模拟)如图所示,非零向量=a,=b,且BC⊥OA,C为垂足,若=λa(λ≠0),则λ=　(　　) 【解析】选A.⊥,即⊥,所以(-)·=0, 所以||2-·

6、=0,即λ2|a|2-λa·b=0,又λ≠0,解得λ= 8.(2015·杭州模拟)设a,b是两个非零向量(　　) A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb D.若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b| 【解析】选C.利用排除法可得选项C是正确的.因为|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,且a与b反向,故A,B不正确;选项D,若存在实数λ,使得a=λb,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立. 9.(2015·昆明模拟)如图,正

7、六边形ABCDEF中,有下列四个结论: ①+=2; ②=2+2; ③·=·; ④(·)=(·). 其中正确结论的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.+=+==2, 故①对; 取AD的中点O,则=2=2+2,故②对; 设||=1,则·=×2×cos=3, 而·=2×1×cos=1,故③错; 设||=1,则||=2, (·)=(2×1×cos60°)=. (·)=(1×1×cos120°)=-=,故④正确. 综上,正确结论为①②④,故选C. 10.给出下列命题: p:函数f(x)=sin4x-cos4x的最小正

8、周期是π; q:∃x∈R,使得log2(x+1)<0; r:已知向量a=(λ,1),b=(-1,λ2),c=(-1,1),则(a+b)∥c的充要条件是λ=-1.其中所有真命题是(　　) A.q B.p C.p,r D.p,q 【解析】选D.f(x)=sin4x-cos4x=(sin2x-cos2x)·(sin2x+cos2x) =sin2x-cos2x=-cos2x,故最小正周期为π,故命题p正确;当0

9、λ=0,故命题r不正确. 11.已知平面向量a=(sin2x,cos2x),b=(sin2x,-cos2x),R是实数集,f(x)=a·b+4cos2x+2sinxcosx.如果∃m∈R,∀x∈R,f(x)≥f(m),那么f(m)=(　　) A.2+2 B.3 C.0 D.2-2 【解题提示】本题解题实质是求f(x)的最小值. 【解析】选C.由已知可得 f(x)=sin4x-cos4x+4cos2x+2sinxcosx =(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+4cos2x+ 2sinxcosx =sin2x-cos2x+4cos2x+2s

10、inxcosx =-cos2x+2(cos2x+1)+sin2x =sin2x+cos2x+2 =2sin+2. 故f(x)min=0,因此f(m)=0. 12.(能力挑战题)设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=acosθ-bsinθ,若e1,e2均为单位向量,且e1·e2=,则向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为(　　) A. B. C. D.π 【解题提示】根据e1·e2=求e1与e2的夹角,进而确定e2与-e1的夹角,根据新定义求向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的数量积,由此确定其夹角. 【解析】选B.设e1,e2的夹角为α,

11、 则e2与-e1的夹角为π-α, 由题意,得|e1|=|e2|=1, 所以e1·e2=|e1||e2|cosα=cosα=, 故α=,π-α=π, 所以f(e1,e2)=e1cos-e2sin=e1-e2, f(e2,-e1)=e2cosπ- =e1-e2, f(e1,e2)·f(e2,-e1) = =-e1·e2+ =-=0. 所以f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为. 【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧 (1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,特别要注意乘法公式的应用. (2)熟记公式a2=|a|2=a·a,在遇到向量模的问题时,可将所

12、给等式(不等式)两边平方,将向量问题转化为实数问题来解决. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.设a∈R,且(a+i)2i为正实数,则a的值为　　　　. 【解析】(a+i)2i=(a2-1+2ai)i=-2a+(a2-1)i, 由(a+i)2i为正实数得解得a=-1. 答案:-1 14.(2015·厦门模拟)已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则9x+3y的最小值为　　　　. 【解析】若a⊥b,则a·b=0,所以2x+y=2, 由基本不等式得9x+3y≥6,当且仅当9x=3y,即x=,y=1时等号成立. 答案

13、:6 15.(2015·南宁模拟)已知平面向量α,β,且|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|=　　　　. 【解析】由α⊥(α-2β)得α·(α-2β)=α2-2α·β=0, 所以α·β=,所以(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4×12+22+4×=10,所以 |2α+β|=. 答案: 【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧 (1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,特别要注意乘法公式的应用. (2)熟记公式a2=|a|2=a·a,在遇到向量模的问题时,可将所给等式(不等式)两边平方,将向量问题转化为实数问题来解决. 16.在△ABC中设角A,

14、B,C的对边分别为a,b,c,若m=(cos C,2a-c),n=(b, -cos B),且m·n=0,则B=　　　　. 【解析】由m·n=0得bcosC-(2a-c)cosB=0, 即b·=(2a-c)·, 整理得ac=a2+c2-b2, 又cosB===. 又因为0

15、y-2). 因为∥,所以x(2-y)-y(-x-4)=0,所以x+2y=0. (2)=(x+6,y+1),=(x-2,y-3). 因为⊥,所以·=0, 所以(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.又因为x+2y=0, 所以(-2y+6)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0. 即y2-2y-3=0,解得y=3或y=-1. 即=(-6,3)或=(2,-1),所以||=3或||=. 18.(12分)已知复平面内平行四边形ABCD(A,B,C,D按逆时针排列),A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i. (1)求点C,D对应的复数. (2

16、)求平行四边形ABCD的面积. 【解题提示】由点的坐标得到向量的坐标,运用向量、复数间的对应关系解题. 【解析】(1)设点O为原点,因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i, 所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,又=+, 所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i,又=+=(1+2i)+(3-i)=4+i, =-=2+i-(1+2i)=1-i, 所以=+=1-i+(4+i)=5, 所以点D对应的复数为5. (2)由(1)知=(1,2),=(3,-1), 因为·=||||cosB, 所以cosB===, 所以sinB=, 又||

17、=,||=, 所以面积S=||||sinB=××=7. 所以平行四边形ABCD的面积为7. 19.(12分)(2015·兰州模拟)设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积 a⊗b=(a1b1,a2b2),已知向量m=,n=,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动.Q是函数y=f(x)图象上的点,且满足=m⊗+n(其中O为坐标原点),求函数y=f(x)的值域. 【解题提示】设出Q点坐标,与P点坐标建立联系后可求得y=f(x)的解析式从而可求值域. 【解析】设Q(x,y),P(x1,y1),则由已知可得 (x,y)=⊗(x1,y1)+ =+ =. 故即

18、又因为P点在y=sinx上,故2y=sin, 故f(x)=sin, 因为x∈R,故-≤f(x)≤. 20.(12分)已知A,B,C是△ABC的三个内角,向量m=(sin A-sin B,sin C),向量n=(sin A-sin C,sin A+sin B),且m∥n. (1)求角B. (2)若sin A=,求cos C的值. 【解析】(1)依题意得sin2A-sin2B=sin C(sin A-sin C)=sin Asin C-sin2C, 由正弦定理得,a2-b2=ac-c2, 所以a2+c2-b2=ac. 由余弦定理知,cos B==,所以B=. (2)因为sin

19、A=,所以sin A<,所以A

20、 因为⊥,所以·=0, 所以cosα+sinα=,　① 所以(cosα+sinα)2=,所以2sinαcosα=-. 又因为α∈(0,π),所以α∈. 因为(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα =,cosα-sinα<0, 所以cosα-sinα=-.　② 由①②得cosα=,sinα=, 所以tanα=-. 22.(12分)已知向量a=(sin(ωx+φ),2),b=(1,cos(ωx+φ)) ,函数f(x)=(a+b)·(a-b),y=f(x)图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1,且经过点M. (1)求函数f(x)的解析式. (2)当-1≤x≤1时,求函数f(x)的单调区间. 【解析】(1)f(x)=(a+b)·(a-b)=a2-b2 =|a|2-|b|2=sin2(ωx+φ)+3-cos2(ωx+φ) =-cos(2ωx+2φ)+3, 由题意得周期T==4, 故ω=,又图象过点M, 所以=3-cos, 即sin2φ=,而0<φ<,故2φ=, 则f(x)=3-cos. (2)当-1≤x≤1时,-≤x+≤. 所以当-≤x+≤0时, 即x∈时,f(x)是减函数. 当0≤x+≤时, 即x∈时,f(x)是增函数. 则函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是. - 12 -