全国各地2015年中考数学试卷解析分类汇编（第2期）专题31 点直线与圆的位置关系

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1、点直线与圆的位置关系 一.选择题 1．（2015•枣庄,第11题3分）如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为（　　） 　 A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 1.5cm 考点： 切线的性质；等边三角形的性质．. 分析： 连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，求出等边三角形的高即可得出圆的直径，继而得出OC的长度，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长． 解答： 解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F， ∵△ABC为等边三角形，边长为4cm，

2、 ∴△ABC的高为2cm， ∴OC=cm， 又∵∠ACB=60°， ∴∠OCF=30°， 在Rt△OFC中，可得FC=cm， 即CE=2FC=3cm． 故选B． 点评： 本题主要考查了切线的性质，等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识，题目不是太难，属于基础性题目． 2．（2015•湖南湘西州，第15题，4分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（　　） 　 A．点A在圆上 B． 点A在圆内 C． 点A在圆外 D． 无法确定 考点： 点与圆的位置关系．. 分析： 根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 解答： 解：∵

3、⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm， 即点A到圆心O的距离小于圆的半径， ∴点A在⊙O内． 故选B． 点评： 本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r． 　 3 （2015年浙江衢州10，3分）如图，已知等腰，以为直径的圆交于点，过点的的切线交于点，若，则的半径是【 】 A. 　　　B. 　　　 C. 　　　 D. 【答案】D． 【考点】等腰三角形的性质；切线的性质；平行的判定和性质；矩形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应

4、用． 【分析】如答图，连接，过点作于点， ∵，∴. ∵，∴.∴.∴. ∵是的切线，∴.∴. ∴，且四边形是矩形. ∵，∴由勾股定理，得. 设的半径是， 则. ∴由勾股定理，得，即，解得. ∴的半径是. 故选D． 4.（2015•山东莱芜,第12题3分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（　　） （1）AB+CD=AD； （2）S△BCE=S△ABE+S△DCE； （3）AB•CD=； （4）∠ABE=∠DCE． 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考点： 圆

5、的综合题．. 分析： 设DC和半圆⊙O相切的切点为F，连接OF，根据切线长定理以及相似三角形的判定和性质逐项分析即可． 解答： 解：设DC和半圆⊙O相切的切点为F， ∵在直角梯形ABCD中AB∥CD，AB⊥BC， ∴∠ABC=∠DCB=90°， ∵AB为直径， ∴AB，CD是圆的切线， ∵AD与以AB为直径的⊙O相切， ∴AB=AF，CD=DF， ∴AD=AE+DE=AB+CD，故①正确； 如图1，连接OE， ∵AE=DE，BO=CO， ∴OE∥AB∥CD，OE=（AB+CD）， ∴OE⊥BC， ∴S△BCE=BC•OE=（AB+CD）=（AB+CD）•BC==S△

6、ABE+S△DCE， 故②正确； 如图2，连接AO，OD， ∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵AB，CD，AD是⊙O的切线， ∴∠OAD+∠EDO=（∠BAD+∠ADC）=90°， ∴∠AOD=90°， ∴∠AOB+∠DOC=∠AOB+∠BAO=90°， ∴∠BAO=∠DOC， ∴△ABO∽△CDO， ∴， ∴AB•CD=OB•OC=BCBC=BC2，故③正确， 如图1，∵OB=OC，OE⊥BC， ∴BE=CE， ∴∠BEO=∠CEO， ∵AB∥OE∥CD， ∴∠ABE=∠BEO，∠DCE=∠OEC， ∴∠ABE=∠DCE，故④正确， 综

7、上可知正确的个数有4个， 故选D． 点评： 本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理、性质定理，做到灵活运用． 5、（2015年四川省达州市中考，10,3分）如图，AB为半圆O的在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE•CD，正确的有（　　） 　 A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个 考点：

8、切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．. 分析： 连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，

9、选项①正确；由△AOD∽△BOC，可得===，选项③正确；由△ODE∽△OEC，可得，选项④正确． 解答： 解：连接OE，如图所示： ∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切， ∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°， ∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC， ∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确； 在Rt△ADO和Rt△EDO中，， ∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL）， ∴∠AOD=∠EOD， 同理Rt△CEO≌Rt△CBO， ∴∠EOC=∠BOC， 又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°， ∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC

10、=90°，选项⑤正确； ∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC， ∴△EDO∽△ODC， ∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确； ∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°， ∠A=∠B=90°， ∴△AOD∽△BOC， ∴===，选项③正确； 同理△ODE∽△OEC， ∴，选项④正确； 故选D． 点评： 此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 二.填空题 1、(2015年浙江省义乌市中考,14,5分)在Rt△ABC中，∠C=90°，B

11、C=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB。若PB=4，则PA的长为 ▲ 考点：点与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．. 专题：分类讨论． 分析：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，先计算出CB2+PB2=CP2，则根据勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根据垂径定理得到PB=P′B=4，接着证明四边形ACBP为矩形，则PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理计算出P′A=，从而得到满足条件的PA的长为3或． 解答：解：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图， ∵CP=5，CB=3，PB=4， ∴CB2+PB2=CP2， ∴△CP

12、B为直角三角形，∠CBP=90°， ∴CB⊥PB， ∴PB=P′B=4， ∵∠C=90°， ∴PB∥AC， 而PB=AC=4， ∴四边形ACBP为矩形， ∴PA=BC=3， 在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8， ∴P′A==， ∴PA的长为3或． 故答案为3或． 点评：本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了垂径定理和勾股定理． 2.(2015•山东泰安,第24题3分）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点

13、为F．若∠ACF=65°，则∠E=　50°　． 考点： 切线的性质．. 分析： 连接DF，连接AF交CE于G，由AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，得到，由于EF是⊙O的切线，推出∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°根据外角的性质和圆周角定理得到∠EFG=∠EGF=65°，于是得到结果． 解答： 解：连接DF，连接AF交CE于G， ∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H， ∴， ∵EF是⊙O的切线， ∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°， ∵∠FGD=∠FCD+∠CFA， ∵∠DFE=∠DCF， ∠GFD=∠AFC， ∠EFG=∠EGF

14、=65°， ∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°， 故答案为：50°． 点评： 本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 3.（2015•烟台,第18题3分）如图，直线与坐标轴交于AB两点，点是轴上一动点，一点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线想切时，的值为________________。 考点： 直线与圆的位置关系、坐标的计算 分析： 先求出直线与两坐标轴的交点坐标，然后利用直线与圆M相切，要注意考虑有两种情况，再用相似三角形的性质来求BM的长度，进而求出m的值 解答： 直

15、线与y轴、x轴的交点坐标为A（0，1），B（2,0），由勾股定理可得AB=如图（1）当圆M与直线AB相切于点C时，△AOB∽△MCB，，即，解得BM=2所以m=BM-OB=2-2.如图（2）△AOB∽△MDB，， ，解得BM=2m= BM+ OB =2+2． 点评： 本题为圆与相似的综合题，应用了坐标的求法、相似形三角形的性质、勾股定理、直线与圆的关系等知识。特别是直线AB与⊙M相切有两种情形，具有较强的区分度。 4．（2015•甘肃天水，第11题，4分）相切两圆的半径分别是5和3，则该两圆的圆心距是　2或8　． 考点： 圆与圆的位置关系． 专题： 计算题． 分

16、析： 根据两圆内切或外切两种情况，求出圆心距即可． 解答： 解：若两圆内切，圆心距为5﹣3=2； 若两圆外切，圆心距为5+3=8， 故答案为：2或8 点评： 此题考查了圆与圆的位置关系，利用了分类讨论的思想，分类讨论时做到不重不漏，考虑问题要全面． 　 5．（2015•湖南湘西州，第8题，4分）如图，在⊙O中，∠OAB=45°，圆心O到弦AB的距离OE=2cm，则弦AB的长为　4　cm． 考点： 垂径定理；等腰直角三角形．. 分析： 首先由垂径定理可知：AE=BE，然后再在Rt△AOE中，由特殊锐角三角函数可求得AE=OE=2，从而可求得弦AB的长． 解答： 解：∵O

17、E⊥AB， ∴AE=EB 在Rt△AOE中，∠OAB=45°， ∴tan∠OAB=， ∴AE=OE=2． ∴AB=2AE=2×2=4． 故答案为：4cm． 点评： 本题主要考查的是锐角三角函数和垂径定理的应用，掌握垂径定理和特殊锐角三角函数值是解题的关键． 　 6．（2015•江苏镇江，第10题，2分）如图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD=﹣1，则∠ACD=　112.5　°． 考点： 切线的性质．. 分析： 如图，连结OC．根据切线的性质得到OC⊥DC，根据线段的和差故选得到OD=，根据勾股定理得到CD=1，根

18、据等腰直角三角形的性质得到∠DOC=45°，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠OCA=∠DOC=22.5°，再根据角的和差故选得到∠ACD的度数． 解答： 解：如图，连结OC． ∵DC是⊙O的切线， ∴OC⊥DC， ∵BD=﹣1，OA=OB=OC=1， ∴OD=， ∴CD===1， ∴OC=CD， ∴∠DOC=45°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠OCA=∠DOC=22.5°， ∴∠ACD=∠OCA+∠OCD=22.5°+90°=112.5°． 故答案为：112.5． 点评： 本题考查了切线的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质．本题关键

19、是得到△OCD是等腰直角三角形． 7．（2015•鄂州, 第15题3分）已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=，连接PB，则PB=　1或　． 考点： 切线的性质． 专题： 分类讨论． 分析： 本题应分两种情况进行讨论： （1）如图1，可以根据已知条件证明△POA≌△POB，然后即可求出PB； （2）如图2，此时可以根据已知条件证明PABO是平行四边形，然后利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出PB． 解答： 解：连接OA， （1）如图1，连接OA， ∵PA=AO=1，OA=OB，PA是⊙的切线， ∴∠AOP=45°∵OA

20、=OB， ∴∠BOP=∠AOP=45°， 在△POA与△POB中，， ∴△POA≌△POB， ∴PB=PA=1； （2）如图2，连接OA，与PB交于C， ∵PA是⊙O的切线， ∴OA⊥PA， 而PA=AO=，1 ∴OP=； ∵AB=， 而OA=OB=1， ∴AO⊥BO， ∴四边形PABO是平行四边形， ∴PB，AO互相平分； 设AO交PB与点C， 即OC=， ∴BC=， ∴PB=． 故答案为：1或． 点评： 本题考查了切线的性质、勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定等知识，综合性比较强，注意分类讨论，不要漏解． 8.

21、 （2015•江苏盐城，第16题3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是　3＜r＜5　． 考点： 点与圆的位置关系． 分析： 要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 解答： 解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3， 则BD==5． 由图可知3＜r＜5． 故答案为：3＜r＜5． 点评： 此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意

22、点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 三.解答题 1．（2015•湖北, 第25题10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2． （1）求证：AC平分∠BAD； （2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由； （3）若AD=3，求△ABC的面积． 考点： 圆的综合题． 分析： （1）首先连接OC，由PE是⊙O的切线，AE和过点C的切线互相垂直，可证得OC∥AE，又由OA=OC，易证得∠DAC=∠OAC，即可得AC平分∠B

23、AD； （2）由AB是⊙O的直径，PE是切线，可证得∠PCB=∠PAC，即可证得△PCB∽△PAC，然后由相似三角形的对应边成比例与PB：PC=1：2，即可求得答案； （3）首先过点O作OH⊥AD于点H，则AH=AD=，四边形OCEH是矩形，即可得AE=+OC，由OC∥AE，可得△PCO∽△PEA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OC的长，再由△PBC∽△PCA，证得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得（2BC）2+BC2=52，即可求得BC的长，继而求得答案． 解答： （1）证明：连接OC， ∵PE是⊙O的切线， ∴OC⊥PE， ∵AE⊥PE，

24、∴OC∥AE， ∴∠DAC=∠OCA， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC， ∴∠DAC=∠OAC， ∴AC平分∠BAD； （2）线段PB，AB之间的数量关系为：AB=3PB． 理由：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠ABC=90°， ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠ABC， ∵∠PCB+∠OCB=90°， ∴∠PCB=∠PAC， ∵∠P是公共角， ∴△PCB∽△PAC， ∴， ∴PC2=PB•PA， ∵PB：PC=1：2， ∴PC=2PB， ∴PA=4PB， ∴AB=3PB； （3）解：过点O作OH⊥AD于点H，则A

25、H=AD=，四边形OCEH是矩形， ∴OC=HE， ∴AE=+OC， ∵OC∥AE， ∴△PCO∽△PEA， ∴， ∵AB=3PB，AB=2OB， ∴OB=PB， ∴=， ∴OC=， ∴AB=5， ∵△PBC∽△PCA， ∴， ∴AC=2BC， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， ∴（2BC）2+BC2=52， ∴BC=， ∴AC=2， ∴S△ABC=AC•BC=5． 点评： 此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 2．（2015•衡阳, 第26题8分）如图

26、，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由． 考点： 切线的判定；菱形的判定． 分析： （1）连接AC，由题意得==，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，从而得出∠OCE=90°，即可证得结论； （2）四边形AOCD为菱形．由=，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； 解答： 解：（1）连接AC， ∵点CD是半圆O的三等分点， ∴==， ∴

27、∠DAC=∠CAB， ∵OA=OC， ∴∠CAB=∠OCA， ∴∠DAC=∠OCA， ∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行） ∴∠OCE=∠E， ∵CE⊥AD， ∴∠OCE=90°， ∴OC⊥CE， ∴CE是⊙O的切线； （2）四边形AOCD为菱形． 理由是： ∵=， ∴∠DCA=∠CAB， ∴CD∥OA， 又∵AE∥OC， ∴四边形AOCD是平行四边形， ∵OA=OC， ∴平行四边形AOCD是菱形． 点评： 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、菱形的判定和性质，是中学阶段的重点内容． 　 3．（2015•鄂州, 第22

28、题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F． （1）求证：AE为⊙O的切线． （2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径． （3）在（2）的条件下，求线段BG的长． 考点： 圆的综合题． 分析： （1）连接OM．利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM后即可证得AE是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为R，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行线的性质得到=，即可解得R=3，从而求得⊙O的半径为3； （3）过点O作O

29、H⊥BG于点H，则BG=2BH，根据∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2． 解答： （1）证明：连接OM． ∵AC=AB，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC，CE=BE=BC=4， ∵OB=OM， ∴∠OBM=∠OMB， ∵BM平分∠ABC， ∴∠OBM=∠CBM， ∴∠OMB=∠CBM， ∴OM∥BC 又∵AE⊥BC， ∴AE⊥OM， ∴AE是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为R， ∵OM∥BE， ∴△OMA∽△BEA， ∴=即=， 解得R=3， ∴⊙O的半径为3；

30、 （3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH， ∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°， ∴四边形OMEH是矩形， ∴HE=OM=3， ∴BH=1， ∴BG=2BH=2． 点评： 本题考查了圆的综合知识，题目中还运用到了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大． 　 4. （2015•江苏南通，第24题8分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB=60°． （1）求∠P的度数； （2）若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积． 考点： 切线的性质；扇形面积的计算．. 分析： （1）由PA与PB都为圆O的切线，利用切线

31、的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数． （2）由S阴影=2×（S△PAO﹣S扇形）则可求得结果． 解答： 解：连接OA、OB， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP， ∴∠OAP=∠OBP=90°， 又∵∠AOB=2∠C=120°， ∴∠P=360°﹣（90°+90°+120°）=60°． ∴∠P=60°． （2）连接OP， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴APB=30°， 在RT△APO中，t

32、an30°=， ∴AP===4cm， ∴S阴影=2S△AOP﹣S扇形=2×（×4×﹣）=（16﹣）（cm2）． 点评： 此题考查了切线的性质，解直角三角函数，扇形面积公式等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用． 5. （2015•江苏泰州，第24题10分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F． （1）试说明DF是⊙O的切线； （2）若AC=3AE，求tanC． 考点： 切线的判定．. 分析： （1）连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，证得

33、OD∥AC，证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线； （2）连接BE，AB是直径，∠AEB=90°，根据勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然后在RT△BEC中，即可求得tanC的值． 解答： （1）证明：连接OD， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴DF是⊙O的切线； （2）解：连接BE， ∵AB是直径， ∴∠AEB=90°， ∵AB=AC，AC=3AE， ∴AB=3AE，CE=4AE， ∴BE==2AE， 在RT△BEC中，tanC===．

34、 点评： 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以及直角三角函数等，是一道综合题，难度中等． 6. （2015•江苏盐城，第23题10分）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA． （1）求∠DOA的度数； （2）求证：直线ED与⊙O相切． 考点： 切线的判定． 分析： （1）根据圆周角定理即可得到结论； （2）连接OE，通过△EAO≌△EDO，即可得到∠EDO=90°，于是得到结论． 解答： （1）解；∵∠DBA=50°， ∴∠DOA=2∠DBA=1

35、00°， （2）证明：连接OE． 在△EAO与△EDO中，， ∴△EAO≌△EDO， ∴∠EDO=∠EAO， ∵∠BAC=90°， ∴∠EDO=90°， ∴DE与⊙O相切． 点评： 本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，连接OE构造全等三角形是解题的关键． 7．（2015•枣庄,第24题10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2=CD•2OE； （3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．

36、 考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．. 分析： （1）连接OD，BD，由AB为圆O的直径，得到∠ADB为直角，可得出三角形BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，利用等边对等角得到一对角相等，再由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形ABC中两锐角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为圆O的切线； （2）证明OE是△ABC的中位线，则AC=2OE，然后证明△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得； （3）在直角△ABC

37、中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得． 解答： （1）证明：连接OD，BD， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB=90°， 在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点， ∴CE=DE=BE=BC， ∴∠C=∠CDE， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°， ∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°， ∴DE⊥OD，又OD为圆的半径， ∴DE为⊙O的切线； （2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴AC=2OE， ∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

38、∴△ABC∽△BDC， ∴=，即BC2=AC•CD． ∴BC2=2CD•OE； （3）解：∵cos∠BAD=， ∴sin∠BAC==， 又∵BE=6，E是BC的中点，即BC=12， ∴AC=15． 又∵AC=2OE， ∴OE=AC=． 点评： 本题考查了切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 8.（2015·湖北省随州市，第22题8分）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO． （1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作

39、法），并证明：PC是⊙O的切线； （2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长． 考点： 切线的判定与性质；弧长的计算；作图—基本作图．. 分析： （1）按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可，连接OA，作OB⊥PC，根据角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线； （2）首先证明△PAB是等边三角形，则∠APB=60°，进而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧长公式计算即可． 解答： 解：（1）作图如右图， 连接OA，过O作OB⊥PC， ∵PA切⊙O于点A， ∴OA⊥PA， 又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，

40、∴OA=OB，即d=r， ∴PC是⊙O的切线； （2）∵PA、PC是⊙O的切线， ∴PA=PB， 又∵AB=AP=4， ∴△PAB是等边三角形， ∴∠APB=60°， ∴∠AOB=120°，∠POA=60°， 在Rt△AOP中，tan60°= ∴OA= ∴==． 点评： 本题考查了尺规作图、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数以及弧长的计算，求出圆心角和半径长是解决问题的关键． 　 9.（2015·湖北省咸宁市，第21题9分）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E

41、、F． （1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形． （2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长． 考点： 切线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．. 分析： （1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形； （2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC•AF，进而求出AD． 解答： （1）证明：如图1，连接OD、OE、ED． ∵BC与⊙O相切于一点

42、D， ∴OD⊥BC， ∴∠ODB=90°=∠C， ∴OD∥AC， ∵∠B=30°， ∴∠A=60°， ∵OA=OE， ∴△AOE是等边三角形， ∴AE=AO=0D， ∴四边形AODE是平行四边形， ∵OA=OD， ∴四边形AODE是菱形． （2）解：设⊙O的半径为r． ∵OD∥AC， ∴△OBD∽△ABC． ∴，即8r=6（8﹣r）． 解得r=， ∴⊙O的半径为． 如图2，连接OD、DF． ∵OD∥AC， ∴∠DAC=∠ADO， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∴∠DAC=∠DAO， ∵AF是⊙O的直径， ∴∠ADF=90°=∠C，

43、∴△ADC∽△AFD， ∴， ∴AD2=AC•AF， ∵AC=6，AF=， ∴AD2=×6=45， ∴AD==3． 点评： 本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键． 　 10.（2015·湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田第22 题8分）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．

44、 考点： 切线的判定与性质．. 分析： （1）根据切线的性质，可得∠MAP=90°，根据直角三角形的性质，可得∠P+M=90°，根据余角的性质，可得∠M+∠MOB=90°，根据直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根据切线的判定，可得答案； （2）根据相似三角形的判定与性质，可得==，根据解方程组，可得答案． 解答： （1）证明：∵PA切⊙O于点A， ∴∠MAP=90°， ∴∠P+M=90°． ∵∠COB=∠APB， ∴∠M+∠MOB=90°， ∴∠MOB=90°，即OB⊥PB， ∵PB经过直径的外端点， ∴PB是⊙O的切线； （2）∵∠COB=∠APB，∠

45、OBM=∠PAM， ∴△OBM∽△APM， ∴==， = ①， = ② 联立①②得， 解得， 当OB=3，PA=6时，MB=4，MC=2． 点评： 本题考查了切线的判定与性质，（1）利用了切线的判定与性质，直角三角形的判定与性质，余角的性质；（2）利用了相似三角形的判定与性质，解方程组． 　 11．（2015•恩施州第23题10分）如图，AB是⊙O的直径，AB=6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，点C是弧AH上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D、E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且∠GCD=∠CED． （1）求证：GC是⊙O的切线；

46、 （2）求DE的长； （3）过点C作CF⊥DE于点F，若∠CED=30°，求CF的长． 考点： 圆的综合题．. 分析： （1）先证明四边形ODCE是矩形，得出∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD，得出∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD，证出∠GCD+∠MCD=90°，即可得出结论； （2）由（1）得：DE=OC=AB，即可得出结果； （3）运用三角函数求出CE，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结果． 解答： （1）证明：连接OC，交DE于M，如图所示： ∵OH⊥AB，CD⊥OA，CE⊥OH， ∴∠DOE=∠OEC=∠ODC=90°， ∴四

47、边形ODCE是矩形， ∴∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD， ∴∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD， ∵∠GCD=∠CED， ∴∠GCD+∠MCD=90°， 即GC⊥OC， ∴GC是⊙O的切线； （2）解：由（1）得：DE=OC=AB=3； （3）解：∵∠DCE=90°，∠CED=30°， ∴CE=DE•cos∠CED=3×=， ∴CF=CE=． 点评： 本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题有一定难度，综合性强，特别是（1）中，需要证明四边形是矩形，运用角

48、的关系才能得出结论． 12.（2015•黄石第19题，7分）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点． （1）求BC的长； （2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线． 考点： 切线的判定；含30度角的直角三角形；圆周角定理．. 分析： （1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可； （2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可． 解答： 证明：（1）解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， 又∵∠ABC=30°，AB=4，

49、 ∴BD=2， ∵D是BC的中点， ∴BC=2BD=4； （2）证明：连接OD． ∵D是BC的中点，O是AB的中点， ∴DO是△ABC的中位线， ∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED 又∵DE⊥AC， ∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90° ∴DE是⊙O的切线． 点评： 此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线． 13．（2015•甘肃庆阳，第28题，12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F． （1）求证：

50、FE⊥AB； （2）当EF=6，=时，求DE的长． 考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．. 分析： （1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ADC=90°，根据等腰三角形的性质证明D是BC的中点，得到OD是△ABC的中位线，根据切线的性质证明结论； （2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式计算得到答案． 解答： （1）证明：连接AD、OD， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， 又∵AB=AC， ∴CD=DB，又CO=AO， ∴OD∥AB， ∵FD是⊙O的切线， ∴OD⊥EF， ∴FE⊥AB； （2）∵=， ∴=， ∵OD

51、∥AB， ∴==，又EF=6， ∴DE=9． 点评： 本题考查的是切线的性质和平行线分线段成比例定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径和等腰三角形的三线合一是解题的关键． 14．（2015•甘肃天水，第21题，10分）如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（﹣3，0），经过A、O两点作半径为的⊙C，交y轴的负半轴于点B． （1）求B点的坐标； （2）过B点作⊙C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式． 考点： 一次函数综合题． 专题： 代数综合题；压轴题． 分析： （1）由于∠AOB=90°，故AB是直径，且AB=5在Rt△AOB中，由勾股定理可得BO

52、===4，则B点的坐标为（0，﹣4）； （2）由于BD是⊙C的切线，CB是⊙C的半径，故BD⊥AB，即∠ABD=90°，有∠DAB+∠ADB=90°，又因为∠BDO+∠OBD=90°，所以∠DAB=∠DBO，由于∠AOB=∠BOD=90°，故△ABO∽△BDO，=，OD===，D的坐标为（，0），把B，D两点坐标代入一次函数的解析式便可求出k，b的值，从而求出其解析式． 解答： 解：（1）∵∠AOB=90°， ∴AB是直径，且AB=5， 在Rt△AOB中，由勾股定理可得BO===4， ∴B点的坐标为（0，﹣4）； （2）∵BD是⊙C的切线，CB是⊙C的半径， ∴BD⊥AB，即

53、∠ABD=90°， ∴∠DAB+∠ADB=90° 又∵∠BDO+∠OBD=90°， ∴∠DAB=∠DBO， ∵∠AOB=∠BOD=90°， ∴△ABO∽△BDO， ∴=， ∴OD===， ∴D的坐标为（，0） 设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数）， 则有，∴， ∴直线BD的解析式为y=x﹣4． 点评： 此题较复杂，把一次函数与圆的相关知识相结合，利用勾股定理及相似三角形的性质解答，是中学阶段的重点内容． 　 15．（2015•甘肃天水，第25题，12分）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC

54、，与DE交于点P．求证： （1）AC•PD=AP•BC； （2）PE=PD． 考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： （1）首先根据AB是⊙O的直径，BC是切线，可得AB⊥BC，再根据DE⊥AB，判断出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以=；然后判断出=，即可判断出ED=2EP，据此判断出PE=PD即可． （2）首先根据△AEP∽△ABC，判断出；然后根据PE=PD，可得，据此判断出AC•PD=AP•BC即可． 解答： 解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是切线， ∴AB⊥BC， ∵DE⊥AB， ∴DE∥BC， ∴△AEP∽△ABC，

55、 ∴=…①， 又∵AD∥OC， ∴∠DAE=∠COB， ∴△AED∽△OBC， ∴===…②， 由①②，可得ED=2EP， ∴PE=PD． （2）∵AB是⊙O的直径，BC是切线， ∴AB⊥BC， ∵DE⊥AB， ∴DE∥BC， ∴△AEP∽△ABC， ∴， ∵PE=PD， ∴， ∴AC•PD=AP•BC． 点评： （1）此题主要考查了切线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌

56、握． 　 16．（8分）（2015•宁夏）（第23题）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长． 考点： 切线的判定． 分析： 连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论； （2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长． 解答： （1）证明：连接OB，如图所示： ∵AC是⊙O的直径

57、， ∴∠ABC=90°， ∴∠C+∠BAC=90°， ∵OA=OB， ∴∠BAC=∠OBA， ∵∠PBA=∠C， ∴∠PBA+∠OBA=90°， 即PB⊥OB， ∴PB是⊙O的切线； （2）解：∵⊙O的半径为2， ∴OB=2，AC=4， ∵OP∥BC， ∴∠C=∠BOP， 又∵∠ABC=∠PBO=90°， ∴△ABC∽△PBO， ∴， 即， ∴BC=8． 点评： 本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键． 　 17．（10分）（2015•桂林）（第25题）如图，四边形AB

58、CD是⊙O的内接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点． （1）如图1，求⊙O的半径； （2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度； （3）如图2，若点M是BC边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN=90°，交直线CP于点N，求证：AM=MN． 考点： 圆的综合题． 分析： （1）利用切线的性质以及正方形的判定与性质得出⊙O的半径即可； （2）利用垂径定理得出OE⊥BC，∠OCE=45°，进而利用勾股定理得出即可； （3）在AB上截取BF=BM，利用（1）中所求，得出∠ECP=135°，再利用全等三角形的判定与性

59、质得出即可． 解答： 解：（1）如图1，连接OD，OC， ∵PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点， ∴∠ODP=∠OCP=90°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴∠DOC=90°，OD=OC， ∴四边形DOCP是正方形， ∵AB=4，∠ODC=∠OCD=45°， ∴DO=CO=DC•sin45°=×4=2； （2）如图1，连接EO，OP， ∵点E是BC的中点， ∴OE⊥BC，∠OCE=45°， 则∠E0P=90°， ∴EO=EC=2，OP=CO=4， ∴PE==2； （3）证明：如图2，在AB上截取BF=BM， ∵AB=BC，BF=BM，

60、 ∴AF=MC，∠BFM=∠BMF=45°， ∵∠AMN=90°， ∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°， ∴∠FAM=∠NMC， ∵由（1）得：PD=PC，∠DPC=90°， ∴∠DCP=45°， ∴∠MCN=135°， ∵∠AFM=180°﹣∠BFM=135°， 在△AFM和△CMN中 ， ∴△AFM≌△CMN（ASA）， ∴AM=MN． 点评： 此题主要考查了圆的综合以及全等三角形的判定与性质以及正方形的判定与性质等知识，正确作出辅助线得出∠MCN=135°是解题关键． 18．（14分）（2015•毕节市）（第26题）如图，以△A

61、BC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长． 考点： 切线的判定． 专题： 证明题． 分析： （1）连结OA、OD，如图，根据垂径定理的推理，由D为BE的下半圆弧的中点得到OD⊥BE，则∠D+∠DFO=90°，再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA，根据对顶角相等得∠CFA=∠DFO，所以∠CAF=∠DFO，加上∠OAD=∠ODF，则∠OAD+∠CAF=90°，于是根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线； （2）由

62、于圆的半径R=5，EF=3，则OF=2，然后在Rt△ODF中利用勾股定理计算DF的长． 解答： （1）证明：连结OA、OD，如图， ∵D为BE的下半圆弧的中点， ∴OD⊥BE， ∴∠D+∠DFO=90°， ∵AC=FC， ∴∠CAF=∠CFA， ∵∠CFA=∠DFO， ∴∠CAF=∠DFO， 而OA=OD， ∴∠OAD=∠ODF， ∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°， ∴OA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：∵圆的半径R=5，EF=3， ∴OF=2， 在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2， ∴DF==． 点评： 本题考查了切线的判

63、定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理． 19．（12分）（2015•铜仁市）（第24题）如图，已知三角形ABC的边AB是⊙0的切线，切点为B．AC经过圆心0并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E． （1）求证：CB平分∠ACE； （2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径． 考点： 切线的性质．. 分析： （1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根据等腰

64、三角形的性质得到∠1=∠2，通过等量代换得到结果． （2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式，列方程可得结果． 解答： （1）证明：如图1，连接OB， ∵AB是⊙0的切线， ∴OB⊥AB， ∵CE丄AB， ∴OB∥CE， ∴∠1=∠3， ∵OB=OC， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∴CB平分∠ACE； （2）如图2，连接BD， ∵CE丄AB， ∴∠E=90°， ∴BC===5， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBC=90°， ∴∠E=∠DBC， ∴△DBC∽△CBE， ∴， ∴BC2=CD•CE， ∴CD==， ∴OC==，

65、 ∴⊙O的半径=． 点评： 本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 20.（2015•宁夏第23题8分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长． 考点： 切线的判定． 分析： 连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论

66、； （2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长． 解答： （1）证明：连接OB，如图所示： ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ∴∠C+∠BAC=90°， ∵OA=OB， ∴∠BAC=∠OBA， ∵∠PBA=∠C， ∴∠PBA+∠OBA=90°， 即PB⊥OB， ∴PB是⊙O的切线； （2）解：∵⊙O的半径为2， ∴OB=2，AC=4， ∵OP∥BC， ∴∠C=∠BOP， 又∵∠ABC=∠PBO=90°， ∴△ABC∽△PBO， ∴， 即， ∴BC=2． 点评： 本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键． 21.（2015•青海西宁第26题10分）如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM，AM． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径． 考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性