浙江省2013年高考数学第二轮复习 专题升级训练18 随机变量及其分布列 理

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1、专题升级训练18　随机变量及其分布列 (时间：60分钟　满分：100分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知P(ξ＝1)＝，P(ξ＝－1)＝，则D(ξ)等于(　　)． A．2　　　　B．4　　　　C．1　　　　D．6 2．同时掷3枚均匀硬币，恰好有2枚正面向上的概率为(　　)． A．0.5 B．0.25 C．0.125 D．0.375 3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是(　　)． A． B． C．

2、 D． 4．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)． A． B． C． D． 5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么概率是的事件为(　　)． A．恰有1只是坏的 B．4只全是好的 C．恰有2只是好的 D．至多有2只是坏的 6．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)． A． B．

3、 C． D． 7．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2.又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　)． A． B． C．3 D． 8．(2012·浙江宁波十校联考，理8)用1,2,3,4,5这五个数字组成数字不重复的五位数，由这些五位数构成集合M.我们把千位数字比万位数字和百位数字都小，且十位数字比百位数字和个位数字都小的五位数称为“五位凹数”(例：21435就是一个五位凹数)．则从集合M中随机抽取一个数恰是“五位凹数”的概率为(　　)． A． B． C． D． 二、

4、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 9．(2012·浙大附中月考，理12)已知某随机变量ξ的概率分布列如下表，其中x＞0，y＞0，随机变量ξ的方差D(ξ)＝，则x＋y＝__________. ξ 1 2 3 P x y x 10．连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6)，现定义数列an＝Sn是其前n项和，则S5＝3的概率是__________． 11．毕业生小王参加人才招聘会，分别向A，B两个公司投递个人简历．假定小王得到A公司面试的概率为，得到B公司面试的概率为p，且两个公司是否让其面试是独立的．记ξ为小王得到面试的公司个数．若ξ＝

5、0时的概率P(ξ＝0)＝，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝__________. 12．(2012·浙江高考名校《创新》冲刺卷，理14)盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用．从盒中随机抽取2个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为ξ，则ξ的数学期望E(ξ)＝__________. 三、解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 13．(本小题满分10分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和

6、． (1)求X的分布列； (2)求X的数学期望E(X)． 14．(本小题满分10分)(2012·浙江镇海中学模拟考试，20)某企业举行职工篮球投篮比赛，比赛分预赛和决赛两部分．预赛采用如下规则：每位选手最多有5次投篮的机会，选手累计3次投篮命中或3次投篮没命中，即终止其预赛的比赛，累计3次投篮命中者直接进入决赛，累计3次投篮没命中者则被淘汰．已知选手甲投篮的命中率为，选手乙投篮的命中率为. (1)求选手甲和乙在预赛的比赛中共投篮7次的概率； (2)设选手甲在预赛中投篮的次数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望． 15．(本小题满分12分)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、

7、B、C、D四个问题，规则如下： ①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分； ②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局； ③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束． 假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、、、，且各题回答正确与否相互之间没有影响． (1)求甲同学能进入下一轮的概率； (2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E

8、ξ. 16．(本小题满分12分)“天宫一号”的顺利升空标志着我国火箭运载的技术日趋完善．据悉，担任“天宫一号”发射任务的是长征二号FT1火箭．为了确保发射万无一失，科学家对长征二号FT1运载火箭进行了170余项技术状态更改，增加了某项新技术．该项新技术要进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，，，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响． (1)求该项技术量化得分不低于8分的概率； (2)记该项技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量

9、ξ，求ξ的分布列与数学期望． 参考答案 一、选择题 1．C　解析：E(ξ)＝1×＋(－1)×＝0，D(ξ)＝12×＋(－1)2×＝1. 2．D　解析：掷3枚均匀硬币，设正面向上的个数为X，则X服从二项分布，即X～B，∴P(X＝2)＝C·2·＝＝0.375. 3．C　解析：事件A，B中至少有一件发生的概率是 1－P(·)＝1－×＝. 4．D　解析：由甲、乙两队每局获胜的概率相同，知甲每局获胜的概率为，甲要获得冠军有两种情况：第一种情况是再打一局甲赢，甲获胜概率为；第二种情况是再打两局，第一局甲输，第二局甲赢．则其概率为×＝.故甲获得冠军的概率为＋＝. 5．C　解析：X＝k表示

10、取出的螺丝钉恰有k只为好的， 则P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)． ∴P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝. 6．B　解析：记两个零件中恰有一个一等品的事件为A， 则P(A)＝×＋×＝. 7．C　解析：∵E(X)＝x1＋x2＝. ∴x2＝4－2x1，D(X)＝2×＋2×＝. ∵x1＜x2，∴∴x1＋x2＝3. 8．B　解析：当十位数字与千位数字排1,2两个数字时，共有A×A＝12个五位凹数；当十位数字与千位数字排1,3两个数字时，共有2A＝4个五位凹数． 故集合M中共有16个五位凹数． 则从集合M中随机抽取一个数恰是“五位凹数”的概率为P＝＝.

11、 二、填空题 9．　解析：∵x＋y＋x＝2x＋y＝1， ∴E(ξ)＝x＋2y＋3x＝4x＋2y＝2， 则由D(ξ)＝(1－2)2x＋(2－2)2y＋(3－2)2x＝2x＝，得x＝，从而y＝，故x＋y＝. 10．　解析：该试验可看作一个独立重复试验，结果为－1发生的概率为，结果为1发生的概率为，S5＝3即5次试验中－1发生一次，1发生四次，故其概率为C4＝. 11.　解析：由题意，得P(ξ＝2)＝p，P(ξ＝1)＝(1－p)＋p＝， ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P p 由＋＋p＝1，得p＝. 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×p＝. 12．　解析：ξ的取值为

12、2,3,4，且P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝， 则E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝. 三、解答题 13．解：(1)由题意得X取3,4,5,6，且 P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝. 所以X的分布列为 X 3 4 5 6 P (2)由(1)知E(X)＝3·P(X＝3)＋4·P(X＝4)＋5·P(X＝5)＋6·P(X＝6)＝. 14．解：(1)选手甲投篮3次，而选手乙投篮4次的概率为： ××＝； 选手甲投篮4次，而选手乙投篮3次的概率为： ×＝. ∴选手甲和选手乙在预赛的比赛中共投

13、篮7次的概率为： P＝＋＝. (2)依题意，ξ的可能取值为3,4,5，则有P(ξ＝3)＝3＋3＝， P(ξ＝4)＝C2··＋C2··＝， P(ξ＝5)＝C2·2·＋C2·2·＝， 因此，有 ξ 3 4 5 P ∴E(ξ)＝3×＋4×＋5×＝＝3. 15．解：设A，B，C，D分别为第一、二、三、四个问题．用Mi(i＝1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答正确，用Ni(i＝1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答错误．则Mi与Ni是对立事件(i＝1,2,3,4)．由题意得 P(M1)＝，P(M2)＝，P(M3)＝，P(M4)＝， 所以P(N1)＝，P(N2

14、)＝，P(N3)＝，P(N4)＝. (1)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q， 则Q＝M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4. 由于每题答题结果相互独立，因此 P(Q)＝P(M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4) ＝P(M1M2M3)＋P(N1M2M3M4)＋P(M1N2M3M4)＋P(M1M2N3M4)＋P(N1M2N3M4) ＝P(M1)P(M2)P(M3)＋P(N1)P(M2)P(M3)P(M4)＋P(M1)P(N2)P(M3)P(M4)＋P(M1)P(M2)P(N3)P(M4)＋P(

15、N1)P(M2)P(N3)P(M4) ＝××＋×××＋×××＋×××＋×××＝. (2)由题意，随机变量ξ的可能取值为：2,3,4. 由于每题答题结果相互独立， 所以P(ξ＝2)＝P(N1N2) ＝P(N1)P(N2)＝， P(ξ＝3)＝P(M1M2M3)＋P(M1N2N3) ＝P(M1)P(M2)P(M3)＋P(M1)P(N2)P(N3) ＝××＋××＝， P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3) ＝1－－＝. 因此随机变量ξ的分布列为 ξ 2 3 4 P 所以Eξ＝2×＋3×＋4×＝. 16．解：(1)记该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立

16、通过检测合格分别为事件A，B，C，则事件“得分不低于8分”表示为ABC＋AC. ∵ABC与AC为互斥事件，且A，B，C彼此独立， ∴P(ABC＋AC)＝P(ABC)＋P(AC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＝××＋××＝. (2)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数ξ的取值为0,1,2,3. ∵P(ξ＝0)＝P()＝××＝，P(ξ＝1)＝P(A＋B＋C) ＝××＋××＋××＝， P(ξ＝2)＝P(AB＋AC＋BC) ＝××＋××＋××＝， P(ξ＝3)＝P(ABC)＝××＝，∴随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P ∴E(ξ)＝＋＋＝＝.