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1、2023届大一轮复习 第11讲 指数与对数的运算
一、选择题（共5小题）
1. 下列命题中，是真命题的为
①若 log2x=3，则 x=9；
②若 log36x=12，则 x=6；
③若 logx5=0，则 x=5；
④若 log3x=−2，则 x=19．
A. ①④ B. ②④ C. ②③ D. ③④
2. 416 的值为
A. ±2 B. 2 C. −2 D. 以上都不对
3. 设 logxa=a（a 为大于 1 的正整数），则 x=
A. 10alga B. 10lgaa2 C. 10lgaa D. 10a
2、lg1a
4. 设 a>0 且 a≠1，则 1log2a+1log3a+1log4a=
A. 1log24a B. 1loga24
C. 1log2a⋅log3a⋅log4a D. 3log2a+log3a+log4a
5. 12527−23 的值为
A. 259 B. 925 C. −259 D. −925
二、选择题（共2小题）
6. 已知 a+a−1=3，在下列各选项中，其中正确的是
A. a2+a−2=7 B. a3+a−3=18
C. a12+a−12=±5 D. aa+1aa=25
7. 已知实数
3、 a，b 满足等式 18a=19b，下列选项有可能成立的是
A. 00，a≠1，M>0，N>0，我们可以证明对数的运算性质
4、如下：
因为 alogaM+logaN=alogaMalogaN=MN, ⋯⋯①
所以 logaMN=logaM+logaN．
我们将①式称为证明的“关键步骤”．则证明 logaMr=rlogaM（其中 M>0，r∈R）的“关键步骤”为 ．
12. 计算下列各式：
（1）log4116= ；
（2）log25125= ；
（3）log23×log38= ；
（4）log98log32= ；
（5
5、）log34×log45×log56×log67×log78×log89= ．
13. 设 lg6=m，lg18=n，则 lg5.4= ．
14. 若 x>0，则 2x14+3322x14−332−4x−12x−x12= ．
15. 计算：32−13×−760+814×42−−2323= ．
16. 若 logax=2，logbx=3，则 logabx= ．
17. log2a 的小数表
6、示为 1.5⋯⋯（包括 1.5 在内），则实数 a 的取值范围为 ．
四、解答题（共10小题）
18. 化简：π+π−12−4+π−π−12+4．
19. 计算：
（1）a35b2⋅35b34a3a>0,b>0；
（2）a−1+b−1a−1⋅b−1；
（3）a23b−1−12a−12b136ab5a>0,b>0；
（4）2−12+−402+12−1−1−50⋅823．
20. 计算题：
（1）化简：4a23b−13÷−23a−13b−43（a>0，b>0）．
（2）求值：lg100+log243×22+0.125−1
7、3．
21. 求下列各式的值．
（1）log5125；
（2）loga1a2+loga1a（a>0 且 a≠1）；
（3）lne10；
（4）log2+32−3．
22. 已知 log32=m，试用 m 表示 log3218．
23. log2125+log425+log85⋅log52+log254+log1258．
24. 已知 a，b，c 均为正数，且 3a=4b=6c，求证：2a+1b=2c．
25. 若 60a=3，60b=5，求 121−a−b21−b 的值．
26. 化简下列各式．
（1）0.06415−2.5
8、23−3338−π0；
（2）56a13⋅b−2⋅−3a−12b−1÷4a23⋅b−312．
27. 已知 x12+x−12＝3，求 x2+x−2−2x32+x−32−3 的值．
答案
1. B
【解析】①中 x=8，排除A；③中 x 的值不存在，排除C，D．
2. B
3. C
4. A
5. B
6. A， B， D
【解析】在选项A中，因为 a+a−1=3，所以 a2+a−2=a+a−12−2=9−2=7，故A正确；
在选项B中，因为 a+a−1=3，所以 a3+a−3=a+a−1a2−1+a−2=a+a−1⋅a+a−12−3=
9、3×6=18，故B正确；
在选项C中，因为 a+a−1=3，所以 a12+a−122=a+a−1+2=5，且 a>0，所以 a12+a−12=5，故C错误；
在选项D中，因为 a3+a−3=18，且 a>0，所以 aa+1aa2=a3+a−3+2=20，所以 aa+1aa=25，故D正确．
7. A， B
【解析】实数 a，b 满足等式 18a=19b，即 y=18x 在 x=a 处的函数值和 y=19x 在 x=b 处的函数值相等，由下图可知A，B均有可能成立．
8. a+b
【解析】原式=lg2×3=lg2+lg3=a+b.
9. 3
10. 9
【解
10、析】原式=4+23×23+log33×25−2log35=4+4+1+2log35−2log35=9.
11. arlogaM=alogaMr=Mr
12. −2，34，6，32，2
13. 2n−m−1
14. −23
【解析】原式=4x12−33−4x12+4=−23.
15. 2
【解析】原式=2313×1+234×214−2313=2.
16. 65
17. 232,285
【解析】由题意知 32=1.5≤log2a<1.6=85，
即 log2232≤log2a
11、 232≤a<285，
故 a 的取值范围是 232,285．
18. 2π．
19. （1） 原式=a32b15⋅b15a14=a32−14⋅b15−15=a4a.
（2） 原式=1a+1b1ab=a+bab1ab=a+b.
（3） a23b−1−12a−12b136ab5=a23×−12b12a−12b13a16b56=a−13−12b12+13a16b56=a−56b56a16b56=a−56−16=a−1=1a.
（4） 原式=12+12+2+1−22=22−3.
20. （1） 原式=−6×a23−−13×b−13−−43=
12、−6ab．
（2） 原式=1+log228+2=1+8+2=11．
21. （1） 6．
（2） −3．
（3） 10．
（4） −1．
22. log3218=log318log332=m+25m．
23. （方法 1）
原式=log253+log225log24+log25log28log52+log54log525+log58log5125=3log25+2log252log22+log253log22log52+2log522log55+3log523log55=3+1+13log25⋅3log52=13⋅log55
13、log52⋅log52=13.
（方法 2）
原式=lg125lg2+lg25lg4+lg5lg8lg2lg5+lg4lg25+lg8lg125=3lg5lg2+2lg52lg2+lg53lg2lg2lg5+2lg22lg5+3lg23lg5=133⋅lg5lg23⋅lg2lg5=13.
24. 设 3a=4b=6c=k，则 k>1．
由对数定义得 a=log3k，b=log4k，c=log6k，则
2a+1b=2log3k+1log4k=2logk3+logk4=logk9+logk4=logk36.
又 2c=2log6k=2logk6=logk36，
所以 2a+
14、1b=2c．
25. 由 a=log603，b=log605，得 1−b=1−log605=log6012，
于是 1−a−b=1−log603−log605=log604，
则有 1−a−b1−b=log604log6012=log124，
所以 121−a−b21−b=1212log124=12log122=2．
26. （1） 原式=64100015−5223−27813−1=410315×−52×23−32313−1=52−32−1=0.
（2） 原式=−52a−16b−3÷4a23⋅b−312=−54a−16b−3÷a13b−32=−54a−12⋅b−32=−54⋅1ab3=−5ab4ab2.
27. 设 x12=t，则 x−12=1t，已知即 t+1t=3．
于是，x32+x−32=t3+1t3=t+1t⋅t2+1t2−1，
而 x2+x−2=t4+1t4=t2+1t22−2，
将 t+1t=3，平方得 t2+1t2+2=9，于是 t2+1t2=7．
从而，
原式=t2+1t22−2t+1t⋅t2+1t2−1−3=72−23×7−1−3=4715．
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